--> Livret d'algèbre Exercice 1 Effectuer les calculs suivants :

AA == 3+4×(53×(2+4×(7)))3+4\times( 5-3\times( 2+4\times(-7) ) )
Correction
AA == 3+4×(53×(2+4×(7)))3+4\times( 5-3\times( 2+4\times(-7) ) )
== 3+4×(53×(228))3+4\times( 5-3\times( 2 -28 ) )
== 3+4×(53×(26))3+4\times( 5-3\times( -26 ) )
== 3+4×(5+78)3+4\times( 5+78 )
== 3+4×833+4\times83
== 3+3323+332
== 335335.
BB == (4×(38)7×3)×2(75×(34×3+7))(4\times(3-8)-7\times 3)\times 2-(7-5\times(3-4\times 3+7))
Correction
BB == (4×(38)7×3)×2(75×(34×3+7))(4\times(3-8)-7\times 3)\times 2-(7-5\times(3-4\times 3+7))
== (4×(5)21)×2(75×(312+7))(4\times(-5)-21)\times 2-(7-5\times(3-12+7))
== (2021)×2(75×(2))(-20-21)\times 2-(7-5\times(-2))
== 41×2(7+10)-41\times 2-(7+10)
== 8217-82-17
== 99-99.
CC == 6+3×(7)+(6+3×(24×(35×4+115+23×(2×47+4×6))))6+3\times(-7)+(6+3\times(2-4\times(3-5\times 4+11-5+23\times(2\times 4-7+4\times 6))))
Correction
CC == 6+3×(7)+(6+3×(24×(35×4+115+23×(2×47+4×6))))6+3\times(-7)+(6+3\times(2-4\times(3-5\times 4+11-5+23\times(2\times 4-7+4\times 6))))
== 621+(6+3×(24×(320+6+23×(87+24))))6-21+(6+3\times(2-4\times(3-20+6+23\times(8-7+24))))
== 15+(6+3×(24×(11+23×25)))-15+(6+3\times(2-4\times(-11+23\times25)))
== 15+(6+3×(24×(11+575)))-15+(6+3\times(2-4\times(-11+575)))
== 15+(6+3×(24×564))-15+(6+3\times(2-4\times564))
== 15+(6+3×(22256))-15+(6+3\times(2-2\,256))
== 15+(6+3×(2254))-15+(6+3\times(-2\,254))
== 15+(66762))-15+(6-6\,762))
== 156756-15-6\,756
== 6771-6\,771.
Exercice 2 Compléter les pointillés pour que les égalités soient vraies.

46=2\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{\dots}
Correction
46=23\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}

52=10\dfrac{5}{2}=\dfrac{\dots}{10}
Correction
52=2510\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{10}

35=52\dfrac{35}{\dots}=\dfrac{5}{2}
Correction
3510=52\dfrac{35}{10}=\dfrac{5}{2}

3413=17065\dfrac{34}{13}=\dfrac{170}{65}
Correction
3416=65\dfrac{34}{16}=\dfrac{\dots}{65}

42=497\dfrac{\dots}{42}=\dfrac{49}{7}
Correction
29442=497\dfrac{294}{42}=\dfrac{49}{7}

33=13268\dfrac{33}{\dots}=\dfrac{132}{68}
Correction
3317=13268\dfrac{33}{17}=\dfrac{132}{68}
Exercice 3 Effectuer les calculs suivants, et donner le résultat sous forme de fractions irréductibles.

