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2nde ∼ DM n°8
On considère dans un repère du plan le point $A_1(0\,;12,4)$.
On note $x_1$ et $y_1$ ces coordonnées.
On définit de plus le point $A_2$ de coordonnées $(x_2\,;y_2)$ par :
$x_2=0,8x_1-0,6y_1+2,9$,
$y_2=0,6x_1+0,8y_1-4,9$.
On procède de même pour les points $A_3$, $A_4$ etc. avec par exemple :
$x_3=0,8x_2-0,6y_2+2,9$ et $y_3=0,6x_2+0,8y_2-4,9$,
$x_4=0,8x_3-0,6y_3+2,9$ et $y_4=0,6x_3+0,8y_3-4,9$.
Donner les valeurs de $x_1$ et $y_1$ puis les coordonnées de $A_2$.
On utilise dans cette question un tableur.
Dans une feuille de calculs, saisir dans la cellule $A1$ la valeur de $x_1$ puis dans la cellule $B1$ celle de $y_1$.
Saisir dans la cellule $A2$ la formule : $=0,8*A1-0,6*B1+2,9$ pour obtenir $x_2$ à partir de $x_1$.
Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $B2$ pour obtenir $y_2$ à partir de $y_1$.
En tirant les deux formules précédentes vers le bas, compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$.
$n$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$10$
$x_n$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$y_n$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$
Placer tous les points de $A_2$ jusqu'à $A_{10}$ dans le repère ci-dessous.
À quelle figure géométrique semble appartenir les points $A_n$ ?
Dans le programme suivant, on trace tous les points de $A_1$ jusqu'à $A_{100}$. Puis à la ligne n°18 on définit un point $C$ que l'on affiche à la ligne suivante. La ligne n°20 permet de construire un cercle de centre $C$ et de rayon $5$.
Xmin = -10
Xmax = 30
Ymin = -15
Ymax = 25
traceG()
traceX()
traceY()
x = 0
y = 12.4
for(i=0; i<100; i++){
mem = x
x = 0.8*x-0.6*y+2.9
y = 0.6*mem+0.8*y-4.9
point([x,y])
}
couleur = rouge
C = [2,6]
point(C)
cercle(C,5)
En procédant par tâtonnement, déterminer les coordonnées du point $C$ et le rayon du cercle pour que ce dernier passe au plus proche des points $A_n$. Donner les résultats trouvés.
Soit $C(8,8\,;12,9)$ un point du repère.
Calculer $A_1C$ et $A_2C$ et interpréter les résultats.
Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que le point $A_n(x_n\,;y_n)$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $C$ et de rayon $13,7$.
Montrer alors que $x_n^2+y_n^2-17,6x_n-3,8y_n+81,05=13,7^2$.
Toujours en supposant que $A_n(x_n\,;y_n)$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $C$ et de rayon $13,7$, montrer que $A_{n+1}(x_{n+1}\,;y_{n+1})$ appartient au même cercle.
On utilisera la question précédente ainsi que les relations :
$x_{n+1}=0,8x_n-0,6y_n+2,9$,
$y_{n+1}=0,6x_n+0,8y_n-4,9$.
Expliquer en quoi la question précédente permet de montrer que tous les points $A_n$ sont sur $\mathscr{C}$.