--> ~ Baccalauréat Blanc S Gutenberg Février 2018 ~ ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
    1. Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
  3. Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point $M$.
    1. Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_J-x_I\y_J-y_I\z_J-z_I\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}0-1/2\1/2-0\1-0\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}-1/2\1/2\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IK}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_K-x_I\y_K-y_I\z_K-z_I\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}1-1/2\1/2-0\0-0\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}1/2\1/2\0\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires $\left(x_{\overrightarrow{IK}} = - x_{\overrightarrow{IJ}} \text{ et } y_{\overrightarrow{IK}} = x_{\overrightarrow{IJ}}\right)$.
      Ainsi, pour démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK), il nous suffit de démontrer que le vecteur $\overrightarrow{FD}$ est orthogonale aux vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$.
      On a : $\overrightarrow{FD}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_D-x_F\y_D-y_F\z_D-z_F\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}0-1\1-0\0-1\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}-1\1\-1\end{pmatrix}$ et donc :
      $\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{IJ}$ $=$ $\begin{pmatrix}-1\1\-1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1/2\1/2\1\end{pmatrix}$ $=$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-1$ $=$ $0$,
      et : $\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{IK}$ $=$ $\begin{pmatrix}-1\1\-1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1/2\1/2\0\end{pmatrix}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-0$ $=$ $0$.
      Ainsi la droite (FD) est orthogonale à deux droites non parallèles du plan (IJK), elle est donc orthogonale au plan (IJK).

    2. D'après la question précédente le vecteur $\overrightarrow{FD}\begin{pmatrix}-1\1\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (IJK), l'équation cartésienne de ce dernier est donc de la forme : $-x+y-z+d=0$, avec $d\in\mathbb{R}$ qui nous reste à déterminer.
      Or $I\left(\dfrac{1}{2},0,0\right)$ est un point de (IJK), ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de ce plan et donc :
      $-x_I+y_I-z_I+d=0$ $\Longleftrightarrow$ $-\dfrac{1}{2}+0-0+d=0$ $\Longleftrightarrow$ $d=\dfrac{1}{2}$.
      (IJK) a donc pour équation cartésienne : $-x+y-z+\dfrac{1}{2}=0$.

  2. Une représentation paramétrique de la droite (FD) est donnée par :

    $\left\{\begin{array}{rcl} x & = & x_{ \overrightarrow{FD} }t+x_D \ y & = & y_{ \overrightarrow{FD} }t+y_D \ z & = & x_{ \overrightarrow{FD} }t+z_D \ \end{array}\right., t\in\mathbb{R}$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl} x & = & -t \ y & = & t+1 \ z & = & -t \ \end{array}\right., t\in\mathbb{R}$

  3. Les coordonnées du point $M(x;y;z)$ vérifient les équations de la paramétrisation de la droite (FD) et également l'équation cartésienne du plan (IJK). Ainsi, en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leur expression en fonction de $t$ dans l'équation cartésienne, nous obtenons :

    $-x+y-z+\dfrac{1}{2}=0$ $\Longleftrightarrow$ $-(-t)+t+1-(-t)+\dfrac{1}{2}=0$ $\Longleftrightarrow$ $3t+\dfrac{3}{2}=0$ $\Longleftrightarrow$ $t=-\dfrac{1}{2}$.

    En remplaçant $t$ par $-\dfrac{1}{2}$ dans la paramétrisation de (FD), nous obtenons comme coordonnées pour le point d'intersection entre (FD) et (IJK) : $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_{A} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{B} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.
  1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
  2. On considère l'équation \[(E) \::\: z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0.\] Montrer qu'une des solutions de $(E)$ est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
  1. Calculons tout d'abord les longueurs des segments $[OA]$ et $[OB]$.
    $OA$ $=$ $|z_A-z_O|$ $=$ $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ $=$ $2$,
    $OB$ $=$ $|z_B-z_O|$ $=$ $2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ $=$ $2$.

    Le triangle OAB est isocèle est isocèle de sommet O. Il reste à vérifier qu'il est rectangle en O.

