--> Fonctions affines 1Fonctions affines Definition 1
Une fonction ff définie sur R\mathbb{R} est dite affine lorsqu'il existe deux réels aa et bb tels que, pour tout xx ∈\in R\mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

Les nombres aa et bb sont respectivement appelés le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de ff. Remark 1 Dans le cas particulier où aa == 00, la fonction est dite constante.

Dans le cas où bb == 00, la fonction est dite linéaire. Exemple 1 La fonction gg définie pour tout réel xx par g(x)=3x−11g(x)=3x-11 est une fonction affine. Son ordonnée à l'origine vaut −11-11 et son coefficient directeur 33.
On peut remplir le tableau de valeurs ci-dessous pour cette fonction :

xx −10-10 −1-1 00 0,50,5 113\dfrac{11}{3} 111111
g(x)=3x−11g(x)=3x-11 −41-41 −14-14 −11-11 −9,5-9,5 00 322322
Property 1
Dans un repère orthonormé du plan, la courbe représentative d'une fonction affine est une droite sécante avec l'axe des ordonnées. Exercice 1 Dans le repère ci-dessous, construire les courbes représentatives des deux fonctions affines ff et gg définies pour tout réel xx par :
f(x)=12x−3f(x)=\dfrac{1}{2}x-3 g(x)=−x+1g(x)=-x+1
246−2−4−6246−2−4−6
Correction
246−2−4−6246−2−4−6
y=f(x)
y=g(x)
Pour la fonction ff :
On a f(0)f(0) == 12×0−3\dfrac{1}{2}\times0-3 == −3-3. Donc la droite passe par le point (0;−3)(0;-3).

De plus, f(4)f(4) == 12×4−3\dfrac{1}{2}\times4-3 == −1-1. Donc la droite passe également par le point (4;−1)(4;-1).

Pour la fonction gg :
On a g(0)g(0) == −0+1-0+1 == 11. Donc la droite passe par le point (0;1)(0;1).

De plus, g(6)g(6) == −6+1-6+1 == −5-5. Donc la droite passe également par le point (6;−5)(6;-5).
✕
Property 2
Deux fonctions affines ont des représentations graphiques parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Illustration
246−2−4−6246−2−4−6
f(x) = 0,6x-2
g(x)=0,6x+2
Property 3
Soit ff une fonction affine dont le coefficient directeur est noté aa.
∙\bullet     Si a>0 a > 0 alors ff est strictement croissante.
∙\bullet     Si a<0 a < 0 alors ff est strictement décroissante. Illustration
246−2−4−6246−2−4−6
a = 1.00
b = 1.00
f(x) = 1x + 1
Faire varier les valeurs de aa et bb Property 4
Soient aa et bb deux réels, a≠0a\neq0, et soit ff la fonction affine définie pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} par f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

Il existe alors un unique réel xx tel que f(x)=0f(x)=0 et il vaut x=−bax=-\dfrac{b}{a}. Preuve
Résolvons l'équation f(x)=0f(x)=0.
f(x)f(x) == 00
ax+bax+b == 00
axax == −b-b
xx == −ba-\dfrac{b}{a}.
Property 5
Soient aa et bb deux réels, a≠0a\neq0, et soit ff la fonction affine définie pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} par f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
∙\bullet Si a>0a>0 alors : f(x)>0f(x)>0 si et seulement si x>−bax> -\dfrac{b}{a}.
xx −∞-\infty −ba-\dfrac{b}{a} +∞+\infty f(x)f(x) −- 0 ++
xx−∞-\infty−ba-\dfrac{b}{a}+∞+\infty
f(x)f(x)−-0++

