--> 2nde ∼ DM n°8 On considère dans un repère du plan le point $A_1(0\,;12,4)$.
On note $x_1$ et $y_1$ ces coordonnées.
On définit de plus le point $A_2$ de coordonnées $(x_2\,;y_2)$ par :

$x_2=0,8x_1-0,6y_1+2,9$,
$y_2=0,6x_1+0,8y_1-4,9$.

On procède de même pour les points $A_3$, $A_4$ etc. avec par exemple :
  1. Donner les valeurs de $x_1$ et $y_1$ puis les coordonnées de $A_2$.
  2. On utilise dans cette question un tableur.
    1. Dans une feuille de calculs, saisir dans la cellule $A1$ la valeur de $x_1$ puis dans la cellule $B1$ celle de $y_1$.
    2. Saisir dans la cellule $A2$ la formule : $=0,8*A1-0,6*B1+2,9$ pour obtenir $x_2$ à partir de $x_1$.
    3. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $B2$ pour obtenir $y_2$ à partir de $y_1$.
    4. En tirant les deux formules précédentes vers le bas, compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$.
      $n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
      $x_n$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$
      $y_n$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$
    5. Placer tous les points de $A_2$ jusqu'à $A_{10}$ dans le repère ci-dessous.
    6. À quelle figure géométrique semble appartenir les points $A_n$ ?
  3. Dans le programme suivant, on trace tous les points de $A_1$ jusqu'à $A_{100}$. Puis à la ligne n°18 on définit un point $C$ que l'on affiche à la ligne suivante. La ligne n°20 permet de construire un cercle de centre $C$ et de rayon $5$. Xmin = -10 Xmax = 30 Ymin = -15 Ymax = 25 traceG() traceX() traceY() x = 0 y = 12.4 for(i=0; i<100; i++){ mem = x x = 0.8*x-0.6*y+2.9 y = 0.6*mem+0.8*y-4.9 point([x,y]) } couleur = rouge C = [2,6] point(C) cercle(C,5)
    En procédant par tâtonnement, déterminer les coordonnées du point $C$ et le rayon du cercle pour que ce dernier passe au plus proche des points $A_n$. Donner les résultats trouvés.
  4. Soit $C(8,8\,;12,9)$ un point du repère.
    1. Calculer $A_1C$ et $A_2C$ et interpréter les résultats.
    2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que le point $A_n(x_n\,;y_n)$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $C$ et de rayon $13,7$.
      Montrer alors que $x_n^2+y_n^2-17,6x_n-3,8y_n+81,05=13,7^2$.
    3. Toujours en supposant que $A_n(x_n\,;y_n)$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $C$ et de rayon $13,7$, montrer que $A_{n+1}(x_{n+1}\,;y_{n+1})$ appartient au même cercle.

      On utilisera la question précédente ainsi que les relations :
      $x_{n+1}=0,8x_n-0,6y_n+2,9$,
      $y_{n+1}=0,6x_n+0,8y_n-4,9$.

    4. Expliquer en quoi la question précédente permet de montrer que tous les points $A_n$ sont sur $\mathscr{C}$.