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Ensembles de nombres ∼ Calcul littéral ∼ Racine carrée Ensembles de nombres
L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble, noté $\mathbb{N}$, des entiers positifs ou nul :

$0$; $1$; $2$; $3$ ; $\dots$ Résoudre dans $\mathbb{N}$ les équations suivantes :

$10+x=24$

$23+x=20$

La première équation admet $14$ comme unique solution dans $\mathbb{N}$.

Par contre, la deuxième équation devrait admettre comme solution le nombre $-3$, mais celui-ci n'est pas un entier naturel. Donc cette équation n'admet aucune solution dans $\mathbb{N}$.
L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble, noté $\mathbb{Z}$, des entiers positifs ou nul et des entiers négatifs :

$\dots$; $-3$; $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $\dots$ Le nombre $(-4)\times7+(-6)\times(-6)$ est un entier naturel et un entier relatif.

Nous avons la relation d'inclusion suivante :

$\mathbb{N}$ $\subset$ $\mathbb{Z}$. Soit $f$ la fonction définie pour tout entier naturel $n$ par : $$\left\{ \begin{array}{rl} \text{Si }n\text{ est pair :} & f(n)=\dfrac{n}{2} \\ \text{Si }n\text{ est impair :} & f(n)=-\dfrac{n+1}{2} \\ \end{array} \right.$$

Calculer $f(122)$.

$f(122)$ $=$ $\dfrac{122}{2}$ $=$ $61$.

Calculer $f(31)$.

$f(31)$ $=$ $-\dfrac{31+1}{2}$ $=$ $-\dfrac{32}{2}$ $=$ $-16$ $\in$ $\mathbb{Z}$.

Déterminer $n$ tel que $f(n)=55$.

L'image est ici positive donc la formule correspondant à $f(n)$ est $\dfrac{n}{2}$.

$f(n)$	$=$	$55$
$\dfrac{n}{2}$	$=$	$55$
$n$	$=$	$55\times2$
$n$	$=$	$110.$

Déterminer $n$ tel que $f(n)=-18$.

L'image est ici négative donc la formule correspondant à $f(n)$ est $-\dfrac{n+1}{2}$.

$f(n)$	$=$	$-18$
$-\dfrac{n+1}{2}$	$=$	$-18$
$\dfrac{n+1}{2}$	$=$	$18$
$n+1$	$=$	$18\times2$
$n+1$	$=$	$36$
$n$	$=$	$36-1$
$n$	$=$	$35.$

L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble, noté $\mathbb{Q}$, des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ appartient à $\mathbb{Z}$ et $b$ appartient à $\mathbb{N}$ en étant non nul. Le nombre $\dfrac{1}{7}$ est un nombre rationnel.
Le nombre $-5$ $=$ $\dfrac{-5}{1}$ est aussi un rationnel.
Le nombre $-17,481$ $=$ $\dfrac{-17 481}{1000}$ est un rationnel.
Nous avons la relation d'inclusion suivante :

$\mathbb{Z}$ $\subset$ $\mathbb{Q}$. Tout nombre rationnel a une écriture décimale soit finie, soit infinie et périodique. Par exemple le nombre $\dfrac{23}{7}$ a pour premières décimales :

	2	3									7
-	2	1									3,	2	8	5	7	1	4	2	8
		2	0
	-	1	4
			6	0
		-	5	6
				4	0
			-	3	5
					5	0
				-	4	9
						1	0
					-		7
							3	0
						-	2	8
								2	0
							-	1	4
									6	0

Le nombre $\pi$ n'est pas rationnel. On dit qu'il est irrationnel. À partir de quelle décimale les nombres $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$ diffèrent-ils ? À partir de la 7ème décimale. Un poème pour apprendre les premières décimales de $\pi$, et sur ce lien quelques décimales de plus de $\pi$.
L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble, noté $\mathbb{D}$, des nombres rationnels de la forme $\dfrac{a}{10^n}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$. $2,1$ $=$ $\dfrac{21}{10}$ $=$ $\dfrac{21}{10^1}$.