34×57\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7} == \cdots
Correction
34×57\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7} == 3×54×7\dfrac{3\times5}{4\times7} == 1528\dfrac{15}{28}.
113×54=\dfrac{-11}{3}\times\dfrac{5}{4}=\cdots
Correction
113×54\dfrac{-11}{3}\times\dfrac{5}{4} == 11×53×4\dfrac{-11\times5}{3\times4} == 5512-\dfrac{55}{12}.
733×64=\dfrac{7}{33}\times\dfrac{6}{4}=\cdots
Correction
733×64=7×633×4\dfrac{7}{33}\times\dfrac{6}{4}=\dfrac{7\times6}{33\times4} == 7×2×33×11×2×2\dfrac{7\times2\times3}{3\times11\times2\times2} == 7×2×33×11×2×2\dfrac{7\times\textcolor{red}{2}\times\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{3}\times11\times\textcolor{red}{2}\times2} == 711×2\dfrac{7}{11\times2} == 722\dfrac{7}{22}.
2575×312=\dfrac{25}{-75}\times\dfrac{3}{12}=\cdots
Correction
2575×312=\dfrac{25}{-75}\times\dfrac{3}{12}= 25×375×12\dfrac{25\times3}{-75\times12} == 5×5×35×5×3×3×4\dfrac{5\times5\times3}{-5\times5\times3\times3\times4} == 13×4-\dfrac{1}{3\times4} == 112-\dfrac{1}{12}.
1549×143=\dfrac{-15}{49}\times\dfrac{14}{-3}=\cdots
Correction
1549×143=\dfrac{-15}{49}\times\dfrac{14}{-3}= 3×5×2×77×7×3\dfrac{-3\times5\times2\times7}{-7\times7\times3} == 5×27\dfrac{5\times2}{7} == 107\dfrac{10}{7}.
918×10052010=\dfrac{9}{18}\times\dfrac{1\,005}{2\,010}=\cdots
Correction
918×10052010\dfrac{9}{18}\times\dfrac{1\,005}{2\,010} == 9×10052×9×2×1005\dfrac{9\times1\,005}{2\times9\times2\times1\,005} == 14\dfrac{1}{4}.
Exercice 4 Effectuer les calculs suivants et écrire les résultats sous forme de fractions irréductibles.

23+73=\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}=\cdots
Correction
23+73=\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}= 2+73\dfrac{2+7}{3} == 93\dfrac{9}{3} == 33.
12+43=\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}=\cdots
Correction
12+43=\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}= 36+86\dfrac{3}{6}+\dfrac{8}{6} == 116\dfrac{11}{6}.
53+76=\dfrac{-5}{3}+\dfrac{7}{6}=\cdots
Correction
53+76\dfrac{-5}{3}+\dfrac{7}{6} == 106+76-\dfrac{10}{6}+\dfrac{7}{6} == 36-\dfrac{3}{6} == 12-\dfrac{1}{2}.
5743=\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{3}=\cdots
Correction
5743=\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{3}= 15212821\dfrac{15}{21}-\dfrac{28}{21} == 1321\dfrac{-13}{21}.
5411=5-\dfrac{4}{11}=\cdots
Correction
5411=5-\dfrac{4}{11}= 51411\dfrac{5}{1}-\dfrac{4}{11} == 5511411\dfrac{55}{11}-\dfrac{4}{11} == 5111\dfrac{51}{11}.
68+312=\dfrac{-6}{8}+\dfrac{3}{-12}=\cdots
Correction
68+312=\dfrac{-6}{8}+\dfrac{3}{-12}= 6×38×33×212×2-\dfrac{6\times3}{8\times3}-\dfrac{3\times2}{12\times2} 18+624-\dfrac{18+6}{24} == 2424-\dfrac{24}{24} == 1-1.
Exercice 5 A=2325×32A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{2}
Correction
AA == 2325×32\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{2}
== 2335\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}
== 1015915\dfrac{10}{15}-\dfrac{9}{15}
== 115\dfrac{1}{15}.
B=335×12+6×43B=3-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}+6\times\dfrac{4}{3}
Correction
BB == 335×12+6×433-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}+6\times\dfrac{4}{3}
== 3310+83-\dfrac{3}{10}+8
== 1131011-\dfrac{3}{10}
== 111310\dfrac{11}{1}-\dfrac{3}{10}
== 11010310\dfrac{110}{10}-\dfrac{3}{10}
== 10710\dfrac{107}{10}.
C=27+3×(43+12)C=-\dfrac{2}{7}+3\times\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}\right)
Correction
CC == 27+3×(43+12)-\dfrac{2}{7}+3\times\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}\right)
== 27+3×(86+36)-\dfrac{2}{7}+3\times\left(\dfrac{8}{6}+\dfrac{3}{6}\right)
== 27+3×116-\dfrac{2}{7}+3\times\dfrac{11}{6}
== 27+112-\dfrac{2}{7}+\dfrac{11}{2}
== 414+7714-\dfrac{4}{14}+\dfrac{77}{14}
== 7314\dfrac{73}{14}.
D=34×(5748×26)D=\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{8}\times\dfrac{2}{6}\right)
Correction
DD == 34×(5748×26)\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{8}\times\dfrac{2}{6}\right)
== 34×(5716)\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{6}\right)
== 34×(3042742)\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{30}{42}-\dfrac{7}{42}\right)
== 34×2342\dfrac{3}{4}\times\dfrac{23}{42}
== 34×233×14\dfrac{3}{4}\times\dfrac{23}{3\times14}
== 234×14\dfrac{23}{4\times14}
== 2356\dfrac{23}{56}.
Exercice 6 Résoudre les équations suivantes (c'est-à-dire trouver la valeur de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie).

