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Fonctions affines Fonctions affines
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est dite affine lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ $\in$ $\mathbb{R}$, $f(x)$ $=$ $ax+b$.

Les nombres $a$ et $b$ sont respectivement appelés le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$. Dans le cas particulier où $a$ $=$ $0$, la fonction est dite constante.

Dans le cas où $b$ $=$ $0$, la fonction est dite linéaire. La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=3x-11$ est une fonction affine. Son ordonnée à l'origine vaut $-11$ et son coefficient directeur $3$.
On peut remplir le tableau de valeurs ci-dessous pour cette fonction :

$x$ $-10$ $-1$ $0$ $0,5$ $\dfrac{11}{3}$ $111$
$g(x)=3x-11$ $-41$ $-14$ $-11$ $-9,5$ $0$ $322$

Dans un repère orthonormé du plan, la courbe représentative d'une fonction affine est une droite sécante avec l'axe des ordonnées. Dans le repère ci-dessous, construire les courbes représentatives des deux fonctions affines $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{2}x-3$ $g(x)=-x+1$
Pour la fonction $f$ :
On a $f(0)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times0-3$ $=$ $-3$. Donc la droite passe par le point $(0;-3)$.

De plus, $f(4)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times4-3$ $=$ $-1$. Donc la droite passe également par le point $(4;-1)$.

Pour la fonction $g$ :
On a $g(0)$ $=$ $-0+1$ $=$ $1$. Donc la droite passe par le point $(0;1)$.

De plus, $g(6)$ $=$ $-6+1$ $=$ $-5$. Donc la droite passe également par le point $(6;-5)$.
Deux fonctions affines ont des représentations graphiques parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Illustration

Soit $f$ une fonction affine dont le coefficient directeur est noté $a$.
$\bullet$ 3 Si $ a > 0 $ alors $f$ est strictement croissante.
$\bullet$ 3 Si $ a < 0 $ alors $f$ est strictement décroissante. Illustration
Faire varier les valeurs de $a$ et $b$
Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.

Il existe alors un unique réel $x$ tel que $f(x)=0$ et il vaut $x=-\dfrac{b}{a}$. Preuve
Résolvons l'équation $f(x)=0$.
$f(x)$ $=$ $0$
$ax+b$ $=$ $0$
$ax$ $=$ $-b$
$x$ $=$ $-\dfrac{b}{a}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
$\bullet$ Si $a>0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x> -\dfrac{b}{a}$.
$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$

$\bullet$ Si $a < 0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x< -\dfrac{b}{a}$.
$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$
Illustration
Soit $h$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $h(t)=3t-5$. Déterminer le tableau de signe de $h$ sur $\mathbb{R}$. Résolvons tout d'abord $h(t)=0$.
$h(t)$ $=$ $0$
$3t-5$ $=$ $0$
$3t$ $=$ $5$
$t$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
Ainsi, puisque le coefficient directeur de $g$ vaut $3$ qui est un nombre positif, nous avons le tableau de signes suivant :
$t$ $-\infty$ $-\dfrac{5}{3}$ $+\infty$ $h(t)$ $-$ 0 $+$

Soit $f$ une fonction affine dont on note $a$ le coefficient directeur.
Pour tout nombre réel distincts $x_1$ et $x_2$, on a alors : $a$ $=$ $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ On peut reformuler cette propriété en disant que le coefficient directeur est égale à la variation verticale sur la variation horizontale.

On encore : $a$ $=$ $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Soit $f$ la fonction affine dont la droite représentative passe par les points $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$.
Déterminer l'expression algébrique de $f$. Notons $a$ et $b$ le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$. On a alors :

$a$ $=$ $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ $=$ $\dfrac{-1-3}{4-(-2)}$ $=$ $\dfrac{-4}{6}$ $=$ $-\dfrac{2}{3}$.

Nous avons ainsi que pour tout réel $x$, $f(x)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}x+b$.

Pour déterminer $b$ il nous suffit alors de remplacer $x$ et $f(x)$ par les coordonnées respectives de $A$.

$f(-2)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}\times(-2)+b$
$3$ $=$ $\dfrac{4}{3}+b$
$3-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{5}{3}$ $=$ $b$
$b$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.