$-13,48$ $=$ $\dfrac{1348}{10^2}$.

$13$ $=$ $\dfrac{13}{1}$ $=$ $\dfrac{13}{10^0}$. Les nombres décimaux sont des nombres rationnels particuliers, ainsi : $\mathbb{D}$ $\subset$ $\mathbb{Q}$.
L'ensemble des nombres réels est l'ensemble, noté $\mathbb{R}$, composé de tous les rationnels auxquels on ajoute les nombres irrationnels. Tous les nombres rencontrés jusqu'à aujourd'hui sont réels : $0$ ; $-8$ ; $\dfrac{8}{3}$ ; $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ etc.
Nous avons les inclusions suivantes :

$\mathbb{N}$ $\subset$ $\mathbb{Z}$ $\subset$ $\mathbb{D}$ $\subset$ $\mathbb{Q}$ $\subset$ $\mathbb{R}$.

$\mathbb{N}$

$0$

$13$

$158$

$\mathbb{Z}$

$-1$

$-44$

$\mathbb{D}$

$0,3$

$-\dfrac{3}{4}$

$\mathbb{Q}$

$\dfrac{1}{7}$

$-\dfrac{3}{13}$

$\mathbb{R}$

$\pi$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

Montrer que $\dfrac{\pi}{2}$ est irrationnel. Raisonnons par l'absurde : supposons que $\dfrac{\pi}{2}$ est un nombre rationnel, c'est-à-dire, supposons qu'il existe deux entiers $a$ et $b$, ($b$ non nul) tels que : $\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{a}{b}.$ On a alors: que $\pi$ $=$ $2\times\dfrac{a}{b}$, et donc que $\pi$ $=$ $\dfrac{2a}{b}$.

Or, puisque $a$ est un entier, $2a$ l'est également. Ainsi $\pi$ est un rationnel, ce qui est faux.

Notre supposition initiale, à savoir que $\dfrac{\pi}{2}$ est rationnel est donc fausse, et on peut affirmer que $\dfrac{\pi}{2}$ est irrationnel. Calcul littéral Distributivité
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels.

4 $\bullet$ $a(b+c)$ $=$ $ab+ac$

4 $\bullet$ $(a+b)(c+d)$ $=$ $ac+ad+bc+bd$

$\dfrac{2}{3}(5-6x)$	$=$	$5\times\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\times6x$
	$=$	$\dfrac{5}{1}\times\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\times3\times2x$
	$=$	$\dfrac{10}{3}-4x$.

$(3x-4)(8-5x)$	$=$	$24x-15x^2-32+20x$
	$=$	$-15x^2+44x-32$.

Factoriser l'expression $f(x)=x^2-x$.

$f(x)$	$=$	$x^2-x$
	$=$	$x\times x-1\times x$.
	$=$	$x( x-1)$.

Identités remarquables

Dans la figure ci-dessus $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs, ABCD est un carré, ainsi que AIHL et HJCK.

Déterminer l'aire du carré AIHL, puis celle du carré HJCK.

La longueur des côtés du carré AIHL est $a$. Ainsi l'aire de ce carré est $a\times a$ $=$ $a^2$.

De même, puisque la longueur des côtés de HJCK est $b$, l'aire de ce carré est $b^2$.

Déterminer l'aire des rectangles LHKD et IBJH.

Le rectangle LHKD a pour largeur LH $=$ $a$ et HK $=$ $b$. Ainsi son aire vaut $a\times b$ $=$ $ab$.

Il en est exactement de même pour le rectangle IBJH.

En exprimant, toujours en fonction de $a$ et de $b$ l'aire du carré ABCD. En déduire une formule pour $(a+b)^2$.

