--> Étude de fonctions Propriétés Parité
Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD de R\mathbb{R}, tel que pour tout x∈Dx\in D, on a −x∈D-x\in D.
• la fonction ff est dite paire, si pour tout x∈Dx\in D : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).
• la fonction ff est dite impaire, si pour tout x∈Dx\in D : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

Soit ff une fonction paire définie sur un ensembe DD de R\mathbb{R}. La courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
246−2−4−6123456−1−2−3
x
-x

Soit ff une fonction impaire définie sur un ensembe DD de R\mathbb{R}. La courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'origine du repère.
246−2−4−6123456−1−2−3
x
-x
f(x)
f(-x)
Sens de variation
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
La fonction ff est dite croissante sur II, si pour tous réels aa et bb, tels que a≤ba \leq b, on a f(a)≤f(b)f(a) \leq f(b).
246−2−4−6123456−1−2−3
a
b
f(a)
f(b)

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
La fonction ff est dite décroissante sur II, si pour tous réels aa et bb, tels que a≤ba \leq b, on a f(a)≥f(b)f(a) \geq f(b).
246−2−4−6123456−1−2−3
a
b
f(a)
f(b)
Intersection ∼ Position relative
Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD de R\mathbb{R}.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

f(x)f(x) == g(x)g(x).
Si il existe une solution x0x_0, le point d'intersection à alors pour coordonnées (x0;f(x0))(x_0;f(x_0)). Réciproquement, résoudre graphiquement l'équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) revient à chercher l'abscisse des points d'intersection entre les courbes des deux fonctions.
Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD de R\mathbb{R}. On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

f(x)f(x) ≤\leq g(x)g(x).
246−2−4−6123456−1−2−3
x
f(x)
g(x)
Fonctions de référence La fonction carrée
La fonction carrée est la fonction qui, à tout réel xx, associe le réel xx, associe le réel x2x^2.
123−1−2−3123456
La fonction carrée est une fonction paire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. Son tableau de variation est donc :
xx −∞-\infty 00 +∞+\infty x2x^2 décroissante croissante 00

Soit aa un nombre réel. L'équation x2=ax^2= a : Preuve pour le cas a>0a > 0 :
x2x^2 == aa
x2−ax^2 - a == 00
x2−a2x^2 - \sqrt{a}^2 == 00
(x−a)(x+a)(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) == 00
Ainsi, d'après la règle du produit nul :
x−ax - \sqrt{a} == 00
xx == a \sqrt{a}
x+ax + \sqrt{a} == 00
xx == −a -\sqrt{a}

Soit a≥0a\geq0.
123−1−2−3123456
a
x
x2
sqrtasqrt{a}
−sqrta-sqrt{a}
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel xx positif, associe le réel x\sqrt{x}.
123456789−10.511.522.533.5−0.5
La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole. Elle s'obtient par symétrie de la parabole de la fonction carrée sur [0;+∞[[0;+\infty[ par rapport à la droite d'équation y=xy=x.

La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[. Son tableau de variation est donc :
xx 00 +∞+\infty +∞+\infty x\sqrt{x} croissante 00
La fonction cube
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel xx, associe le réel x3x^3.
0.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.5246−2−4−6

La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
En posant f(x)=x3f(x)=x^3 on a, pour tout réel xx,
f(−x)f(-x) == (−x)3=(−x)×(−x)×(−x)(-x)^3 = (-x)\times(-x)\times(-x) == −x3-x^3 == −f(x)-f(x).
La fonction cube est croissante sur R\mathbb{R}. Son tableau de variation est donc :
xx −∞-\infty +∞+\infty x3x^3 croissante

Pour tout réel aa, l'équation x3=ax^3 = a admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de aa. L'équation x3=27x^3= 27 admet comme unique solution 33, car 333^3 == 2727.
Ainsi, 273\sqrt[3]{27} == 33. Soit ff, gg, hh et ii les fonction définies pour tout réel xx par : f(x)=xf(x)=x ; g(x)=x2g(x) = x^2 ; h(x)=x3h(x)=x^3 ; i(x)=xi(x)=\sqrt{x}.
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe dans le repère ci-dessous.
0.20.40.60.811.21.41.60.20.40.60.811.21.41.6
C1
C2
C3
C4

 La fonction inverse
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel xx non nul, associe le réel 1x\dfrac{1}{x}. L'ensemble de définition de la fonction inverse est ]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty;0[\cup]0;+\infty[, que l'on note également R∗\mathbb{R}^*.
0.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.5246−2−4−6
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est composée de deux branches.
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
Pour tout x≠0x\neq0, notons f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} :
f(−x)f(-x) == 1−x\dfrac{1}{-x} == −1x-\dfrac{1}{x} == −f(x)-f(x).
La fonction inverse est décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et est décroissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Son tableau de variation est donc :
xx −∞-\infty 00 +∞+\infty interdit 1x\dfrac{1}{x} décroissante interdit décroissante interdit

Soit a>0a>0. Pour tout x∈]0;+∞[x\in]0;+\infty[ :
0.511.522.533.5123456
a
x
1/a
1/x