2nde ∼ Devoir commun décembre ∼ Sujet 0 Compléter le tableau ci-dessous en cochant les cases nécessaires pour indiquer que le nombre appartient à l'ensemble, comme dans l'exemple de la première ligne :
$\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{7}$ ✗ ✗
$-2,9$
$\dfrac{2}{\pi}$
$\dfrac{51}{27}$
$-\sqrt{81}$
$\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}$
$-3\times\dfrac{8}{15}$
$\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{7}$ ✗ ✗
$-2,9$ ✗ ✗ ✗
$\dfrac{2}{\pi}$ ✗
$\dfrac{51}{27}$ ✗ ✗
$-\sqrt{81}$ ✗ ✗ ✗ ✗
$\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}$ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗
$-3\times\dfrac{8}{15}$ ✗ ✗ ✗
On rappelle que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Ainsi, dès qu'on coche une colonne, le nombre considérée appartient aux suivantes dans le tableau. Soit $f$ la fonction affine définie pour tout nombre $x$ réel par $f(x)=-\dfrac{1}{3} x+2$.
Soit $g$ la fonction affine qui vérifie $g(-3)=-3$ et $g(0)=-1$.
  1. Déterminer l'image de $6$ par $f$.
    2. $f(6)=-\dfrac 1 3 \times 6+2$ $=$ $-2+2$ $=$ $0$.
    L'image de 6 est 0.
  2. Calculer $f(-1)$. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
    3. $f(-1)=-\dfrac 1 3 \times (-1)+2$ $=$ $\dfrac 1 3 +2$ $=$ $\dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{3}$ $=$ $\dfrac{7}{3}$.
  3. Donner le sens de variation et le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    4. Le coefficient directeur de $f$ est négatif, donc $f$ est décroissante sur $\mathbb R$.
    De plus, $f(6)=0$, donc $f$ change de signe pour $x=6$.
    $x$ $-\infty$ $6$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$
  4. Déterminer l'expression algébrique de la fonction $g$.
    5. $g$ est une fonction affine donc il existe $a$ et $b$ $\in\mathbb{R}$ tels que $g(x) = a x + b$.
    On sait que $a=\dfrac{g(0)-g(-3)}{0-(-3)}$ $=$ $\dfrac{-1-(-3)}{3}$ $=$ $\dfrac{2}{3}$.

    Ainsi, $g(x)=\dfrac{2}{3}x+b$ et puisque $g(0)=-1$, on a, en remplaçant $x$ par $0$ :
    $g(0)$ $=$ $-1$
    $\dfrac{2}{3}\times0+b$ $=$ $-1$
    $b$ $=$ $-1$.
    Ainsi, pour tout réel $x$, $g(x)=\dfrac{2}{3}x-1$.
  5. Tracer les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans le repère donné ci-dessous.
    6. Pour obtenir les droites représentant les fonctions affines $f$ et $g$ on donne deux valeurs différentes à $x$ pour obtenir deux points pour chacune des droites.
    $x$ $0$ $6$
    $f(x)=-\dfrac{1}{3}x+2$ $2$ $0$
    $x$ $0$ $6$
    $g(x)=\dfrac{2}{3}x-1$ $-1$ $3$
  6. Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point d’intersection de ces deux représentations graphiques.
    7. On résout pour cela l'équation suivante :
    $f(x)$ $=$ $g(x)$
    $-\dfrac{1}{3}x+2$ $=$ $\dfrac{2}{3}x-1$
    $-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}x$ $=$ $-1-2$
    $-\dfrac{3}{3}x$ $=$ $-3$
    $-x$ $=$ $-3$
    $x$ $=$ $3$.

    On a alors $f\left(3\right)$ $=$ $-\dfrac{1}{3}\times3+2 $ $=$ $-1+2$ $=$ $1$.

    Les coordonnées du point d'intersection sont donc $\left(3\,; 1\right)$.
  7. On considère l'algorithme python ci-contre. Compléter les pointillés pour que le message affiché soit « Cg est au-dessus de Cf ».
    8. def positionRelative(x): d = -1/3*x+2 -(2/3*x-1) if d>0: message = "Cf est au dessus de Cg" else: message = "Cg est au dessus de Cf" print(message) positionRelative(...) On remarque que $d=f(x)-g(x)$, donc $d>0$ si $f(x)>g(x)$. Ce n'est pas ce qu'on veut, il faut donc que $d<0$, sur notre graphique on voit que ça arrive si on prend une valeur de $x$ plus grande que $3$.
    On peut donc compléter la dernière ligne par « positionRelative(4) » par exemple. def positionRelative(x): d = -1.0/3*x+2 -(2.0/3*x-1) if d > 0: message = "Cf est au dessus de Cg" else: message = "Cg est au dessus de Cf" print(message) positionRelative(4)
Questions de Cours Quatre questions de cours seront posées dans la liste suivante : Exemple d'exercice possible :
  1. Donner la définition d'un nombre rationnel.
  2. Définir un repère orthonormal du plan.
  3. Quelle formule permet dans un repère orthonormal de calculer la longueur de $[AB]$ où $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ ?
  4. Soit $f$ la fonction affine définie par la relation $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels avec $a>0$. Montrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
  1. Développer et réduire les expressions suivantes.
    1. $(6-x)^2$
      2. On utilise ici l'identité remarquable :
      $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