Le carré ABCD a pour côté $a+b$. Ainsi son aire est de $(a+b)\times(a+b)$ $=$ $(a+b)^2$.

Par ailleurs, ce carré peut-être découpé en plusieurs rectangles et carrés. Ainsi l'aire vaut également :

$\mathcal{A}_{ABCD}$ $=$ $\mathcal{A}_{AIHL}+\mathcal{A}_{IBJH}+\mathcal{A}_{LHKD}+\mathcal{A}_{HJCK}$.

C'est-à-dire :

$(a+b)^2$ $=$ $a^2+ab+ab+b^2$.

Ce qui donne :

$(a+b)^2$ $=$ $a^2+2ab+b^2$.

Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :

4$\bullet$ $(a+b)^2$ $=$ $a^2+2ab+b^2$

4$\bullet$ $(a-b)^2$ $=$ $a^2-2ab+b^2$.

4$\bullet$ $(a-b)(a+b)$ $=$ $a^2-b^2$. $(x+3)^2$ $=$ $x^2+2\times x\times3+3^2$ $=$ $x^2+6x+9$.

$(x-5)^2$ $=$ $x^2-2\times5x+5^2$ $=$ $x^2-10x+25$.

$(2x-1)(2x+1)$ $=$ $(2x)^2-1^2$ $=$ $4x^2-1$. Développer l'expression : $A(x)=(3x-5)^2$.

$A(x)$	$=$	$(3x-5)^2$
	$=$	$(3x)^2-2\times3x\times5+25$
	$=$	$9x^2-30x+25.$

Racine carrée Rappels algébriques
Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs, $a$ et $b$ deux réels.

4$\bullet$ $a^0$ $=$ $1$ et $a^1$ $=$ $a$.

4$\bullet$ $a^{-n}$ $=$ $\dfrac{1}{a^n}$.

4$\bullet$ $a^n\times a^m$ $=$ $a^{n+m}$.

4$\bullet$ $(a^n)^m$ $=$ $a^{n\times m}$.

4$\bullet$ $(a\times b)^n$ $=$ $a^n\times b^n$.

4$\bullet$ Si $a\neq 0$, $\dfrac{a^n}{a^m}$ $=$ $a^{n-m}$.

4$\bullet$ Si $b\neq 0$, $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ $=$ $\dfrac{a^n}{b^n}$. $\dfrac{1}{1000}$ $=$ $\dfrac{1}{10^3}$ $=$ $10^{-3}$.

$x^5\times x^2$ $=$ $x^7$.

$(4x)^3$ $=$ $4^3x^3$ $=$ $64x^3$.

$\dfrac{x^8}{x^3}$ $=$ $x^5$.

$\left( \dfrac{11}{7x} \right)^2$ $=$ $\dfrac{121}{49x^2}$.

$(x^3)^4$ $=$ $x^{12}$. Racine carrée Déterminer un entier naturel tel qu'élevé au carré on obtienne 49. La réponse est le nombre $7$ car $7^2=49$.

On peut écrire également que $\sqrt{49} = 7$.
Soit $a$ un nombre réel positif. La racine carrée de $a$ est l'unique nombre réel positif dont le carré est égale à $a$.

Pour tout $a\geq0$, on a $\left( \sqrt{a} \right)^2$ $=$ $a$.

$n$	$n^2$
$0$	$0$
$1$	$1$
$2$	$4$
$3$	$9$
$4$	$16$
$5$	$25$
$6$	$36$
$7$	$49$
$8$	$64$
$9$	$81$
$10$	$100$
$11$	$121$
$12$	$144$
$13$	$169$
$14$	$196$
$15$	$225$
$16$	$256$