x2=3\dfrac{x}{2}=3
Correction
        x2=3\dfrac{x}{2}=3
ssi    x=3×2x=3\times2
ssi    x=6x=6.
L'équation admet pour une unique solution 66.

2x3=5\dfrac{2x}{3}=5
Correction
        2x3=5\dfrac{2x}{3}=5
ssi    2x=5×32x=5\times3
ssi    2x=152x=15
ssi    x=152x=\dfrac{15}{2}.
L'équation admet pour une unique solution 152\dfrac{15}{2}.

7y11=35-\dfrac{7y}{11}=-\dfrac{3}{5}
Correction
        7y11=35-\dfrac{7y}{11}=-\dfrac{3}{5}

ssi    7y11=35\dfrac{7y}{11}=\dfrac{3}{5}

ssi    7y=35×117y=\dfrac{3}{5}\times11

ssi    7y=3357y=\dfrac{33}{5}

ssi    y=3357y=\dfrac{\frac{33}{5}}{7}

ssi    y=335×17y=\dfrac{33}{5}\times\dfrac{1}{7}

ssi    y=3335y=\dfrac{33}{35}.
L'équation admet pour une unique solution 3335\dfrac{33}{35}.

3t=49\dfrac{3}{t}=\dfrac{4}{9}
Correction
        3t=49\dfrac{3}{t}=\dfrac{4}{9}

ssi    3=49×t3=\dfrac{4}{9}\times t

ssi    49t=3\dfrac{4}{9} t=3

ssi    t=3×94t=3\times\dfrac{9}{4}

ssi    t=274t=\dfrac{27}{4} .
L'équation admet pour une unique solution 274\dfrac{27}{4}.
Exercice 7 Les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalités. Compléter les cases vides.
44 66
1212 3333 77
Correction
En observant la première colonne, on remarque que pour passer de la première ligne à la deuxième on multplie par 33. C'est-à-dire que pour passer de la deuxième à la première on divise par 33.
44 66 1111 73\frac{7}{3}
1212 1818 3333 77
2323 4646
55 1111 77
Correction
En observant la deuxième colonne, on remarque que pour passer de la deuxième ligne à la première on multplie par 2311\dfrac{23}{11}. C'est-à-dire que pour passer de la première à la deuxième on multiplie par 1123\dfrac{11}{23}.
11511\frac{115}{11} 2323 4646 16111\frac{161}{11}
55 1111 2222 77
Exercice 8 Écrire sous la forme ana^naa est un nombre réel et nn un entier relatif.

