--> Ensembles de nombres ∼ Calcul littéral ∼ Racine carrée Déterminer le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants :
$a=\dfrac{1}{2}$ $b=\dfrac{10-4}{3}$ $c=\sqrt{5}$ $d=-\sqrt{16}$
$e=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$ $f=\dfrac{91}{7}$ $g=\sqrt{98}-\sqrt{18}-2\sqrt{2}$ $h=\dfrac{51}{3}-\sqrt{289}$
Le but de cet exercice est de démontrer que le nombre $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
  1. À quels ensembles de nombres appartient $\dfrac{1}{3}$ ?
  2. Nous allons supposer que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal et obtenir à la fin de notre raisonnement une contradiction.
    1. Comment s'appelle un tel type de raisonnement ?
    2. On suppose donc qu'il existe deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que : $\dfrac{1}{3}$ $=$ $\dfrac{a}{10^n}$.
      Montrer alors que $10^n = 3a$.
    3. Pourquoi l'égalité $10^n = 3a$ ne peut-elle jamais être vraie ? On pourra raisonner par rapport aux tables de multiplications.
    4. Conclure.
À l'aide des formules de distributivité démontrer les identités remarquables. Développer réduire et ordonner les expressions suivantes.
$f(x)=(x+1)^2$ $g(t)=(t-1)^2$
$h(x)=(x+3)(x-3)$ $i(x)=(2x-\sqrt{5})(2x+\sqrt{5})$
$j(t)=\left(\dfrac{2}{3}-t \right)(6+t)$ $k(x)=3(2x-5)(7x+8)$
$\ell(x)=(5x+3)(x^2+2x-3)$ $m(x)=\dfrac{1}{2}x(2x-5)^2$
  1. Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{2}$, avec $a\in\mathbb{Q}$.
    $x_1 = \sqrt{200}$ $x_2 = 3\sqrt{2}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
  2. Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a\in\mathbb{Q}$.
    $y_1 = \sqrt{12}-8\sqrt{48}$ $y_2 = \dfrac{13}{4\sqrt{147}}$
  3. L'égalité 1 $\dfrac{3}{6-\sqrt{35}} = 18+3\sqrt{35}$ 1 est-elle vraie ?
  4. L'affirmation 1 $\dfrac{5}{3+\frac{3}{7}}-\dfrac{2+\frac{1}{3}}{4}\in\mathbb{D}$ 1 est-elle vraie ?
Factoriser les expressions suivantes.
$f(x)=3x+2x^2$ $g(t)=t^2-t$
$i(x)=\dfrac{2}{3}x^3+x^2-4x$ $j(t)=t^5-t^3+41t$
  1. Construire un triangle rectangle, dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 1 cm.
  2. Vérifier alors que l'hypothénuse de ce triangle mesure $\sqrt{2}$.
  3. Sur votre figure mesurer à la règle la longueur de l'hypothénuse, et donner alors une approximation du nombre $\sqrt{2}$.
  4. Nous voyons que cette méthode n'est pas très précise. Essayons de faire mieux. Pour cela, constuire un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 10 cm.
  5. Grâce à cette configuration trouver une valeur approchée plus précise de $\sqrt{2}$.
  6. Peut-on encore améliorer la précision en poussant plus loin cette méthode ? Quelles sont ses limites ?
  7. Héron d'Alexandrire, mathématicien du Ier siècle de notre ère, a utilisé une méthode très performante pour approcher le nombre $\sqrt{2}$. En voici la description :
    Méthode de Héron

    Pour pouvoir trouver une valeur approchée de $\sqrt{2}$, on choisit un nombre entier entre 1 et 10. On ajoute à la moitié de ce nombre son inverse.

    On obtient alors un nouveau nombre à partir duquel on effectue les mêmes opérations.

    On réitére le procédé jusqu'à obtenir une approximation satisfaisante.
    1. Déterminer la fraction obtenue par cette méthode en choisissant $2$ au départ et en effectuant trois itérations.
    2. Modifier l'algorithme ci-dessous pour qu'il effectue 10 itérations de la méthode de Héron.

      n = 3.0 print(n) for i in range(1,5): n = n/2 print(n)
    3. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ de $\sqrt{2}$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = \sqrt{a}$ et $AC=\sqrt{b}$.
  1. Comparer les nombres $AB+AC$ et $BC$.
  2. Montrer que $BC = \sqrt{a+b}$.
  3. Comparer alors les nombres $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a+b}$.