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Terminale S - Épreuve de mathématiques

L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.

Le sujet comporte pour tous les candidats cinq exercices indépendants. Les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité et ceux suivant l'enseignement de spécialité feront attention à l'exercice 5 qu'ils traiteront, seul un des deux proposés leur correspondant.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Commun à tous les candidats

On considère:
2$\bullet$ I et J les milieux respectifs des segments [AD] et [BC];
2$\bullet$ P le centre de la face ABFE, c'est-à-dire l'intersection des diagonales (AF) et (BE);
2$\bullet$ Q le milieu du segment [FG]. Xmin = -10 Xmax = 10 Ymin = -10 Ymax = 10 a = 10 U = [0,0,1] O = [0,0,0] angle = -0.4 A = rotation3d(U,angle,O,[a,0,0]) B = rotation3d(U,angle,O,[a,a,0]) C = rotation3d(U,angle,O,[0,a,0]) D = rotation3d(U,angle,O,[0,0,0]) E = rotation3d(U,angle,O,[a,0,a]) F = rotation3d(U,angle,O,[a,a,a]) G = rotation3d(U,angle,O,[0,a,a]) H = rotation3d(U,angle,O,[0,0,a]) I = rotation3d(U,angle,O,[a/2,0,0]) J = rotation3d(U,angle,O,[a/2,a,0]) W = [J[0]-I[0],J[1]-I[1],J[2]-I[2]] P = rotation3d(U,angle,O,[a,a/2,a/2]) Q = rotation3d(U,angle,O,[a/2,a,a]) W1 = [Q[0]-P[0],Q[1]-P[1],Q[2]-P[2]] R = rotation3d(U,angle,O,[a,0,a/2]) S = rotation3d(U,angle,O,[a,a/2,0]) point(A) texte("A",translation([2.5,0,0],A)) point(B) texte("B",translation([2.5,1,0],B)) point(C) texte("C",translation([0,0.5,-0.5],C)) point(D) texte("D",translation([-.7,0,0],D)) point(E) texte("E",translation([2.5,0,1],E)) point(F) texte("F",translation([1.8,0,1],F)) point(G) texte("G",translation([-0.4,0,0],G)) point(H) texte("H",translation([2,0,1],H)) point(I) texte("I",translation([2,0,1],I)) point(J) texte("J",translation([2.5,1,0],J)) point(P) texte("P",translation([2.5,0,-0.3],P)) point(Q) texte("Q",translation([1.5,0,-0.5],Q)) segment(A,B) segment(A,E) segment(B,C) segment(C,D,[6,3]) segment(A,D,[6,3]) segment(H,E) segment(E,F) segment(F,G) segment(G,H) segment(F,B) segment(G,C) segment(H,D,[6,3]) couleur = gris droiteParam(J,W,[6,3]) droiteParam(P,W1,[6,3]) couleur = noir trait = 2 segment(A,R) segment(R,translation([0,0.2,-0.3],R)) segment(R,translation([0,-0.2,-0.3],R)) segment(A,I,[6,3]) segment(I,translation([0,-0.1,-0.4],I)) segment(I,translation([0,-.5,0.1],I)) segment(A,S) segment(S,translation(rotation3d(U,angle,O,[-0.5,-0.7,0]),S)) segment(S,translation(rotation3d(U,angle,O,[0.5,-0.2,0]),S))
On se place dans le repère orthonormé $\left ( \text{A}~;~\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\;,\;\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\;,\;\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\right )$. Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IJ}$ et justifier alors que la droite $(IJ)$ admet la représentation paramétrique suivante : \[\left \lbrace \begin{array}{rcl} x& = & r\ y & = & 1\ z & = & 0\ \end{array} \right . , \quad r\in\mathbb{R}\] Puisque $I$ est le milieu du segment $[AD]$ nous avons :

$I\left( \dfrac{x_A+x_D}{2} ; \dfrac{y_A+y_D}{2} ; \dfrac{z_A+z_D}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{0+0}{2} ; \dfrac{0+2}{2} ; \dfrac{0+0}{2} \right)$ $=$ $(0;1;0)$.