52×545^2\times5^4
Correction
52×545^2\times5^4 == 52+45^{2+4} == 565^6.
65×686^5\times6^{-8}
Correction
65×686^5\times6^{-8} == 6586^{5-8} == 636^{-3}.
34×543^4\times5^4
Correction
34×543^4\times5^4 == (3×5)4(3\times 5)^4 == 15415^4.
2,57×4,272,5^{-7}\times4,2^{-7}
Correction
2,57×4,272,5^{-7}\times4,2^{-7} == (2,5×4,2)7(2,5\times 4,2)^{-7} == 10,5710,5^{-7}.
4×(4)5-4\times(-4)^{-5}
Correction
4×(4)5-4\times(-4)^{-5} == (4)1×(4)5(-4)^1\times(-4)^{-5} == (4)15(-4)^{1-5} == (4)4(-4)^{-4}.
75×77^{-5}\times7
Correction
75×77^{-5}\times7 == 75×717^{-5}\times 7^1 == 75+17^{-5+1} == 747^{-4}.
(2)3×(2)5(-2)^{-3}\times(-2)^5
Correction
(2)3×(2)5(-2)^{-3}\times(-2)^5 == (2)3+5(-2)^{-3+5} == 222^{2}.
(23)3×(23)5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5}
Correction
(23)3×(23)5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5} == (23)35\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-3-5} == (23)8\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-8}.
Exercice 9 Même consigne

3834\dfrac{3^8}{3^{-4}}
Correction
3834\dfrac{3^8}{3^{-4}} == 38(4)3^{8-(-4)} == 3123^{12}.
6925×35\dfrac{6^9}{2^5\times3^5}
Correction
6925×35\dfrac{6^9}{2^5\times3^5} == 6965\dfrac{6^9}{6^5} == 6956^{9-5} == 646^4.
4642\dfrac{4^6}{4^2}
Correction
4642\dfrac{4^6}{4^2} == 4624^{6-2} == 444^4 == (22)4(2^2)^4 == 22×42^{2\times4} == 282^8.
(9)434\dfrac{(-9)^4}{3^4}
Correction
(9)434\dfrac{(-9)^4}{3^4} == 94(32)2\dfrac{ 9^4 }{(3^2)^2} == 9492\dfrac{ 9^4 }{9^2} == 929^2.
3,253,22\dfrac{3,2^{-5}}{3,2^{-2}}
Correction
3,253,22\dfrac{3,2^{-5}}{3,2^{-2}} == 3,25(2)3,2^{-5-(-2)} == 3,233,2^{-3}.
Exercice 10 Écrire sous la forme d'une seule puissance.

A=82×83×87A=8^2\times8^{-3}\times8^7
Correction
A=82×83×87A=8^2\times8^{-3}\times8^7 == 823+78^{2-3+7} == 868^{6} == (23)6(2^3)^6 == 2182^{18}.
B=118×117114B=11^{-8}\times\dfrac{11^7}{11^{-4}}
Correction
B=118×117114B=11^{-8}\times\dfrac{11^7}{11^{-4}} == 118+7(4)11^{-8+7-(-4)} == 11311^{3}.
C=(3)6×(3)8(3)7C=\dfrac{(-3)^6\times(-3)^{-8}}{(-3)^{-7}}
Correction
C=(3)6×(3)8(3)7C=\dfrac{(-3)^6\times(-3)^{-8}}{(-3)^{-7}} == (3)68(7)(-3)^{6-8-(-7)} == (3)5(-3)^5.
Exercice 11 Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

A=3×(4x+47)A=3\times\left(4x+\dfrac{4}{7}\right)
Correction
AA == 3×(4x+47)3\times\left(4x+\dfrac{4}{7}\right)
== 3×(4x)+3×473\times(4x)+3\times\dfrac{4}{7}
== 12x+12712x+\dfrac{12}{7}.
B=x(43x)B=x(4-3x)
Correction
BB == x(43x)x(4-3x)
== 4x3x24x-3x^2
== 3x2+4x-3x^2+4x.
C=(2y1)(4y+5)C=(2y-1)(4y+5)
Correction
CC == (2y1)(4y+5)(2y-1)(4y+5)
== 8y2+10y4y58y^2+10y-4y-5
== 8y2+6y58y^2+6y-5.
D=5x+(32x)(3x+2)7x2D=5x+(3-2x)(3x+2)-7x^2
Correction
DD == 5x+(32x)(3x+2)7x25x+(3-2x)(3x+2)-7x^2
== 5x+9x+66x24x7x25x+9x+6-6x^2-4x-7x^2
== 13x2+10x+6-13x^2+10x+6.
E=(2t1)(32t)(t+4)E=(2t-1)(3-2t)(t+4)
Correction
EE == (2t1)(32t)(t+4)(2t-1)(3-2t)(t+4)
== (2t1)(3t+122t28t)(2t-1)(3t+12-2t^2-8t)
== (2t1)(2t25t+12)(2t-1)(-2t^2-5t+12)
== 4t310t2+24t+2t2+5t12-4t^3-10t^2+24t+2t^2+5t-12
== 4t38t2+29t12-4t^3-8t^2+29t-12.
Exercice 12 Trouver le facteur commun puis factoriser les expressions suivantes.

