--> Compléments Exercice 1 Une grande ville est traversée par un fleuve d'une largeur de 50 mètres. Le maire de cette ville souhaite construire un pont au dessus du cours d'eau.
Ce pont doit respecter les trois conditions suivantes : Un célèbre architecte propose une courbe mathématique pour construire ce pont. Voici sa modélisation :
51015202530354045505101520253035404550
h(x)=0,02x2+xh(x)=-0,02x^2+x L'axe des abscisse représente les longueurs suivant une coupe transversale du fleuve et l'axe des ordonnées la hauteur par rapport au sol.
Le but de l'exercice est de vérifier si le projet de pont proposé par ce célèbre architecte vérifie les trois conditions requises.
  1. Condition 1 : la hauteur du pont
    1. Montrer que pour tout réel xx, h(x)=0,02(625(25x)2)h(x)=0,02(625-(25-x)^2).
    2. Trouver alors la hauteur maximale du pont et conclure sur la condition.
  2. Condition 2 : hauteur au-delà de 8 mètres
    1. Montrer que h(x)8=0,02(x10)(x40)h(x)-8=-0,02(x-10)(x-40).
    2. Résoudre alors l'inéquation h(x)8h(x)\geq 8.
    3. Conclure.
  3. Condition 3 : la longueur du pont L'architecte ne connaît pas de formule pour calculer la longueur du pont. Il décide donc de trouver une valeur approchée de cette longueur. Voici sa méthode.
    Il choisit cinq points, répartis de manière homogène sur le pont.
  4. 51015202530354045505101520253035404550
    Il souhaite calculer ensuite la longueur de la chaine brisée A1A2A3A4A5A_1A_2A_3A_4A_5
    1. Remplir le tableau suivant (on pourra arrondir les résultats à 10110^{-1}).
    2. ii Coordonnées de AiA_i Coordonnées de Ai+1A_{i+1} Longueur de [AiAi+1][A_iA_{i+1}] Longueur de la chaine de A1A_1 jusqu'à Ai+1A_{i+1}
      11
      22
      33
      44
    3. L'architecte se dit que cinq points ne suffisent pas. Il décide donc d'écrire un algorithme pour en choisir plus et ne pas avoir à faire trop de calculs lui-même.
      L = 0
      Pour i allant de 0 jusqu'à 19,			 
      	a=i*50/20
      	b=(i+1)*50/20
      	L=√( (a-b)2 + (h(a) - h(b))2 )
      Fin de boucle pour
      				 
      Afficher L
      
      Combien de points a-t-il choisi ?
    4. Une erreur se trouve dans son algorithme à l'intérieur de la boucle for. Corriger la.
    5. Programmer cet algorithme en Python et et conclure sur la troisième condition.
Exercice 2
A
B
C
D
M
Le carré ABCDABCD a un côté de longueur 88 cm. MM est un point du segment [AB][AB] On dessine comme ci-contre dans le carré ABCDABCD :
  1. Existe-t-il une position du point MM pour laquelle l'aire du triangle soit égale à celle du carrée ?
  2. Quelle est l'aire maximale du triangle ?
Exercice 3
  1. Dans un repère orthonormé du plan, placer les neufs points à coordonnées entières comprises entre 00 et 22.
  2. L'entier mm est choisi au hasard parmi 00, 11 et 1-1 de manière équiprobable. L'entier pp est choisi au hasard parmi 00, 11 et 22.
    1. Donner toutes les valeurs possibles pour le couple de nombres (m;p)(m;p).
    2. Quelle est la probabilité pour que la droite d'équation y=mx+py=mx+p passe par l'un des points du nuage de points tracé ?
Exercice 4 Dans un repère du plan on considère la droite dd d'équation réduite y=12x1y=\dfrac{1}{2}x-1, le point A(0;1)A(0;-1) et B(4;8)B(4;8).
On considère de plus un point M(x;y)M(x;y) mobile sur dd. On cherche à déterminer les coordonnées de MM pour que la distance BMBM soit minimale.
246810−2−4−6246810−2−4−6
M
A
B
  1. Expliquer pourquoi est-ce que chercher le minimum de la distance BMBM revient à chercher le minimum de BM2BM^2.
  2. Montrer que pour tout réel xx, BM2=54x217x+97BM^2 = \dfrac{5}{4}x^2-17x+97.
  3. Montrer alors que BM2=54((x345)23045)BM^2 = \dfrac{5}{4}\left( \left( x-\dfrac{34}{5} \right)^2 - \dfrac{304}{5} \right).
  4. Pour quelle valeur de xx la distance BMBM est-elle donc minimale ? On note HH le point répondant à cette question.
  5. Quelle est la nature du triangle ABHABH ?
Exercice 5 ABCDABCD est un carré de côté 44. MM est un point variable du segment [BD][BD].
Le point HH est le projeté orthogonal de MM sur [BC][BC]. On pose BH=xBH=x.
A
B
C
D
M
H
  1. Quelles sont les valeurs prises par xx ?
  2. Démontrer que HM=xHM=x.
  3. On note f(x)f(x) l'aire du trapèze ABHMABHM. Exprimer f(x)f(x) en fonction de xx.
  4. On note g(x)g(x) l'aire du triangle CDMCDM. Exprimer g(x)g(x) en fonction de xx.
  5. On affirme que l'aire du trapèze est supérieure à l'aire du carré dans 80% des cas. Etudier cette affirmation.
Exercice 6 Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^2.
  1. Soient aa et bb deux réels positifs tels que aba \leq b.
    1. À l'aide d'une identité remarquable factoriser f(b)f(a)f(b)-f(a).
    2. En déduire le signe de f(b)f(a)f(b)-f(a), et comparer alors f(a)f(a) et f(b)f(b).
    3. Que peut-on en conclure pour la fonction ff sur [0;+[[0;+\infty[ ?
  2. Soient aa et bb deux réels négatifs tels que aba \leq b.
    1. Déterminer le signe de f(b)f(a)f(b)-f(a).
    2. Qu'en conclure pour la fonction ff sur ];0]]-\infty;0] ?
Exercice 7
A
B
C
On se place dans le repère (A,AB,AC)(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).
  1. Donner les coordonnées de AA, BB et CC.
  2. En déduire les coordonnées de CC', BB' et AA' les milieux respectifs des segments [AB][AB], [BC][BC] et [AC][AC].
  3. Montrer que la droite (AA)(AA') a pour équation réduite y=xy=x.
  4. Déterminer les équations réduites des droites (BB)(BB') et (CC)(CC').
  5. Déterminer les coordonnées de GG point d'intersection entre (AA)(AA') et (BB)(BB').
  6. GG est-il un point de (CC)(CC') ?
Exercice 8 Le jeu du Lièvre et de la tortue est un jeu de dé qui se déroule de la sorte : Vous devez disputer une partie quel rôle choisissez-vous pour avoir le plus de chance de gagner ?