∙\bullet Si a<0a < 0 alors : f(x)>0f(x)>0 si et seulement si x<−bax< -\dfrac{b}{a}.
xx −∞-\infty −ba-\dfrac{b}{a} +∞+\infty f(x)f(x) ++ 0 −-
xx−∞-\infty−ba-\dfrac{b}{a}+∞+\infty
f(x)f(x)++0−-
 Illustration
12345−1−2−3−4−512345−1−2−3−4−5
a = 1.00
b = 1.00
-b/a = -1
Exercice 2 Soit hh la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par h(t)=3t−5h(t)=3t-5. Déterminer le tableau de signe de hh sur R\mathbb{R}.
Correction
Résolvons tout d'abord h(t)=0h(t)=0.
h(t)h(t) == 00
3t−53t-5 == 00
3t3t == 55
tt == 53\dfrac{5}{3}.
Ainsi, puisque le coefficient directeur de gg vaut 33 qui est un nombre positif, nous avons le tableau de signes suivant :
tt −∞-\infty −53-\dfrac{5}{3} +∞+\infty h(t)h(t) −- 0 ++
tt−∞-\infty−53-\dfrac{5}{3}+∞+\infty
h(t)h(t)−-0++
✕
Property 6
Soit ff une fonction affine dont on note aa le coefficient directeur.
Pour tout nombre réel distincts x1x_1 et x2x_2, on a alors : aa == f(x2)−f(x1)x2−x1\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} Remark 2 On peut reformuler cette propriété en disant que le coefficient directeur est égal à la variation verticale sur la variation horizontale.

On encore : aa == ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}. Exercice 3 Soit ff la fonction affine dont la droite représentative passe par les points A(−2;3)A(-2;3) et B(4;−1)B(4;-1).
Déterminer l'expression algébrique de ff.
Correction
Notons aa et bb le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de ff. On a alors :

aa == yB−yAxB−xA\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} == −1−34−(−2)\dfrac{-1-3}{4-(-2)} == −46\dfrac{-4}{6} == −23-\dfrac{2}{3}.

Nous avons ainsi que pour tout réel xx, f(x)f(x) == −23x+b-\dfrac{2}{3}x+b.

Pour déterminer bb il nous suffit alors de remplacer xx et f(x)f(x) par les coordonnées respectives de AA.

f(−2)f(-2) == −23×(−2)+b-\dfrac{2}{3}\times(-2)+b
33 == 43+b\dfrac{4}{3}+b
3−433-\dfrac{4}{3} == bb
31−43\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3} == bb
93−43\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3} == bb
53\dfrac{5}{3} == bb
bb == 53\dfrac{5}{3}.

L'expression algébrique de ff est donc, pour tout réel xx, f(x)f(x) == −23x+53-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}.
✕
Exercice 4 Dans le repère ci-dessous a été tracée une droite représentant une fonction affine gg.
Déterminer l'expression algébrique de gg.
246−2−4−6246−2−4−6
Correction
246−2−4−6246−2−4−6
3
5
Nous voyons que la droite passe par le point de coordonnées (0;−2)(0;-2), ainsi l'ordonnée à l'origine vaut −2-2.

La droite passe également par le point (3;3)(3;3), le coefficient directeur vaut donc :

3−(−2)3−0\dfrac{3-(-2)}{3-0} == 53\dfrac{5}{3}.
L'expression algébrique de gg est donc pour tout réel xx : g(x)g(x) == 53x−2\dfrac{5}{3}x-2.
✕
2Intersections de droites ∼ Positions relatives Property 7
Soient ff et gg deux fonctions affines.
Pour déterminer l'éventuel point d'intersection entre les deux droites représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

f(x)f(x) == g(x)g(x).
Si il existe une solution x0x_0, le point d'intersection à alors pour coordonnées (x0;f(x0))(x_0;f(x_0)). Exercice 5 Soient ff et gg les deux fonctions affines définies pour tout réel xx par f(x)=12x+5f(x)=\dfrac{1}{2}x+5 et g(x)=−2x−3g(x)=-2x-3.