    $AB^2$ $=$ $|z_B-z_A|^2$ $=$ $\left|2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}-2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}\right|^2$ $=$ $|\sqrt{2}+i\sqrt{2}-(-\sqrt{2}+i\sqrt{2})|^2$ $=$ $|2\sqrt{2}|^2$ $=$ $8$.
    D'après ce qui précéde : $OA^2+OB^2$ $=$ $2^2+2^2$ $=$ $8$ $=$ $AB^2$.
    Ainsi le triangle OAB est également rectangle en O.

    On présente maintenant une autre méthode pour prouver que l'angle $\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)$ est droit.
    $\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)$ $=$ $\text{arg}\left( \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right)$ $=$ $\text{arg}\left( \dfrac{2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}}{2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}\right)$ $=$ $\text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})} \right)$ $=$ $\text{arg}\left( \text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{2} } \right)$ $=$ $\dfrac{\pi}{2}$.

  2. Résolvons tout d'abord l'équation $(E)$ : $ z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0$.
    Son discriminant, que nous notons $\Delta$ vaut : $\Delta = \left(-\sqrt{6}\right)^2-4\times1\times2$ $=$ $-2$.
    Ainsi l'équation $(E)$ possède deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \dfrac{\sqrt{6}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Notons tout d'abord que, puisque le triangle $OAB$ est rectangle en O, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de $[AB]$, que nous noterons $C$ d'affixe $z_C = \dfrac{z_A+z_B}{2}$ $=$ $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}+\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ $=$ $\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{2}-\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{2}$ $=\text{i}\sqrt{2}$.

    De plus le rayon de ce cercle est égale à $\dfrac{AB}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{8}}{2}$ $=$ $\sqrt{2}$.

    En notant $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, il nous reste, pour répondre à la question, à démontrer que $CM_1 = \sqrt{2}$ ou $CM_2 = \sqrt{2}$.

    $CM_1$ $=$ $|z_{M_1}-z_C|$ $=$ $\left|\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\sqrt{2}\right|$ $=$ $\left| \dfrac{\sqrt{6}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right|$ $=$ $\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{6}{4}+\dfrac{2}{4}}$ $=$ $\sqrt{2}$.

    Ainsi le point $M_1$ est bien sur le cercle circonscrit à OAB.
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.
Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de « pur jus » est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0;1].
Par ailleurs, 20% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation « pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :
$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer la valeur exacte de $x$.
  3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ».
    Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
  2. Nous savons d'après l'énoncé que $P(J)=0,2$, donc pour déterminer la valeur exacte de $x$, nous utilisons la formule des probabilités totales :

    $\begin{array}{crcl} & P(J) & = & P(R)\times P_R(J)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(J) \ \Longleftrightarrow & 0,2 & = & 0,4\times0,25+0,6x \ \Longleftrightarrow & 0,6x + 0,1 & = & 0,2 \ \Longleftrightarrow & 0,6x & = & 0,1 \ \Longleftrightarrow & x & = & \dfrac{1}{6}. \ \end{array}$
  3. Nous cherchons dans cette question à déterminer $P_{J}(R)$.
    $P_{J}(R)$ $=$ $\dfrac{P(R\cap J)}{P(J)}$ $=$ $\dfrac{0,4\times0,25}{0,2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par : \[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\] où $a, b$ et $c$ sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$.
On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$.
  1. Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$.
  2. Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
  3. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$.
Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par : \[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]
  1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$.
    En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières.
  1. Puisque les points A(1;0) et B(4;0) sont sur $\mathcal{C}_u$ on a alors : $u(1)=0$ et $u(4)=0$.
  2. On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{b}{x}$ $=$ $0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{c}{x^2}$ $=$ $0$. Ainsi :
    $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$ $=$ $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}$ $=$ $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}a+0+0$ $=$ $a$.