      $(6-x)^2$ $=$ $6^2-2\times 6 \times x +x^2$
      $=$ $36 - 12x +x^2$
      $=$ $x^2- 12x +36$.
    2. $(x+7)(4-x)$
      3. On utilise ici la double distributivité.

      $(x+7)(4-x)$ $=$ $x\times 4 -x\times x +7\times 4 -7\times x$
      $=$ $4x -x^2 +28 -7x$
      $=$ $-x^2 -3x+28$.
    3. $(x-3)(x+3)-(x+5)^2$
      4. On utilise ici deux identités remarquables :
      $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
      $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

      $(x-3)(x+3)-(x+5)^2$ $=$ $x^2-3^2-(x^2+10x+25)$
      $=$ $x^2-9-x^2-10x-25$
      $=$ $-10x-34$.
    4. $(2x+5)(4-3x)+3(x+7)$
      5. On utilise ici la double et la simple distributivité.

      $(2x+5)(4-3x)+3(x+7)$ $=$ $8x-6x^2+20-15x+3x+21$
      $=$ $-6x^2-4x+41$.
  2. Résoudre les équations suivantes. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
    1. $11x-39=0$
      2. $11x-39$ $=$ $0$
      $11x$ $=$ $39$
      $x$ $=$ $\dfrac{39}{11}$.
      L'équation admet une unique solution : $\dfrac{39}{11}$.
    2. $x+4=3x-9$
      3. $x+4$ $=$ $3x-9$
      $x-3x$ $=$ $-4-9$
      $-2x$ $=$ $-13$
      $x$ $=$ $\dfrac{-13}{-2}$
      $x$ $=$ $\dfrac{13}{2}$.
      L'équation admet une unique solution : $\dfrac{13}{2}$.
    3. $\dfrac{2}{3}x+7=\dfrac{1}{2}$
      4. $\dfrac{2}{3}x+7$ $=$ $\dfrac{1}{2}$
      $\dfrac{2}{3}x$ $=$ $\dfrac{1}{2}-7$
      $\dfrac{2}{3}x$ $=$ $\dfrac{1}{2}-\dfrac{14}{2}$
      $\dfrac{2}{3}x$ $=$ $-\dfrac{13}{2}$
      $x$ $=$ $-\dfrac{13}{2}\times\dfrac{3}{2}$
      $x$ $=$ $-\dfrac{39}{4}$.
      L'équation admet une unique solution : $-\dfrac{13}{3}$.
  3. On a tapé les instructions suivantes dans la console Python.
    4. if p < q: p = p**2+3*q q = q+2 else: p = 2*p+q q = q-5 Quelles sont les valeurs de $p$ et $q$ à la fin de l'algorithme si :
    1. $p=3$ et $q=10$ ;
      2. Dans cette situation on a $p < q$ donc les instructions
      p = p**2+3*q
      q = q+2
      s'éxécutent.
      L'instruction p = p**2+3*q nous donne que la nouvelle valeur de $p$ est $3^2+3\times10=39$.
      L'instruction q = q+2 nous donne que la nouvelle valeur de $q$ est $10+2=12$.

      Les valeurs de $p$ et $q$ à la fin de l'algorithme sont donc $p=39$ et $q=12$.

      On peut le vérifier à l'aide l'agorithme suivant : p = 3 q = 10 if p < q: p = p**2+3*q q = q+2 else: p = 2*p+q q = q-5 print(p,q)
    2. $p=12$ et $q=5$.
      3. Ddans cette situation la condition « $p < q$ » n'est pas respectée. Ce sont donc les instructions
      p = 2*p+q
      q = -5 qui s'éxécutent.

      La nouvelle valeur de $p$ vaut donc $2\times12+5=29$.
      La nouvelle valeur de $q$ vaut $5-5=0$.

      Les valeurs de $p$ et $q$ à la fin de l'algorithme sont donc $p=29$ et $q=0$.