A=(x+3)(4x3)+(x+3)(2x2)A=(x+3)(4x-3)+(x+3)(2x-2)
Correction
AA == (x+3)(4x3)+(x+3)(2x2)\textcolor{red}{(x+3)}(4x-3)+\textcolor{red}{(x+3)}(2x-2)
== (x+3)((4x3)+(2x2))(x+3)((4x-3)+(2x-2))
== (x+3)(4x3+2x2)(x+3)(4x-3+2x-2)
== (x+3)(6x5)(x+3)(6x-5).
B=(2x5)(x+2)(2x5)(43x)B=(2x-5)(x+2)-(2x-5)(4-3x)
Correction
BB == (2x5)(x+2)(2x5)(43x)\textcolor{red}{(2x-5)}(x+2)-\textcolor{red}{(2x-5)}(4-3x)
== (2x5)((x+2)(43x))(2x-5)((x+2)-(4-3x))
== (2x5)(x+24+3x)(2x-5)(x+2-4+3x)
== (2x5)(4x2)(2x-5)(4x-2).
C=(5t)(3t+4)+(3t2)(5t)(5t)(43t)C=(5-t)(3t+4)+(3t-2)(5-t)-(5-t)(4-3t)
Correction
CC == (5t)(3t+4)+(3t2)(5t)(5t)(43t)\textcolor{red}{(5-t)}(3t+4)+(3t-2)\textcolor{red}{(5-t)}-\textcolor{red}{(5-t)}(4-3t)
== (5t)((3t+4)+(3t2)(43t))(5-t)( (3t+4)+(3t-2)-(4-3t))
== (5t)(3t+4+3t24+3t)(5-t)( 3t+4+3t-2-4+3t)
== (5t)(9t2)(5-t)( 9t-2).
D=(1x)(2x7)+(x1)(4x+3)D=(1-x)(2x-7)+(x-1)(4x+3)
Correction
DD == (1x)(2x7)+(x1)(4x+3)(1-x)(2x-7)+(x-1)(4x+3)
== (1x)(2x7)(1x)(4x+3)(1-x)(2x-7)-(1-x)(4x+3)
== (1x)(2x7)(1x)(4x+3)\textcolor{red}{(1-x)}(2x-7)-\textcolor{red}{(1-x)}(4x+3)
== (1x)((2x7)(4x+3))(1-x)((2x-7)-(4x+3))
== (1x)(2x74x3)(1-x)(2x-7-4x-3)
== (1x)(2x10)(1-x)(-2x-10).
E=(3x4)(2x+7)(4x+14)(x+9)E=(3x-4)(2x+7)-(4x+14)(x+9)
Correction
EE == (3x4)(2x+7)(4x+14)(x+9)(3x-4)(2x+7)-(4x+14)(x+9)
== (3x4)(2x+7)2(2x+7)(x+9)(3x-4)(2x+7)-2(2x+7)(x+9)
== (3x4)(2x+7)2(2x+7)(x+9)(3x-4)\textcolor{red}{(2x+7)}-2\textcolor{red}{(2x+7)}(x+9)
== (2x+7)((3x4)2(x+9))(2x+7)((3x-4)-2(x+9))
== (2x+7)(3x42x18)(2x+7)(3x-4-2x-18)
== (2x+7)(x22)(2x+7)(x-22).
Exercice 13 Développer les expressions suivantes.