    L'énoncé nous dit par ailleurs que la droite d'équation $y=1$ est asymptote à $\mathcal{C}_u$, donc nous savons que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$ $=$ $1$. À l'aide des calculs précédents nous pouvons en conclure que : $a=1$.
  3. D'après la question 1 nous savons que $u(1)=0$ et $u(4)=0$. Ce qui nous donne le système suivant :

    $\left\{\begin{array}{rcl} u(1) & = & 0 \ u(4) & = & 0 \ \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rclr} 1+b+c & = & 0 & (1)\ 1+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{16} & = & 0 & (2)\ \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} 1+b+c & = & 0 & (1)\ 16+4b+c & = & 0 & (2')=(2)\times16 \ \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} 1+b+c & = & 0 & (1)\ 15+3b & = & 0 & (2')-'1 \ \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} 1+b+c & = & 0 & \ b & =& -5& \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} -4+c & = & 0 & \ b & = &-5& \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} c & = & 4 & \ b & = &-5& \end{array}\right.$

    Ainsi, pour tout $x>0$, $u(x)=1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2}$ $=$ $\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{5x}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}$ $=$ $\dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.
Partie B
  1. Pour tout $x>0$, on a :
    $f(x)=x - 5\ln(x) - \dfrac{4}{x}$ $=$ $\dfrac{1}{x}\left( x^2-5x\ln(x)-4\right)$.
    Puisque nous sommes sur l'intervalle $]0;+\infty[$, la limite en $0$ se calcule par valeur supérieure, donc : $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ $=$ $+\infty$.

    De plus, en utilisant $\displaystyle\lim_{x \to 0}x\ln(x)=0$, on a : $\displaystyle\lim_{x \to 0}x^2-5x\ln(x)-4$ $=$ $-4$.

    Par produit de limites on obtient :

    $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)$ $=$ $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}\left( x^2-5x\ln(x)-4\right)$ $=$ $-\infty$.

  2. Pour tout $x>0$ :

    $f(x)=x - 5\ln(x) - \dfrac{4}{x}$ $=$ $x\left( 1-5\dfrac{\ln(x)}{x}-\dfrac{4}{x^2} \right)$.
    On a :
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x$ $=$ $+\infty$.
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$ $=$ $0$ par croissances comparées.
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{4}{x^2}$ $=$ $0$.

    Donc : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}1-5\dfrac{\ln(x)}{x}-\dfrac{4}{x^2}$ $=$ $1$ et, par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)$ $=$ $+\infty$.
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. En dérivant terme à terme on obtient :

    $f'(x)=1-5\dfrac{1}{x}-4\times\dfrac{-1}{x^2}$ $=$ $1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2}$ $=$ $\dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.

    De plus, le polynôme $x^2-5x+4$ possède deux racines : 1 et 4. En utilisant la règle des signes des polynômes du second degré, on obtient le tableau de variation suivant :

    $x$ $0$ $1$ $4$ $+\infty$ $x^2-5x+4$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ $x^2$ $+$ barre $+$ barre $+$ $f'(x)$ interdit $+$ 0 $-$ 0 $+$ interdit $-3$ $+\infty$ $f(x)$ interdit croissante décroissante croissante interdit 0 $3-10\ln(2)$
    On remarquera que : $f(1)=1-5\ln(1)-\dfrac{4}{1}$ $=$ $1-0-4$ $=$ $-3$ et $f(4)$ $=$ $4-5\ln(4)-\dfrac{4}{4}$ $=$ $4-5\times2\ln(2)-1$ $=$ $3-10\ln(2)$.
Les parties A et B sont indépendantes.

On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l'année 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} u_0 &=&0,3\ u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

  1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
  2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle [0;1].
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
  3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année \textbf{avant} laquelle il reste au moins $30$ tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence.

    Variables $u$ est un réel
    $n$ est un entier naturel
    Traitement $u$ prend la valeur $0,3$
    $n$ prend la valeur $0$
    Tant que ... faire :
    Fin Tant que
    Sortie Afficher ...
Partie B

Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} v_{10} &=&0,032\ v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$, $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

  1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
  2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
  3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?
  1. Calculons $u_1$ et $u_2$ puisque $u_0$ correspond au nombre de tortue en 2000.
    $u_1=0,9u_0(1-u_0)$ $=$ $0,9\times0,3(1-0,3)$ $=$ $0,27\times0,7$ $=$ $0,189$.
    Il y avait donc 189 tortues au début de l'année 2001.

    $u_2=0,9u_1(1-u_1)$ $=$ $0,9\times0,189(1-0,189)$ $\simeq$ $0,138$.
    Il y avait donc 138 tortues au début de l'année 2002.

