--> Géométrie repérée 1Repère du plan Definition 1
Un repère orthonormé du plan est la donnée de trois points non alignés (O,I,J)(O,I,J) tels que :

(OI)⊥(OJ)(OI)\perp(OJ) et OIOI == OJOJ =1=1. Remark 1 Un repère orthonormé peut s'appeler aussi repère orthonormal. Exemple 1
O
I
J
Definition 2
Un repère orthogonal du plan est la donnée de trois points non alignés (O,I,J)(O,I,J) tels que :

(OI)⊥(OJ)(OI)\perp(OJ). Exemple 2
O
I
J
Definition 3
Un repère quelconque du plan est la donnée de trois points non alignés (O,I,J)(O,I,J)

(OI)⊥(OJ)(OI)\perp(OJ). Exemple 3
O
I
J
Definition 4    Coordonnées d'un point
On considère un repère du plan. Dans ce repère un point du plan peut-être défini à l'aide de deux nombres.
On note généralement (x;y)(x;y) ce couple de nombres.
Le premier s'appelle abscisse. Le second s'appelle ordonnée. Exercice 1 Placer les points A(2;3)A(2;3), B(−2;1,5)B(-2;1,5), C(−3,5;−4)C(-3,5;-4) et D(6;0)D(6;0) dans le repère ci-dessous.
246−2−4−6246−2−4−6
Correction
246−2−4−6246−2−4−6
A
B
C
D
✕
2Distance entre deux points Exemple 4
O
I
J
A
B
H
Dans la figure ci-dessus on considère AA, BB et HH trois points d'un repère orthogonal du plan tel que xH=xBx_H=x_B et yH=yAy_H=y_A.
On a alors que le triangle ABHABH est rectangle en HH et :

AHAH == xH−xAx_H-x_A == xB−xAx_B-x_A.

BHBH == yB−yHy_B - y_H == yB−yAy_B-y_A.

Ainsi, en appliquant le théorème de Pythgore au triangle rectangle ABHABH :

AB2AB^2 == AH2+HB2AH^2+HB^2
== (xB−xA)2+(yB−yA)2(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2
Property 1
Soient A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B) deux points d'un repère du plan. La distance entre les points AA et BB est en fait la longueur du segment [AB][AB].

On a alors :
AB2AB^2 == (xB−xA)2+(yB−yA)2(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2
ou encore :

ABAB == (xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} Exercice 2 On se place dans un repère orthogonal du plan. Trouver la longueur du segment [MN][MN] avec M(−1;3)M(-1;3) et N(5;−1)N(5;-1).
Correction
En appliquant la formule précédente nous avons :
MN2MN^2 == (xN−xM)2+(yN−yM)2(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2
== (5−(−1))2+(−1−3)2(5-(-1))^2+(-1-3)^2
== 62+(−4)26^2+(-4)^2
== 36+1636+16
== 5252


Ainsi, MNMN == 52\sqrt{52} == 4×13\sqrt{4\times13} == 413\sqrt{4}\sqrt{13} == 2132\sqrt{13}.
✕
3Milieu d'un segment Exemple 5
O
I
J
A
B
M
A( 5; 5 )
B( 15; 10 )
M( 10; 7.5 )
Déplacer les points A et B Property 2
Soient A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B) deux points d'un repère du plan. On appelle MM le milieu de [AB][AB].
On note (xM;yM)(x_M;y_M) ses coordonnées.
On a que :

M(xA+xB2;yA+yB2)M \left( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} \right). Exercice 3 Soient A(−4;−10)A(-4;-10) et B(14;9)B(14;9) deux points d'un repère du plan. Déterminer les coordonnées de MM milieu de [AB][AB].
Correction
MM == (xA+xB2;yA+yB2)\left( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} \right)
== (−4+142;−10+92)\left( \dfrac{-4+14}{2} ; \dfrac{-10+9}{2} \right)
== (102;−12)\left( \dfrac{10}{2} ; \dfrac{-1}{2} \right)
== (5;−12)\left( 5 ; -\dfrac{1}{2} \right).
✕