--> 2nde ∼ DM n°11 Dans la figure ci-dessous les triangles ABCABC et ACDACD sont rectangles respectivement en BB et CC.
Le point HH est le projeté orthogonal de DD sur (AB)(AB) et on note II l'intersection entre (DH)(DH) et (AB)(AB).
On note xx et yy les mesures respectives des angles BAC^\widehat{BAC} et CAD^\widehat{CAD}.
A
B
C
D
H
I
x
y
  1. Exprimer ABAC\dfrac{AB}{AC} et ACAD\dfrac{AC}{AD} en fonction de xx et yy. En déduire que ABAD=cos⁡(x)cos⁡(y)\dfrac{AB}{AD} = \cos(x)\cos(y).

  2. Exprimer cos⁡(x+y)\cos(x+y) en fonction de AHAH et ADAD.

  3. Montrer que AHAD=ABAD−HBAD\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AB}{AD}-\dfrac{HB}{AD}.

  4. Construire la parallèle à (AB)(AB) passant par CC. Elle coupe (DH)(DH) en JJ.
  5. Exprimer la mesure des angles : AIH^\widehat{AIH}, DIC^\widehat{DIC} et JDC^\widehat{JDC} en fonction de xx et yy. En déduire la valeur de HBCD\dfrac{HB}{CD}.

  6. Montrer que : 1AD=sin⁡(y)CD\dfrac{1}{AD} = \dfrac{\sin(y)}{CD}.

  7. En déduire que : HBAD=sin⁡(x)sin⁡(y)\dfrac{HB}{AD} = \sin(x)\sin(y).

  8. En utilisant tous les résultats obtenus précédemment démontrer que : cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y).\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).

  9. En se replaçant dans le triangle ABCABC, et en utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1.\cos^2(x)+\sin^2(x)=1. Remarque : on note cos⁡2(t)\cos^2(t) le nombre (cos⁡(x))2(\cos(x))^2.
  10. En utilisant les deux formules précédentes, démontrer que cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x)=2\cos^2(x)-1.
  11. En déduire l'expression de cos⁡2(x)\cos^2(x) en fonction de cos⁡(2x)\cos(2x).