--> Ensembles de nombres ∼ Calcul littéral ∼ Racine carrée Exercice 1 Déterminer le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants :

$a=\dfrac{1}{2}$	$b=\dfrac{10-4}{3}$	$c=\sqrt{5}$	$d=-\sqrt{16}$
$e=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$	$f=\dfrac{91}{7}$	$g=\sqrt{98}-\sqrt{18}-2\sqrt{2}$	$h=\dfrac{51}{3}-\sqrt{289}$

Exercice 2 Le but de cet exercice est de démontrer que le nombre $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

1. À quels ensembles de nombres appartient $\dfrac{1}{3}$ ?
2. Nous allons supposer que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal et obtenir à la fin de notre raisonnement une contradiction.
   1. Comment s'appelle un tel type de raisonnement ?
   2. On suppose donc qu'il existe deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que : $\dfrac{1}{3}$ $=$ $\dfrac{a}{10^n}$.
      Montrer alors que $10^n = 3a$.
      
   3. Pourquoi l'égalité $10^n = 3a$ ne peut-elle jamais être vraie ? On pourra raisonner par rapport aux tables de multiplications.
   4. Conclure.

Exercice 3 À l'aide des formules de distributivité démontrer les identités remarquables. Exercice 4 Développer réduire et ordonner les expressions suivantes.

$f(x)=(x+1)^2$	$g(t)=(t-1)^2$
$h(x)=(x+3)(x-3)$	$i(x)=(2x-\sqrt{5})(2x+\sqrt{5})$
$j(t)=\left(\dfrac{2}{3}-t \right)(6+t)$	$k(x)=3(2x-5)(7x+8)$
$\ell(x)=(5x+3)(x^2+2x-3)$	$m(x)=\dfrac{1}{2}x(2x-5)^2$

Exercice 5

1. Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{2}$, avec $a\in\mathbb{Q}$.
   

   $x_1 = \sqrt{200}$

   $x_2 = 3\sqrt{2}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

2. Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a\in\mathbb{Q}$.
   

   $y_1 = \sqrt{12}-8\sqrt{48}$

   $y_2 = \dfrac{13}{4\sqrt{147}}$

3. L'égalité 1 $\dfrac{3}{6-\sqrt{35}} = 18+3\sqrt{35}$ 1 est-elle vraie ?
4. L'affirmation 1 $\dfrac{5}{3+\frac{3}{7}}-\dfrac{2+\frac{1}{3}}{4}\in\mathbb{D}$ 1 est-elle vraie ?

Exercice 6 Factoriser les expressions suivantes.

$f(x)=3x+2x^2$	$g(t)=t^2-t$
$i(x)=\dfrac{2}{3}x^3+x^2-4x$	$j(t)=t^5-t^3+41t$

Exercice 7

1. Construire un triangle rectangle, dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 1 cm.
2. Vérifier alors que l'hypothénuse de ce triangle mesure $\sqrt{2}$.
3. Sur votre figure mesurer à la règle la longueur de l'hypothénuse, et donner alors une approximation du nombre $\sqrt{2}$.
4. Nous voyons que cette méthode n'est pas très précise. Essayons de faire mieux. Pour cela, constuire un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 10 cm.
5. Grâce à cette configuration trouver une valeur approchée plus précise de $\sqrt{2}$.
6. Peut-on encore améliorer la précision en poussant plus loin cette méthode ? Quelles sont ses limites ?
7. Héron d'Alexandrire, mathématicien du I^er siècle de notre ère, a utilisé une méthode très performante pour approcher le nombre $\sqrt{2}$. En voici la description :

   Méthode de Héron Pour pouvoir trouver une valeur approchée de $\sqrt{2}$, on choisit un nombre entier entre 1 et 10. On ajoute à la moitié de ce nombre son inverse. On obtient alors un nouveau nombre à partir duquel on effectue les mêmes opérations. On réitére le procédé jusqu'à obtenir une approximation satisfaisante.

   1. Déterminer la fraction obtenue par cette méthode en choisissant $2$ au départ et en effectuant trois itérations.
   2. Modifier l'algorithme ci-dessous pour qu'il effectue 10 itérations de la méthode de Héron.
      
      
      n = 3.0 print(n) for i in range(1,5): n = n/2 print(n)
      Exécuter
   3. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ de $\sqrt{2}$.

Exercice 8 Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = \sqrt{a}$ et $AC=\sqrt{b}$.

1. Comparer les nombres $AB+AC$ et $BC$.
2. Montrer que $BC = \sqrt{a+b}$.
3. Comparer alors les nombres $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a+b}$.