A=(x+1)2A=(x+1)^2
Correction
A=(x+1)2A=(x+1)^2 == x2+2×x×1+12x^2+2\times x\times1+1^2 == x2+2x+1x^2+2x+1.
B=(2t3)2B=(2t-3)^2
Correction
B=(2t3)2B=(2t-3)^2 == (2t)22×2t×3+32(2t)^2-2\times2t\times3+3^2 == 4t212t+94t^2-12t+9.
C=(5y6)(5y+6)C=(5y-6)(5y+6)
Correction
C=(5y6)(5y+6)C=(5y-6)(5y+6) == (5y)262(5y)^2-6^2 == 25y23625y^2-36.
D=2x2+(2x5)2+(3x7)(x+5)D=2x^2+(2x-5)^2+(3x-7)(x+5)
Correction
DD == 2x2+(2x5)2+(3x7)(x+5)2x^2+(2x-5)^2+(3x-7)(x+5)
== 2x2+(2x5)2+(3x7)(x+5)2x^2+\textcolor{red}{(2x-5)^2}+(3x-7)(x+5)
== 2x2+4x220x+25+(3x7)(x+5)2x^2+\textcolor{red}{4x^2-20x+25}+(3x-7)(x+5)
== 2x2+4x220x+25+3x2+15x7x352x^2+\textcolor{red}{4x^2-20x+25}+3x^2+15x-7x-35
== 2x2+4x220x+25+3x2+15x7x352x^2+4x^2-20x+25+3x^2+15x-7x-35
== 2x2+4x2+3x220x+15x7x35+252x^2+4x^2+3x^2-20x+15x-7x-35+25
== 9x212x109x^2-12x-10.
Exercice 14 Factoriser les expressions suivantes.

A=x21A=x^2-1
Correction
A=x21A=x^2-1 == x212x^2-1^2 == (x1)(x+1)(x-1)(x+1).
B=t29B=t^2-9
Correction
B=t29B=t^2-9 == t232t^2-3^2 == (t3)(t+3)(t-3)(t+3).
C=4x21C=4x^2-1
Correction
C=4x21C=4x^2-1 == (2x)212(2x)^2-1^2 == (2x1)(2x+1)(2x-1)(2x+1).
D=369y2D=36-9y^2
Correction
D=369y2D=36-9y^2 == 62(3y)26^2-(3y)^2 == (63y)(6+3y)(6-3y)(6+3y).
E=3x21E=3x^2-1
Correction
E=3x21E=3x^2-1 == (3x)212(\sqrt{3}x)^2-1^2 == (3x1)(3x+1)(\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1).
F=72y2F=7-2y^2
Correction
F=72y2F=7-2y^2 == 72(2y)2\sqrt{7}^2-(\sqrt{2}y)^2 == (72y)(7+2y)(\sqrt{7}-\sqrt{2}y)(\sqrt{7}+\sqrt{2}y).
Exercice 15 Écrire les nombres suivants sous la forme aba\sqrt{b} avec aa et bb des entiers relatifs, bb positif le plus petit possible.

a=9a=\sqrt{9}
Correction
a=9a=\sqrt{9} == 33.
b=12b=\sqrt{12}
Correction
b=12b=\sqrt{12} == 4×3\sqrt{4\times3} == 4×3\sqrt{4}\times\sqrt{3} == 232\sqrt{3}.
c=5323c=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}
Correction
c=5323c=5\sqrt{3}-2\sqrt{3} == 333\sqrt{3}.
d=2218d=2\sqrt{2}-\sqrt{18}
Correction
dd == 22182\sqrt{2}-\sqrt{18}
== 229×22\sqrt{2}-\sqrt{9\times2}
== 229×22\sqrt{2}-\sqrt{9}\times\sqrt{2}
== 22322\sqrt{2}-3\sqrt{2}
== 2-\sqrt{2}.
e=45+32035e=\sqrt{45}+3\sqrt{20}-3\sqrt{5}
Correction
ee == 45+32035\sqrt{45}+3\sqrt{20}-3\sqrt{5}
== 9×5+34×535\sqrt{9\times 5}+3\sqrt{4\times5}-3\sqrt{5}
== 9×5+34×535\sqrt{9}\times\sqrt{5}+3\sqrt{4}\times\sqrt{5}-3\sqrt{5}
== 35+3×25353\sqrt{5}+3\times2\sqrt{5}-3\sqrt{5}
== 35+65353\sqrt{5}+6\sqrt{5}-3\sqrt{5}
== 656\sqrt{5}.
Exercice 16 Écrire les nombres suivants sous la forme a+bca+b\sqrt{c} avec aa, bb et cc des entiers et cc le plus petit possible.