      On peut le vérifier à l'aide l'agorithme suivant : p = 12 q = 5 if p < q: p = p**2+3*q q = q+2 else: p = 2*p+q q = q-5 print(p,q)
Soit un repère orthonormé $(O;I;J)$. On considère les points $A(-3;0)$, $B(2;1)$, $C(4;3)$ et $D(-1;2)$.
  1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère $(O;I;J)$.
  2. Compléter les pointillés des lignes 8 et 10 du programme Python ci-dessous pour qu'il retourne les coordonnées du milieu du segment $[AC]$.
    3. A = (-3,0) C = (4,3) xA,yA = A xC,yC = C x = (xA+xC)/2 y = ... print("Les coordonnées du milieu de [AC] sont : ",(x,...)) En utilisant la formule du cours sur les coordonnées du milieu d'un segment on doit écrire :
    y = (yA+yC)/2.
    Pour la dernière instruction il faut juste écrire « y » dans les pointillés.
  3. Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu, que l'on notera M.
    4. On note $M$ le milieu de $[AC]$. On a alors :
    $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ $=$ $\dfrac{-3+4}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

    $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ $=$ $\dfrac{0+3}{2}$ $=$ $\dfrac{3}{2}$.

    Les coordonnées de $M$ milieu de $[AC]$ sont $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right)$.

    On note $N$ le milieu de $[BD]$. On a alors :
    $x_N=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ $=$ $\dfrac{2+(-1)}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

    $y_N=\dfrac{y_B+y_D}{2}$ $=$ $\dfrac{1+2}{2}$ $=$ $\dfrac{3}{2}$.

    Les coordonnées de $N$ milieu de $[BD]$ sont $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right)$.

    Ainsi, les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont bien le même milieu puisque $M=N$.
  4. On rappelle que le point $O$ est l'origine du repère.
    Calculer les longueurs $OD$, $DB$ et $OB$.
    5. $OD^2$ $=$ $(x_D-x_O)^2+(y_D-y_O)^2$
    $=$ $(-1-0)^2+(2-0)^2$
    $=$ $(-1)^2+2^2$
    $=$ $1+4$
    $=$ $5$.
    Ainsi, $OD=\sqrt{5}$.

    $DB^2$ $=$ $(x_B-x_D)^2+(y_B-y_D)^2$
    $=$ $(2-(-1))^2+(1-2)^2$
    $=$ $3^2+(-1)^2$
    $=$ $9+1$
    $=$ $10$.
    Ainsi, $DB=\sqrt{10}$.

    $OB^2$ $=$ $(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2$
    $=$ $(2-0)^2+(1-0)^2$
    $=$ $2^2+1^2$
    $=$ $5$.
    Ainsi, $OB=\sqrt{5}$.
  5. Le triangle OBD est-il isocèle ? Équilatéral ? Rectangle ? Vos réponses seront justifiées.
    6. Comme $OB=OD$, le triangle est isocèle et puisque $OB\neq BD$, il n'est pas équilatéral.

    De plus, $BD^2=10$, et $OB^2+OD^2=5+5=10$. Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OBD$ est rectangle en $O$.
  6. Déterminer les coordonnées du point $P$ du plan tel que $BODP$ soit un parallélogramme.
    7. Pour que $BODP$ soit un parallélogramme il faut que ses diagonales $[BD]$ et $[OP]$ se coupent en leur milieu.

