--> 2nde ~ Devoir maison n°6
  1. Écrire sous forme de fraction irréductible, en donnant les étapes, le nombre a=5881134a=\dfrac{588}{1\,134}.
  2. Écrire sous forme de fraction irréductible, en donnant les étapes, le nombre b=3231+56b=\dfrac{3-\frac{2}{3}}{1+\frac{5}{6}}.
  3. Soit ff la fonction définie sur ]0;+[]0\,;+\infty[ par f(x)=x2+5xf(x)=x^2+\dfrac{5}{x}. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère du plan.
    1. Écrire sous forme de fraction irréductible, en donnant les étapes, le nombre f(3)f(3).
    2. Écrire sous la forme a5+ba\sqrt{5}+b, avec aa et bb des entiers (en donnant les étapes), le nombre f(5)f(\sqrt{5}).
    3. Le point (1;7)(1\,;7) appartient-il à Cf\mathcal{C}_f.
    4. Donner un point à coordonnées entières qui appartient à Cf\mathcal{C}_f.
    5. Expliquer pourquoi, pour tout x]0;+[x\in]0\,;+\infty[, f(x)\left| f(x) \right| == f(x)f(x).
  4. Développer l'expression A(x)=(3x4)(56x)A(x)=(3x-4)(5-6x).
  5. Développer l'expression B(x)=(3x4)(46x)+5(2x8)B(x)=(3x-4)(4-6x)+5(2x-8).
  6. Pour tout réel xx on a C(x)=x27C(x)=x^2-7.
    1. Montrer que pour tout xx, C(x)=(x7)(x+7)C(x)=(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7}).
    2. Résoudre alors l'équation C(x)=0C(x)=0.
  7. Dans un repère orthonormé du plan on considère les trois points A(1;0)A(1\,;0) B(3;5)B(3\,;5) et C(6;14)C(6\,;14).
    1. Déterminer les longueurs ABAB, ACAC et BCBC.
    2. Ces trois points sont-ils alignés ? La réponse sera justifiée par un calcul.
  8. Soit ff et gg les deux fonctions affines définies sur R\mathbb{R} par f(x)=3x4f(x)=3x-4 et g(x)=4x+7g(x)=4x+7.
    1. Donner, en justifiant, le sens de variations de chacune de ces fonctions.
    2. Déterminer les coordoonées du point d'intersection des courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère du plan.
    3. Existe-t-il une valeur de xx telle que f(x)g(x)=2\dfrac{f(x)}{g(x)}=2 ?
  9. Montrer que pour tous nombres réels xx et yy nous tous deux nuls, on a : (xy)2+(x+y)22(x2+y2)=1\dfrac{(x-y)^2+(x+y)^2}{2(x^2+y^2)}=1.
  10. Pour tous réels aa et bb, montrer que : a4b4=(ab)(a+b)(a2+b2)a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2).
  11. Soit xx un nombre réel strictement positif. Montrer que 11+11+1x\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}} == x+12x+1\dfrac{x+1}{2x+1}.
  12. Montrer que pour tous nombres réels aa et bb on a : aba2+b22ab\leq\dfrac{a^2+b^2}{2}.