L'expression algébrique de $f$ est donc, pour tout réel $x$, $f(x)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$. Dans le repère ci-dessous a été tracée une droite représentant une fonction affine $g$.
Déterminer l'expression algébrique de $g$.
Nous voyons que la droite passe par le point de coordonnées $(0;-2)$, ainsi l'ordonnée à l'origine vaut $-2$.

La droite passe également par le point $(3;3)$, le coefficient directeur vaut donc :

$\dfrac{3-(-2)}{3-0}$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
L'expression algébrique de $g$ est donc pour tout réel $x$ : $g(x)$ $=$ $\dfrac{5}{3}x-2$. Intersections de droites ∼ Positions relatives
Soient $f$ et $g$ deux fonctions affines.
Pour déterminer l'éventuel point d'intersection entre les deux droites représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

$f(x)$ $=$ $g(x)$.
Si il existe une solution $x_0$, le point d'intersection à alors pour coordonnées $(x_0;f(x_0))$. Soient $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+5$ et $g(x)=-2x-3$.

Déterminer les coordonnées de l'éventuel point d'intersection entre les droites représentatives de ces deux fonctions. Résolvons pour cela l'équation $f(x)$ $=$ $g(x)$.
$f(x)$ $=$ $g(x)$
$\dfrac{1}{2}x+5$ $=$ $-2x-3$
$\dfrac{1}{2}x+2x$ $=$ $-3-5$
$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{2}{1}x$ $=$ $-8$
$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{4}{2}x$ $=$ $-8$
$\dfrac{5}{2}x$ $=$ $-8$
$x$ $=$ $-8\times\dfrac{2}{5}$
$x$ $=$ $-\dfrac{16}{5}$.
Il nous reste à calculer $f\left( -\dfrac{16}{5} \right)$.

$f\left( -\dfrac{16}{5} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times\left( -\dfrac{16}{5}\right)+5$ $=$ $-\dfrac{8}{5}$ $+$ $\dfrac{25}{5}$ $=$ $\dfrac{17}{5}$.

Le point d'intersection cherché a donc pour coordonnées : $\left( -\dfrac{16}{5};\dfrac{17}{5} \right)$.

On peut vérifier ce résultat dans un graphique.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions affines.
Pour déterminer la position relative des deux droites représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

$f(x)$ $\leq$ $g(x)$. Soient $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies pour tout réel $x$ par $f(x)=x-1$ et $g(x)=-2x+1$.
Déterminer la position relative des droites représentatives de ces deux fonctions. Résolvons tout d'abord l'inéquation $f(x) \leq g(x)$.
$f(x)$ $\leq$ $g(x)$
$x-1$ $\leq$ $-2x+1$
$x+2x$ $\leq$ $1+1$
$3x$ $\leq$ $2$
$x$ $\leq$ $\dfrac{2}{3}$.
Ainsi, pour tout réel $x\leq\dfrac{2}{3}$, la droite représentant la fonction $f$ est au dessous de celle représentant la fonction $g$.
Pour tout réel $x\geq\dfrac{2}{3}$, la droite représentant la fonction $f$ est au dessus de celle représentant la fonction $g$.

En notant $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les droites représentant les fonctions $f$ et $g$, on peut établir le tableau suivant :
$x$ $-\infty$ $\dfrac{2}{3}$ $+\infty$ Position relative $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}g$ 0 $\mathcal{C}f$ est au dessus de $\mathcal{C}g$


On peut vérifier ce résultat dans un graphique.
Déplacer le point bleu
Quizz
  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=3-\dfrac{1}{5}x$. Le coefficient directeur de $f$ :
    1. n'existe pas car $f$ n'est pas une fonction affine
    2. vaut $3$
    3. vaut $\dfrac{1}{5}$
    4. $-0,2$



  2. Soit $g$ la fonction affine définie pour tout réel $t$ par $g(t)=4t+8$. L'antécédent de $0$ est :
    1. $-2$
    2. $2$
    3. $8$
    4. $4$



  3. Dans le repère ci-dessous a été tracée la courbe représentative d'une fonction affine $h$.
    Son coefficient directeur vaut :
    1. $6$
    2. $\dfrac{1}{2}$
    3. $-\dfrac{1}{2}$
    4. $-2$