a=(1+2)2a=(1+\sqrt{2})^2
Correction
aa == (1+2)2(1+\sqrt{2})^2
== 12+22+(2)21^2+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2
== 1+22+21+2\sqrt{2}+2
== 3+223+2\sqrt{2}.
b=(32)2b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2
Correction
bb == (32)2(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2
== (3)223×2+(2)2(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2
== 323×2+23-2\sqrt{3\times2}+2
== 5265-2\sqrt{6}
c=(2+35)2c=(2+3\sqrt{5})^2
Correction
cc == (2+35)2(2+3\sqrt{5})^2
== 22+2×2×35+(35)22^2+2\times2\times3\sqrt{5}+(3\sqrt{5})^2
== 4+125+32×524+12\sqrt{5}+3^2\times\sqrt{5}^2
== 4+125+9×54+12\sqrt{5}+9\times5
== 4+125+454+12\sqrt{5}+45
== 49+12549+12\sqrt{5}.
d=(523)(5+23)d=(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})
Correction
dd == (523)(5+23)(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})
dd == (5)2(23)2(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{3})^2
dd == 522×325-2^2\times\sqrt{3}^2
dd == 54×35-4\times3
dd == 5125-12
dd == 7-7.
Exercice 17 Résoudre les équations du premier degré suivantes.

2x+3=52x+3=5
Correction
2x+32x+3 == 55
2x2x == 535-3
2x2x == 22
xx == 22\dfrac{2}{2}
xx == 11.
L'équation admet une unique solution x=1x=1.
2x7=3x+12x-7=3x+1
Correction
2x72x-7 == 3x+13x+1
2x3x2x-3x == 1+71+7
x-x == 88
xx == 8-8.
L'équation admet une unique solution x=8x=-8.
42t=357t4-2t=\dfrac{3}{5}-7t
Correction
42t4-2t == 357t\dfrac{3}{5}-7t
2t+7t-2t+7t == 354\dfrac{3}{5}-4
5t5t == 35205\dfrac{3}{5}-\dfrac{20}{5}
5t5t == 175-\dfrac{17}{5}
tt == 175×15-\dfrac{17}{5}\times\dfrac{1}{5}
tt == 1725-\dfrac{17}{25}.
L'équation admet une unique solution t=1725t=-\dfrac{17}{25}.
5×(2t3)=4×(43t)+5t5\times(2t-3)=4\times(4-3t)+5t
Correction
5×(2t3)5\times(2t-3) == 4×(43t)+5t4\times(4-3t)+5t
10t1510t-15 == 1612t+5t16-12t+5t
10t1510t-15 == 167t16-7t
10t+7t10t+7t == 16+1516+15
17t17t == 3131
tt == 3117\dfrac{31}{17}.
L'équation admet une unique solution t=3117t=\dfrac{31}{17}.
x32=54x3\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{5-4x}{3}
Correction
x32\dfrac{x-3}{2} == 54x3\dfrac{5-4x}{3}
x32\dfrac{x-3}{\textcolor{red}{2}} == 54x3\dfrac{5-4x}{\textcolor{blue}{3}}
3(x3)\textcolor{blue}{3}(x-3) == 2(54x)\textcolor{red}{2}(5-4x)
3x93x-9 == 108x10-8x
3x+8x3x+8x == 10+910+9
11x11x == 1919
xx == 1911\dfrac{19}{11}.
L'équation admet une unique solution x=1911x=\dfrac{19}{11}.
Exercice 18 Résoudre les équations suivantes.

