--> Étude de fonctions 1Propriétés 1.1Parité Definition 1
Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD de R\mathbb{R}, tel que pour tout x∈Dx\in D, on a −x∈D-x\in D.
• la fonction ff est dite paire, si pour tout x∈Dx\in D : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).
• la fonction ff est dite impaire, si pour tout x∈Dx\in D : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).
Exemple 1 Property 1
Soit ff une fonction paire définie sur un ensembe DD de R\mathbb{R}. La courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
246−2−4−6123456−1−2−3
x
-x
Property 2
Soit ff une fonction impaire définie sur un ensembe DD de R\mathbb{R}. La courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'origine du repère.
246−2−4−6123456−1−2−3
x
-x
f(x)
f(-x)
1.2Sens de variation Definition 2
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
La fonction ff est dite croissante sur II, si pour tous réels aa et bb, tels que a≤ba \leq b, on a f(a)≤f(b)f(a) \leq f(b).
246−2−4−6123456−1−2−3
a
b
f(a)
f(b)
Definition 3
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
La fonction ff est dite décroissante sur II, si pour tous réels aa et bb, tels que a≤ba \leq b, on a f(a)≥f(b)f(a) \geq f(b).
246−2−4−6123456−1−2−3
a
b
f(a)
f(b)
1.3Intersection ∼ Position relative Property 3
Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD de R\mathbb{R}.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

f(x)f(x) == g(x)g(x).
Si il existe une solution x0x_0, le point d'intersection à alors pour coordonnées (x0;f(x0))(x_0;f(x_0)). Remark 1 Réciproquement, résoudre graphiquement l'équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) revient à chercher l'abscisse des points d'intersection entre les courbes des deux fonctions. Property 4
Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD de R\mathbb{R}. On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

f(x)f(x) ≤\leq g(x)g(x).
246−2−4−6123456−1−2−3
x
f(x)
g(x)
2Fonctions de référence 2.1La fonction carrée Definition 4
La fonction carrée est la fonction qui, à tout réel xx, associe le réel xx, associe le réel x2x^2.
123−1−2−3123456
Remark 2 La fonction carrée est une fonction paire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. Property 5 Remark 3 Son tableau de variation est donc :
xx −∞-\infty 00 +∞+\infty x2x^2 décroissante croissante 00
xx−∞-\infty00+∞+\infty
x2x^2
00
Property 6
Soit aa un nombre réel. L'équation x2=ax^2= a : Preuve pour le cas a>0a > 0 :
x2x^2 == aa
x2−ax^2 - a == 00
x2−a2x^2 - \sqrt{a}^2 == 00
(x−a)(x+a)(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) == 00
Ainsi, d'après la règle du produit nul :
x−ax - \sqrt{a} == 00
xx == a \sqrt{a}
x+ax + \sqrt{a} == 00
xx == −a -\sqrt{a}
Property 7
Soit a≥0a\geq0.
123−1−2−3123456
a
x
x2
sqrtasqrt{a}
−sqrta-sqrt{a}
2.2La fonction racine carrée Definition 5
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel xx positif, associe le réel x\sqrt{x}.
123456789−10.511.522.533.5−0.5
Remark 4 La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole. Elle s'obtient par symétrie de la parabole de la fonction carrée sur [0;+∞[[0;+\infty[ par rapport à la droite d'équation y=xy=x.
Property 8
La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[. Remark 5 Son tableau de variation est donc :
xx 00 +∞+\infty +∞+\infty x\sqrt{x} croissante 00
xx00+∞+\infty
+∞+\infty
x\sqrt{x}
00
2.3La fonction cube Definition 6
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel xx, associe le réel x3x^3.
0.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.5246−2−4−6
Property 9
La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
En posant f(x)=x3f(x)=x^3 on a, pour tout réel xx,
f(−x)f(-x) == (−x)3=(−x)×(−x)×(−x)(-x)^3 = (-x)\times(-x)\times(-x) == −x3-x^3 == −f(x)-f(x). Property 10
La fonction cube est croissante sur R\mathbb{R}. Remark 6 Son tableau de variation est donc :
xx −∞-\infty +∞+\infty x3x^3 croissante
xx−∞-\infty+∞+\infty
x3x^3
Property 11
Pour tout réel aa, l'équation x3=ax^3 = a admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de aa. Exemple 2 L'équation x3=27x^3= 27 admet comme unique solution 33, car 333^3 == 2727.
Ainsi, 273\sqrt[3]{27} == 33. Exercice 1 Soit ff, gg, hh et ii les fonction définies pour tout réel xx par : f(x)=xf(x)=x ; g(x)=x2g(x) = x^2 ; h(x)=x3h(x)=x^3 ; i(x)=xi(x)=\sqrt{x}.
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe dans le repère ci-dessous.
0.20.40.60.811.21.41.60.20.40.60.811.21.41.6
C1
C2
C3
C4
Correction
  • La courbe C1C_1 représente la fonction racine carrée ii.
  • La courbe C2C_2 représente la fonction ff.
  • La courbe C3C_3 représente la fonction carrée gg.
  • La courbe C4C_4 représente la fonction cube hh.
✕
Property 12
 2.4La fonction inverse Definition 7
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel xx non nul, associe le réel 1x\dfrac{1}{x}. Remark 7 L'ensemble de définition de la fonction inverse est ]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty;0[\cup]0;+\infty[, que l'on note également R∗\mathbb{R}^*.
0.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.5246−2−4−6
Remark 8 La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est composée de deux branches. Property 13
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
Pour tout x≠0x\neq0, notons f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} :
f(−x)f(-x) == 1−x\dfrac{1}{-x} == −1x-\dfrac{1}{x} == −f(x)-f(x). Property 14
La fonction inverse est décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et est décroissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Remark 9 Son tableau de variation est donc :
xx −∞-\infty 00 +∞+\infty interdit 1x\dfrac{1}{x} décroissante interdit décroissante interdit
xx−∞-\infty00+∞+\infty
1x\dfrac{1}{x}
Property 15
Soit a>0a>0. Pour tout x∈]0;+∞[x\in]0;+\infty[ :
0.511.522.533.5123456
a
x
1/a
1/x