$n$	$\sqrt{n}$
$0$	$\sqrt{0}$ $=$ $0$
$1$	$\sqrt{1}$ $=$ $1$
$4$	$\sqrt{4}$ $=$ $2$
$9$	$\sqrt{9}$ $=$ $3$
$16$	$\sqrt{16}$ $=$ $4$
$25$	$\sqrt{25}$ $=$ $5$
$36$	$\sqrt{36}$ $=$ $6$
$49$	$\sqrt{49}$ $=$ $7$
$64$	$\sqrt{64}$ $=$ $8$
$81$	$\sqrt{81}$ $=$ $9$
$100$	$\sqrt{100}$ $=$ $10$
$121$	$\sqrt{121}$ $=$ $11$
$144$	$\sqrt{144}$ $=$ $12$
$169$	$\sqrt{169}$ $=$ $13$
$196$	$\sqrt{196}$ $=$ $14$
$225$	$\sqrt{225}$ $=$ $15$
$256$	$\sqrt{256}$ $=$ $16$

Nous avons que : $36$ $=$ $4\times 9$, et on peut remarquer que $\sqrt{36}$ $=$ $6$ ainsi que $\sqrt{4}\times\sqrt{9}$ $=$ $2\times 3$ $=$ $6$.
Sur ce cas particulier nous avons : $\sqrt{4\times9}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{9}$.

La question qui se pose alors est de savoir si ce cas particulier se généralise à tout produit de réels positifs.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $\sqrt{ab}$ $=$ $\sqrt{a}\sqrt{b}$. On peut alors dire que : « la racine carrée d'un produit est le produit des racines carrées. »

Preuve
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. On a alors, par définition de la racine carrée :

$\left( \sqrt{ab} \right)^2$ $=$ $ab$.

D'autre part :

$(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2$ $=$ $(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2$ $=$ $ab$.

Ainsi, les deux nombres positifs $\sqrt{ab}$ et $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ ont leur carré qui sont égaux. On peut alors affirmer qu'il sont eux-même égaux, et écrire :

$\sqrt{ab}$ $=$ $\sqrt{a}\sqrt{b}$. $\sqrt{8}$ $=$ $\sqrt{4\times2}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{2}$ $=$ $2\sqrt{2}$. Écrire sous la forme $a\sqrt{3}$, $a\in\mathbb{N}$, le nombre $2\sqrt{48}$.

$2\sqrt{48}$	$=$	$2\sqrt{16\times 3}$
	$=$	$2\sqrt{16}\times\sqrt{3}$
	$=$	$2\times4\sqrt{3}$
	$=$	$8\sqrt{3}$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs, $b$ non nuls. $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. On peut alors dire que : "la racine carrée d'un quotient est le quotient des racines carrées". Le nombre $\sqrt{ \dfrac{2}{4} }-\dfrac{\sqrt{18}}{6}$ est-il un nombre entier ?

$\sqrt{ \dfrac{2}{4} }-\dfrac{\sqrt{18}}{6}$	$=$	$\sqrt{ \dfrac{1}{2} }-\dfrac{\sqrt{9\times2}}{6}$
	$=$	$ \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2} }-\dfrac{\sqrt{9}\sqrt{2}}{6}$
	$=$	$ \dfrac{1}{\sqrt{2} }-\dfrac{3\sqrt{2}}{6}$
	$=$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	$=$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	$=$	$0$.

Le nombre est donc bien un entier. Quizz

L'ensemble des nombres rationnels est noté :

$\mathbb{N}$
$\mathbb{Z}$
$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$

Une seule des égalités ci-dessous est correcte.

$\dfrac{1}{3} = 1,3$
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{1000}$
$\dfrac{\pi}{2} = 1,57$
$\dfrac{2}{8} = \dfrac{25}{100}$

L'expression $(3x-4)^2$ est égale à :

$9x^2-12x+16$
$9x^2-12x-16$
$3x^2-12x+16$
$3x^2+12x-16$

Le nombre $\dfrac{4\sqrt{45}}{3}$ s'écrit également :

$20$
$4\sqrt{5}$
$4\sqrt{15}$
$\sqrt{30}$