(x+3)(2x7)=0(x+3)(2x-7)=0
Correction
D'après la règle du produit nul (x+3)(2x7)=0(x+3)(2x-7)=0 si et seulement si :

x+3=0x+3=0 ou 2x7=02x-7=0
x=3x=-3 ou 2x=72x=7
x=72x=\dfrac{7}{2}.
L'équation admet donc deux solutions : x=3x=-3 et x=72x=\dfrac{7}{2}.
(2t1)(53t)=0(2t-1)(5-3t)=0
Correction
D'après la règle du produit nul (x+3)(2x7)=0(x+3)(2x-7)=0 si et seulement si :

2t1=02t-1=0 ou 53t=05-3t=0
2t=12t=1 ou 3t=5-3t=-5
t=12t=\dfrac{1}{2} ou t=53=53t=\dfrac{-5}{-3}=\dfrac{5}{3}.
L'équation admet donc deux solutions : t=12t=\dfrac{1}{2} et t=53t=\dfrac{5}{3}.
(23x+3)(23x)=0\left(\dfrac{2}{3}x+3\right)(2-3x)=0
Correction
D'après la règle du produit nul (23x+3)(23x)=0\left(\dfrac{2}{3}x+3\right)(2-3x)=0 si et seulement si :

23x+3=0\dfrac{2}{3}x+3=0 ou 23x=02-3x=0
23x=3\dfrac{2}{3}x=-3 ou 3x=2-3x=-2
x=3×32x=-3\times\dfrac{3}{2} ou x=23x=\dfrac{-2}{-3}
x=92x=-\dfrac{9}{2} ou x=23x=\dfrac{2}{3}
L'équation admet donc deux solutions : x=92x=-\dfrac{9}{2} et x=23x=\dfrac{2}{3}.
1467435(3x+2)(x+56x)=0\dfrac{1467}{435}(3x+2)(x+5-6x)=0
Correction
D'après la règle du produit nul 1467435(3x+2)(x+56x)=0\dfrac{1467}{435}(3x+2)(x+5-6x)=0 si et seulement si (3x+2)(x+56x)=0(3x+2)(x+5-6x)=0 c'est-à-dire :

3x+2=03x+2=0 ou x+56xx+5-6x
3x=23x=-2 ou 5x+5=0-5x+5=0
x=23x=-\dfrac{2}{3} ou 5x=5-5x=-5
x=55x=\dfrac{-5}{-5} == 11.
L'équation admet deux solutions : x=23x=-\dfrac{2}{3} et x=1x=1.
Exercice 19 Résoudre les inéquations suivantes :

3x>43x>4
Correction
3x3x >> 44
xx >> 43\dfrac{4}{3}.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle ]43;+[\left]\dfrac{4}{3}\, ; +\infty \right[.
4x9-4x\geq 9
Correction
4x-4x \geq 99
xx \leq 94\dfrac{9}{-4} car 4<0-4<0
xx \leq 94-\dfrac{9}{4}.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle ];94]\left] -\infty\,; -\dfrac{9}{4}\right].
2x+47x+82x+4\leq 7x+8
Correction
2x+42x+4 \leq 7x+87x+8
2x7x2x-7x \leq 848-4
5x-5x \leq 44
xx \geq 45-\dfrac{4}{5} car 5<0-5<0.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle [45;+[\left[-\dfrac{4}{5}\, ; +\infty \right[.
53x<4x+95-3x<4x+9
Correction
53x5-3x << 4x+94x+9
3x4x-3x-4x << 959-5
7x-7x << 44
xx >> 47-\dfrac{4}{7} car 7<0-7<0.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle ]47;+[\left]-\dfrac{4}{7}\, ; +\infty \right[.
3(2+53x)79x+13\left(2+\dfrac{5}{3}x\right)-7\leq 9x+1
Correction
3(2+53x)73\left(2+\dfrac{5}{3}x\right)-7 \leq 9x+19x+1
6+5x76+5x-7 \leq 9x+19x+1
5x15x-1 \leq 9x+19x+1
5x9x5x-9x \leq 1+11+1
4x-4x \leq 22
xx \geq 24\dfrac{2}{-4} car 4<0-4<0.
xx \geq 12-\dfrac{1}{2}.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle [12;+[\left[-\dfrac{1}{2}\, ; +\infty \right[.