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VecteursNotion de vecteur
Une translation est une transformation qui déplace les points le long d'une droite dans un sens et sur une distance donnée.
Si une translation est suivant une droite $(AB)$, dans le sens de $A$ vers $B$, sur la distance $AB$, on l'appelera translation qui transforme $A$ en $B$.
Dans la figure ci-dessous, la translation qui transforme $A$ en $B$, transforme aussi $C$ en $D$.
• L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
• L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur.
• L'image d'un secteur angulaire par une translation est un secteur angulaire de même mesure.
Les translations sont des isométries.
Les translations conservent donc les distances, les aires et les mesures des angles.
Construire ci-dessous les images de chaque figure dans la translation qui transforme $M$ en $N$.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un objet mathématique défini par :
• la direction de la droite $(AB)$,
• le sens, sur cette droite, de $A$ vers $B$,
• la distance $AB$.
Il représente l'objet qui transforme tout point en son image dans la translation de $A$ vers $B$. On le représente graphiquement à l'aide d'un segment suivi d'une flèche en $B$.
On parlera alors de translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ plutôt que de translation de $A$ vers $B$.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts.
La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ transforme le point $C$ en un unique point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ est un parallèlogramme.
Preuve
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, car l'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
De plus, les longueurs $AB$ et $CD$ sont égales, car une translation est une isométrie.
Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ a deux côtés parallèles et de même longueur. C'est un parallèlogramme.
Algorithme de construction
• Tracer le segment $[BC]$.
• Placer le point $I$ milieu de $[BC]$.
• Placer le point $D$ tel que $I$ soit le milieu de $[AD]$.
Xmin = -11
Xmax = 4
Ymin = -8
Ymax = 10
A = [-9,4]
point(A)
texte("A",[-9.2,4.5])
B = [-2,6]
point(B)
texte("B",[-2,6.5])
C = [-7,-3]
point(C)
texte("C",[-7.7,-4.0])
segment(B,C)
I = [ (B[0]+C[0])/2 , (B[1]+C[1])/2 ]
point(I)
texte("I",[I[0],I[1]-0.9])
D = [ -A[0]+2*I[0] , -A[1]+2*I[1] ]
point(D)
texte("D",[D[0],D[1]-0.9])
segment(A,D,[4,3])
Dans cette figure quelle est l'image du point $A$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$ ?
Réponse : le point $B$.
Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Dire que deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont égaux, signifie que la translation qui transforme $A$ en $B$, transforme aussi $M$ en $N$.
On note alors : $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{MN}$.
Dans la figure ci-dessous, construire les points $J$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{MN}$
Dans le cube ci-dessous, donner des vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$.
• $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{DC}$ $=$ $\overrightarrow{EF}$ $=$ $\overrightarrow{HG}$.
• $\overrightarrow{AE}$ $=$ $\overrightarrow{BF}$ $=$ $\overrightarrow{DH}$ $=$ $\overrightarrow{CG}$.
•$\overrightarrow{AC}$ $=$ $\overrightarrow{EG}$.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
En d'autres termes, nous avons :
• Si $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{CD}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme.
• Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{DC}$.
Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est associé à la translation qui transforme tout point en lui-même.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Le vecteur oppposé à $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur associé à la translation qui transforme $B$ en $A$.
On le note $-\overrightarrow{AB}$ et on a alors : $-\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{BA}$.
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et $A$ et $B$ deux points tels que $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\vec{u}$.
La norme du vecteur $\vec{u}$, notée $||\vec{u}||$ est égale à la distance $AB$.
On a que $||\vec{0}||$ $=$ $0$.
Somme de vecteurs
Dans la figure ci-dessous, tracer le point $M'$ image de $M$ dans la translation de vecteur $\vec{u}$, puis tracer $M''$ image de $M'$ dans la translation de vecteur $\vec{v}$.
Tracer ensuite le point $M_1$ image de $M$ dans la translation de vecteur $\vec{v}$, puis tracer $M_2$ image de $M_1$ dans la translation de vecteur $\vec{u}$.
La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur associé à la translation résultat de l'enchaïnement des translations de vecteur $\vec{u}$ et de vecteur $\vec{v}$.
On note ce vecteur : $\vec{u}+\vec{v}$.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ :
Pour construire le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$, on part de $A$, on effectue la translation de vecteur $\vec{u}$. On obtient $B$. Puis on effectue la translation de vecteur $\vec{v}$ pour obtenir $C$.
Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ est alors représenté par le vecteur $\overrightarrow{AC}$.
On a alors : $\overrightarrow{AC}$ $=$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
3Relation de Chasles
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. On a alors :
$\overrightarrow{AC}$ $=$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
Règle du parallélogramme
On place les origines des représentants des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en $A$.
La somme $\vec{u}+\vec{v}$ est représentée par le vecteur $\overrightarrow{AS}$ tel que le quadrilatère $ABSE$ soient un parallélogramme.
Pour cela, on peut tracer la diagonale $[EB]$, puis son mileu $I$, et construire $S$ tel que $I$ soit le milieu de $[AS]$.
Un petit jeu
Dans les graphiques ci-dessous, déplacer le point M pour obtenir un vecteur $\overrightarrow{AM}$ le plus proche possible de $\vec{u}+\vec{v}$. Cliquer alors sur "solution" pour vérifier.
Avec la grille