2nde ∼ Devoir maison
Sortie scolaire au Musée des Arts et Métiers Ce document regroupe quatre devoirs maisons différents qui permettront de préparer la sortie scolaire du 24/01/2025. 1Triangulation Dans la figure ci-dessous, les angles α\alpha, β\beta et γ\gamma du triangle ABCABC sont aigus. On note BCBC == aa, AC=bAC = b et AB=cAB = c.
AA
BB
CC
α\alpha
β\beta
γ\gamma
aa
bb
cc
  1. Construire le point HH, projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).
  2. Dans le triangle AHCAHC, donner l'expression de sin⁡(α)\sin(\alpha) en fonction de CHCH et bb.
    Dans le triangle BHCBHC, donner l'expression de sin⁡(β)\sin(\beta) en fonction de CHCH et aa.
  3. En déduire que sin⁡(α)a=sin⁡(β)b\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b} et que a=sin⁡(α)sin⁡(β)×ba=\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}\times b.
    4. On admettra dans la suite de l'exercice la formule complète (dite loi des sinus) : sin⁡(α)a=sin⁡(β)b=sin⁡(γ)c.\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b} = \dfrac{\sin(\gamma)}{c}.
  4. Dans la figure ci-dessous on a :
    A1
    A2
    A3
    A4
    A5
    A6
    Déterminer la longueur A5A6A_5A_6.
2Aplatissement On considère une cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon R>0R>0, ainsi que deux points AA et BB de C\mathscr{C}.
O
A
B
α\alpha
RR
Si l'angle α=AOB^\alpha=\widehat{AOB} est exprimé en degrés, alors la longueur de l'arc de cercle AB⌢\overset{\frown}{AB} est donnée par : AB⌢=πα180R.\overset{\frown}{AB}=\dfrac{\pi\alpha}{180}R.
  1. À l'aide de cette formule, déterminer la longueur d'un demi-cercle de rayon 11.
  2. Justifiquer R=180παAB⌢R=\dfrac{180}{\pi\alpha}\overset{\frown}{AB}.
  3. On imagine dans cette question que la Terre a une forme sphèrique. L'objectif est, en reprenant des mesures de longueur qui ont été faites à la surface de la Terre, de trouver la valeur du rayon terrestre.

    Entre 1668 et 1670 Jean Picard, dit l'abbé Picard (1620 - 1682), va effectuer des mesures géodésiques entre Juvisy et Sourdon. Il détermine qu'entre ces deux points et le centre de la Terre l'angle est de 1∘11′57′′1^{\circ}11'57'' (ce qui se lit 11 degrés, 1111 minutes et 5757 secondes). La longueur de l'arc de cercle (déterminée par triangulation en utilisant la loi des sinus) est de 6843068\,430 toises du Châtelet et 33 pieds.
    1. Expliquer pourquoi un angle de 1∘11′57′′1^{\circ}11'57'' mesure à 10−310^{-3} près 1,199∘1,199^{\circ}.
    2. Sachant qu'à la fin du XVII∘^{\circ} siècle une toise du Châtelet correspondait à 1,9491,949 mètres et un pied à 32,48432,484 cm, donner la longueur de l'arc de cercle déterminé par Picard en kilomètres.
    3. À partir des résultats précédents, déterminer une valeur approchée du rayon terrestre en kilomètres.
    4. Lors de l'expédition au Pérou dirigée par Charles Marie de La Condamine entre 1735 et 1745, les scientifiques mesurent un arc de méridien de 3∘7′1′′3^{\circ}7'1'' sur une distance de 176950176\,950 toises du Châtelet.
      Ces mesures ont été faites au niveau de l'équateur à proximité de la ville de Quito.
      Déterminer, en kilomètres, le rayon terrestre correspondant à ces mesures.
    5. En admettant que les résultats de Picard et de La Condamine ont une marge d'erreur de la centaine de kilomètres que peut-on en déduire sur la forme de la Terre ?
3Le pendule Un pendule simple est un objet suspendu à une corde ou une tige qui oscille sous l'effet de la gravité. Il est composé d'une masse appelée boule (représentée par une petite boule sur le schéma) accrochée à une corde qui ne s'étire pas. Quand on écarte légèrement la boule de sa position d'équilibre et qu'on la lâche, elle se met à osciller de part et d'autre sous l'effet de son poids.

