--> Vecteurs du plan (2) Dans un repère du plan, on donne les points : $A(1;-2)$, $B(-1;3)$ et $C(4;6)$.
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. Dans un repère du plan, on donne $\vec{u}(2;3)$ et $A(-1;4)$. Déterminer les coordonnées du point $B$ tel que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$. Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(1;2)$, $B(-1;-1)$ et $C(5;4)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. En déduire alors les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
3. Déterminer les coordonnées du point $I$ milieu de $[BC]$, puis du point $J$ milieu de $[AM]$.
   Que peut-on déduire de ces résultats ?
4. Calculer $BC$ et $AM$.

Dans un repère du plan, on considère les points : $A(-5;1)$, $B(-1;3)$, $C(5;1)$ et $D(1;-1)$.

1. Faire une figure.
2. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier votre réponse.
3. Quelles sont les coordonnés du point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ?

Soient $M(5;12)$, $N(-3;0)$, $R(-4;-5)$ et $S(2;4)$ quatre points du plan.

1. Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{RS}$ sont-ils colinéaires ?
2. Que peut-on en déduire pour les droites $(MN)$ et $(RS)$ ?

Dans un repère on considère les points $A(-2;1)$, $B(3;3)$, $C\left(1;\dfrac{11}{5}\right)$ et $D\left(\dfrac{45}{2};\dfrac{54}{5}\right)$.

1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
2. Les points $A$, $B$ et $D$ sont-ils alignés ?

Dans un repère, on considère les points $A(0;1)$, $B(5;0)$, $C(0;-4)$ et $D(x;0)$.

1. Déterminer la valeur du réel $x$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.
2. Trouver alors le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{AB}$.

On considère dans un repère du plan le points $R(\sqrt{3};-1)$, les vecteurs $\vec{u}(\sqrt{3};1)$ et $\vec{v}(-\sqrt{3};3)$.
On définit les points $S$ et $T$ par $\overrightarrow{RS}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{RT}=\vec{v}$.
On note $\alpha = \widehat{SRT}$.

1. Déterminer les coordonnées des points $S$ et $T$.
2. Quelle est la nature du triangle $RST$ ?
3. Peut-on déterminer la mesure de $\alpha$ ? Si oui combien vaut-elle ?
4. Calculer $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)$.
5. Ce dernier résultat est-il particulier au triangle $RST$ ?