    1. On a admis que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $1 - u_n$ sont dans [0;1]. Ainsi, pour tout entier $n$ : $0\leq 1-u_n\leq 1$.
      On peut multiplier cet encadrement par $u_n>0$, et on a :
      $\begin{array}{crcccl} & 0\times u_n & \leq & u_n(1-u_n) & \leq & 1\times u_n \ \Longleftrightarrow & 0 & \leq & u_n(1-u_n) & \leq & u_n \ \Longleftrightarrow & 0 & \leq & 0,9u_n(1-u_n) & \leq & 0,9u_n \ \Longleftrightarrow & 0 & \leq & u_{n+1} & \leq & 0,9u_n \ \end{array}$

    2. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.

      Initialisation
      Pour $n=0$, $u_0=0,3$ et $0,3\times 0,9^0=0,3$, donc nous avons bien : $0\leq u_n\leq0,3\times0,9^0$.

      Hérédité
      Supposons que pour un certain entier $n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
      Montrons alors que : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,3 \times 0,9^{n+1}$.

      Remarquons tout d'abord que pour tout entier $n$, $u_{n+1}\geq 0$. Il ne nous reste plus qu'à montrer que $u_{n+1} \leqslant 0,3 \times 0,9^{n+1}$.
      D'après la question précédente, nous avons : $u_{n+1}\leq0,9 u_n$, et l'hypothèse de récurrence nous disant que $u_n\leq0,3\times0,9^n$, nous avons alors que :
      $u_{n+1}\leq0,9\times0,3\times0,9^n$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1} \leqslant 0,3 \times 0,9^{n+1}$.

      Conclusion
      D'après le principe de récurrence nous pouvons affirmer que pour tout entier $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.

    3. Nous avons que $0,9\in[0;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }0,9^n$ $=$ $0$. Ainsi : $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }0,3\times0,9^n$ $=$ $0$.
      Nous avions montrer que pour tout entier $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$, donc d'après le théorème d'encadrement des limites : $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }u_n$ $=$ $0$.
      D'après ce modèle nous pouvons déduire de cette limite que les tortues de cette île sont en voie d'extinction.

  3. u = 0.3 n = 0 while(u >= 0.03){ n = n+1 u = 0.9*u*(1-u) } afficher(n-1)
    À la fin de l'exécution de la boucle tant que la variable n correspondant au rang de la première année où le nombre de tortues est inférieur à 30. C'est pour cela que l'on affiche le rang précédent pour obtenir le rang de la dernière année où le nombre de tortue est supérieur à 30.
Partie B
  1. Calculons $v_{11}$ et $v_{12}$.
    $v_{11}$ $=$ $1,06v_{10}(1-v_{10})$ $=$ $1,06\times0,032\times(1-0,032)$ $\simeq$ $0,033$.
    Le nombre de tortues en 2011 était de 33.

    $v_{12}$ $=$ $1,06v_{11}(1-v_{11})$ $=$ $1,06\times0,033\times(1-0,033)$ $\simeq$ $0,034$.
    Le nombre de tortues en 2012 était de 34.

  2. Notons tout d'abord, puisque $(v_n)$ est convergente que : $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }v_n$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }v_{n+1}$ $=$ $\ell$.

    Nous avons : $v_{n+1}=1,06v_n(1-v_n)$ donc par passage à la limite :

    $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }v_{n+1} = 1,06\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}v_n }\left(1- \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} }v_n\right)$ $\Longleftrightarrow$ $\ell = 1,06\ell(1-\ell)$

  3. Pour pouvoir répondre à cette question il nous faut déterminer $\ell$. Résolvons donc l'équation vérifiée par $\ell$.

    $\ell = 1,06\ell(1-\ell)$ $\Longleftrightarrow$ $ 1,06\ell(1-\ell)-\ell=0$ $\Longleftrightarrow$ $\ell(1,06(1-\ell)-1)=0$ $\Longleftrightarrow$ $\ell(0,06-\ell)=0$ $\Longleftrightarrow$ $\ell=0$ ou $\ell=0,06$.

    Une suite convergente n'ayant qu'une seule limite, La suite $(v_n)$ converge donc soit vers $0$, soit vers $0,06$. Mais puisque l'énoncé nous dit que la suite est croissante, sa limite ne peut être que $0,06$. Ainsi le nombre de tortue augmentera progressivement vers 600 et ne sera plus en voie d'extinction.