La durée d'une oscillation complète (un aller-retour) est appelée la période du pendule. C'est un nombre réel positif que l'on note TT. La valeur de TT, exprimée en secondes, dépend de deux éléments : La formule qui permet de calculer la période TT du pendule est : T=2πℓg.T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}.
  1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
    ℓ\ell en mètres 0,50,5 11 22 55 1111 3030 6767
    TT en secondes
  2. En considèrant que TT est fonction de ℓ\ell, construire la courbe représentative de la fonction TT dans le repère ci-dessous. La variable ℓ\ell est représentée en abscisse et TT en ordonnées.
    3. 010203040506024681012141618
  3. Dans les années 1670, Jean Richer (1630 - 1696) effectue un voyage scientifique à Cayenne. Il va s'intéresser, entre autres choses, au pendule qui « bat la seconde », c'est-à-dire au pendule qui a pour période T=2T=2 secondes.
    Richer rapporte dans son journal une découverte qui le rendra célèbre et qui sera le point de départ de la controverse sur la forme de la Terre :

    « L’une des plus considérables observations que j’ai faite est celle de la longueur du pendule à seconde de temps, laquelle s’est trouvée plus courte à Cayenne qu’à Paris; car la même mesure qui avait été marquée en ce lieu là sur une verge de fer, suivant la longueur qui s’est trouvée nécessaire pour faire un pendule à seconde de temps ayant été apporté en France, et comparé à celle de Paris, la différence a été trouvée d’une ligne et un quart, dont celle de Cayenne est moindre que celle de Paris. »

    Expliquer, à l'aide de la formule du pendule, pourquoi la découverte de Richer permet de montrer que la gravité gg est plus faible à Cayenne qu'à Paris.
  4. Montrer que ℓ=gT24π2\ell=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}.
  5. Expliquer pourquoi, lors de la Révolution française, la commission en charge de la définition du mètre a hésité à le définir comme « la longueur du pendule battant la seconde à la lattitude de 45∘45^{\circ} ».
4La cycloïde Une cycloïde est une courbe tracée par un point situé sur le bord d'une roue qui roule sans glisser sur une surface plane. La roue avance ainsi seulement grâce à sa propre rotation et la courbe décrite par le point PP de la roue se visualise dans l'animation ci-dessous :
P
C
B
On souhaite, dans un repère du plan, trouver un procéder pour construire la cycloïde engendrée par une roue de rayon 11 et passant par l'origine comme ci-dessous :
01234560123456
P(x;y)P(x;y)
Pour tout point P(x;y)P(x\,;y) de la cycloïde il n'existe pas de formule directe qui donne yy en fonction de xx. On ne peut donc pas tracer cette courbe comme celle d'une fonction.

Dans le schéma ci-dessous, on note tt l'angle dont la roue a tourné depuis son point de départ. C'est l'angle entre le point de contact de la roue avec le sol, le centre CC de la roue et le point PP.
0123456123456
C
P(x;y)P(x;y)
tt
Puisque les coordonnées du point PP se modifient dès que tt change (et donc que la roue tourne), on les note x(t)x(t) et y(t)y(t).
Lorsque l'angle tt est exprimé en degrés on a alors : {x(t)=πt180−sin⁡(t)y(t)=1−cos⁡(t). \left\{ \begin{array}{rcl} x(t) & = & \dfrac{\pi t}{180}-\sin(t) \\ y(t) & = & 1-\cos(t). \end{array} \right. Ainsi, en donnant plusieurs valeurs à tt on trouve des valeurs pour x(t)x(t) et y(t)y(t), ce qui nous donne à chaque fois les coordonnées d'un point de la cycloïde.
  1. À l'aide de votre calculatrice compléter le tableau ci-dessous. Les résultats seront arrondis à 10−210^{-2}.
    tt en degrés 00 1515 3030 4545 6060 7575 9090 105105 120120 135135 150150 165165 180180
    x(t)x(t)
    y(t)y(t)
  2. Construire dans le repère ci-dessous la cycloïde associée aux valeurs précédentes.
    3. 0123456123456
  3. Expliquer les caractères brachistochrones et isochrones de la cycloïde ainsi que leur utilisation dans le pendule cycloïdale.