Déterminer les coordonnées de l'éventuel point d'intersection entre les droites représentatives de ces deux fonctions.
Correction
Résolvons pour cela l'équation f(x)f(x) == g(x)g(x).
f(x)f(x) == g(x)g(x)
12x+5\dfrac{1}{2}x+5 == −2x−3-2x-3
12x+2x\dfrac{1}{2}x+2x == −3−5-3-5
12x+21x\dfrac{1}{2}x+\dfrac{2}{1}x == −8-8
12x+42x\dfrac{1}{2}x+\dfrac{4}{2}x == −8-8
52x\dfrac{5}{2}x == −8-8
xx == −8×25-8\times\dfrac{2}{5}
xx == −165-\dfrac{16}{5}.
Il nous reste à calculer f(−165)f\left( -\dfrac{16}{5} \right).

f(−165)f\left( -\dfrac{16}{5} \right) == 12×(−165)+5\dfrac{1}{2}\times\left( -\dfrac{16}{5}\right)+5 == −85-\dfrac{8}{5} ++ 255\dfrac{25}{5} == 175\dfrac{17}{5}.

Le point d'intersection cherché a donc pour coordonnées : (−165;175)\left( -\dfrac{16}{5};\dfrac{17}{5} \right).

On peut vérifier ce résultat dans un graphique.
246−2−4−6246−2−4−6
( 0 ; -3)
✕
Property 8
Soient ff et gg deux fonctions affines.
Pour déterminer la position relative des deux droites représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

f(x)f(x) ≤\leq g(x)g(x). Exercice 6 Soient ff et gg les deux fonctions affines définies pour tout réel xx par f(x)=x−1f(x)=x-1 et g(x)=−2x+1g(x)=-2x+1.
Déterminer la position relative des droites représentatives de ces deux fonctions.
Correction
Résolvons tout d'abord l'inéquation f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x).
f(x)f(x) ≤\leq g(x)g(x)
x−1x-1 ≤\leq −2x+1-2x+1
x+2xx+2x ≤\leq 1+11+1
3x3x ≤\leq 22
xx ≤\leq 23\dfrac{2}{3}.
Ainsi, pour tout réel x≤23x\leq\dfrac{2}{3}, la droite représentant la fonction ff est au dessous de celle représentant la fonction gg.
Pour tout réel x≥23x\geq\dfrac{2}{3}, la droite représentant la fonction ff est au dessus de celle représentant la fonction gg.

En notant Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g les droites représentant les fonctions ff et gg, on peut établir le tableau suivant :
xx −∞-\infty 23\dfrac{2}{3} +∞+\infty Position relative Cf\mathcal{C}_f est en dessous de Cg\mathcal{C}g 0 Cf\mathcal{C}f est au dessus de Cg\mathcal{C}g
xx−∞-\infty23\dfrac{2}{3}+∞+\infty
Position relativeCf\mathcal{C}_f est en dessous de Cg\mathcal{C}g0Cf\mathcal{C}f est au dessus de Cg\mathcal{C}g


On peut vérifier ce résultat dans un graphique.
246−2−4−6246−2−4−6
f(x)
g(x)
x = -2
f(x) = -3
g(x) = 5
f(x) < g(x)
Déplacer le point bleu
✕
3Quizz
  1. Soit ff la fonction définie pour tout réel xx par f(x)=3−15xf(x)=3-\dfrac{1}{5}x. Le coefficient directeur de ff :
    1. n'existe pas car ff n'est pas une fonction affine
    2. vaut 33
    3. vaut 15\dfrac{1}{5}
    4. −0,2-0,2
  2. Soit gg la fonction affine définie pour tout réel tt par g(t)=4t+8g(t)=4t+8. L'antécédent de 00 est :
    1. −2-2
    2. 22
    3. 88
    4. 44
  3. Dans le repère ci-dessous a été tracée la courbe représentative d'une fonction affine hh.
    246−2−4−6246−2−4−6
    Son coefficient directeur vaut :
    1. 66
    2. 12\dfrac{1}{2}
    3. −12-\dfrac{1}{2}
    4. −2-2