    D'après la question $3$, le point $M\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right)$ est le milieu de $[BD]$. Il est donc aussi le milieu de $[OP]$.
    Ainsi, d'après la formule des coordonnées du milieu d'un segment on a :
    $x_M$ $=$ $\dfrac{x_O+x_P}{2}$
    $\dfrac{1}{2}$ $=$ $\dfrac{0+x_P}{2}$
    $\dfrac{1}{2}$ $=$ $\dfrac{x_P}{2}$
    $1$ $=$ $x_P$
    $x_P$ $=$ $1$.
    De même, avec les ordonnées on obtient :
    $y_M$ $=$ $\dfrac{y_O+y_P}{2}$
    $\dfrac{3}{2}$ $=$ $\dfrac{0+y_P}{2}$
    $\dfrac{3}{2}$ $=$ $\dfrac{y_P}{2}$
    $3$ $=$ $y_P$
    $y_P$ $=$ $3$.
    Ainsi, les coordonnées du point $P$ sont $(1\,;3)$.
Dans cet exercice s'intéresse au nombre de cartes nécessaires à la construction d'un château de cartes. Les figures ci-dessous donnent le schéma de construction d'un château de cartes, à 1, puis 2 puis 3 étages. Xmin = -0.5 Xmax = 4 Ymin = -1 Ymax = 15 A = [0,0] B = [0.5,0.25] C = [1,2] D = [0.5,1.75] E = [1.5,0.25] F = [1,0] couleur = noir peinture = blanc transparence = 1 cartesTriangle(0,0) cartesTriangle(1,0) cartesTriangle(2,0) cartesTriangle(0.5,1.75,1) cartesTriangle(1.5,1.75,1) cartesTriangle(1,3.5,1) texte("3 étages",[1.3,-0.5]) cartesTriangle(0.5,7) cartesTriangle(1.5,7) cartesTriangle(1,8.75,1) texte("2 étages",[1.3,6.5]) cartesTriangle(1,12) texte("1 étage",[1.3,11.5]) function cartesTriangle(x0,y0,b){ var A = [x0,y0] var B = [x0+0.5,y0+0.25] var C = [x0+1,y0+2] var D = [x0+0.5,y0+1.75] var E = [x0+1.5,y0+0.25] var F = [x0+1,y0] if(b == 1){ poly([A,B,E,F]) } poly([A,B,C,D]) poly([D,C,E,F]) }
  1. Combien de cartes faut-il pour un château à 1 étage ? Même question pour 2 puis pour 3 étages.
    2. Un château à 1 étage est composé de $2$ cartes. Un château à 2 étages est composé de $7$ cartes. Un château à 3 étages est composé de $15$ cartes.
  2. Combien en faudrait-il pour un château à 4 étages ?
    3. Il faudrait $26$ cartes pour faire un château à 4 étages. Xmin = -0.5 Xmax = 5 Ymin = -1 Ymax = 9 couleur = noir peinture = blanc transparence = 1 cartesTriangle(0,0) cartesTriangle(1,0) cartesTriangle(2,0) cartesTriangle(3,0) cartesTriangle(0.5,1.75,1) cartesTriangle(1.5,1.75,1) cartesTriangle(2.5,1.75,1) cartesTriangle(1,3.5,1) cartesTriangle(2,3.5,1) cartesTriangle(1.5,5.25,1) function cartesTriangle(x0,y0,b){ var A = [x0,y0] var B = [x0+0.5,y0+0.25] var C = [x0+1,y0+2] var D = [x0+0.5,y0+1.75] var E = [x0+1.5,y0+0.25] var F = [x0+1,y0] if(b == 1){ poly([A,B,E,F]) } poly([A,B,C,D]) poly([D,C,E,F]) }
  3. Combien faut-il ajouter de cartes pour passer de 1 étage à 2 étages? Même question de 2 à 3, puis même question de 3 à 4.
    4. $7 - 2 = 5$ donc il faut $5$ cartes pour passer de 1 étage à 2 étages.

    $15 - 7 = 8$ donc il faut $8$ cartes pour passer de 2 étages à 3 étages.

    $26 - 16 = 11$ donc il faut $11$ cartes pour passer de 3 étages à 4 étages.
  4. Combien de cartes faudra-t-il pour construire un château à 10 étages ?
    5. Dans la question précédente on peut remarquer qu'à chaque augmentation d'étage le nombre de cartes à ajouter augmente de $3$.
    Pour passer de 3 à 4 étages on ajoute $11$ cartes donc pour passer à 5 étages on ajoute $14$ cartes.
    Ainsi, le nombre de cartes pour un château à 5 étages s'obtient à partir du nombre de cartes, $26$, d'un château à 4 étages auquel on ajoute $14$. Soit $26+14=40$.
    On raisonne de même pour les étages suivants :
    6 étages : $40+17=57$,
    7 étages : $57+20=77$,
    8 étages : $77+23=100$,
    9 étages : $100+26=126$,
    10 étages : $126+29=155$.
    Un château à $10$ étages contient donc $155$ cartes.
    Les plus motivés peuvent les compter sur le schéma ci-dessous : Xmin = -0.5 Xmax = 11 Ymin = -1 Ymax = 18 couleur = noir peinture = blanc transparence = 1 for(var j = 0; j < 10; j++){ b = 0 if(j > 0){b = 1} for(var i = 0; i < 10-j; i++){ cartesTriangle(i+0.5*j,1.75*j,b) } } function cartesTriangle(x0,y0,b){ var A = [x0,y0] var B = [x0+0.5,y0+0.25] var C = [x0+1,y0+2] var D = [x0+0.5,y0+1.75] var E = [x0+1.5,y0+0.25] var F = [x0+1,y0] if(b == 1){ poly([A,B,E,F]) } poly([A,B,C,D]) poly([D,C,E,F]) }