De même pour le point $J$ milieu de $[BC]$ :

$J\left( \dfrac{x_B+x_C}{2} ; \dfrac{y_B+y_C}{2} ; \dfrac{z_B+z_C}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{2+2}{2} ; \dfrac{0+2}{2} ; \dfrac{0+0}{2} \right)$ $=$ $(2;1;0)$.

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IJ}$ sont donc :

$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} x_J-x_I \ y_J-y_I \ z_J-z_I \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$

On utilise alors le fait que la droite $(IJ)$ est dirigée par le vecteur de coordonnées $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$, qui est colinéaire à $\overrightarrow{IJ}$, et passe par $I$ pour obtenir la paramétrisation suivante :

\[\left \lbrace \begin{array}{rcl} x& = & x_\vec{u}r+x_I\ y & = & y_\vec{u}r+y_I\ z & = & z_\vec{u}r+z_I\ \end{array} \right . , \quad r\in\mathbb{R}\] $$\iff\left \lbrace \begin{array}{rcl} x& = & 1r+0\ y & = & 0r+1\ z & = & 0r+0\ \end{array} \right . , \quad r\in\mathbb{R}$$ $$\iff\left \lbrace \begin{array}{rcl} x& = & r\ y & = & 1\ z & = & 0\ \end{array} \right . , \quad r\in\mathbb{R}$$
Le point $M$ de coordonnées $(4;3;4)$ appartient-il à la droite $(PQ)$ ? Déterminons dans un premier temps les coordonnées des points $P$ et $Q$.

Le point $P$ est le milieu du segment $[AF]$ donc :

$P\left( \dfrac{x_A+x_F}{2} ; \dfrac{y_A+y_F}{2} ; \dfrac{z_A+z_F}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{0+2}{2} ; \dfrac{0+0}{2} ; \dfrac{0+2}{2} \right)$ $=$ $(1;0;1)$.

De même, puisque le point $Q$ est le milieu du segment $[FG]$ on a :

$Q\left( \dfrac{x_F+x_G}{2} ; \dfrac{y_F+y_G}{2} ; \dfrac{z_F+z_G}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{2+2}{2} ; \dfrac{0+2}{2} ; \dfrac{2+2}{2} \right)$ $=$ $(2;1;2)$.

Regardons maintenant, pour savoir si $M$ est un point de la droite $(PQ)$, si les vecteurs $\overrightarrow{PM}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont colinéaires.

$\overrightarrow{PM}\begin{pmatrix}x_M-x_P \ y_M-y_P \ z_M-z_P\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}4-1 \ 3-0 \ 4-1\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}3 \ 3 \ 3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}x_Q-x_P \ y_Q-y_P \ z_Q-z_P\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}2-1 \ 1-0 \ 2-1\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}1 \ 1 \ 1\end{pmatrix}$

Ainsi, $\overrightarrow{PM}=3\overrightarrow{PQ}$, les vecteurs sont donc colinéaires et les points $M$, $P$ et $Q$ sont alignés. Le point $M$ appartient bien à la droite $(PQ)$.
Déterminer les coordonnées du point $N$ de la droite $(IJ)$ tel que $(MN)$ et $(IJ)$ soit orthogonales. Puisque $N$ est un point de $(IJ)$, il existe alors un réel $r$ tel que $N$ est pour coordonnées $(r,1,0)$.

De plus, les droites $(MN)$ et $(IJ)$ sont orthogonales si et seulement si : $$\begin{array}{crcl} & \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MN} & = & 0 \ & \begin{pmatrix}2 \ 0 \ 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_M-x_N \ y_M-y_N \ z_M-z_N \end{pmatrix} & = & 0 \ & \begin{pmatrix}2 \ 0 \ 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}4-r \ 3-1 \ 4-0 \end{pmatrix} & = & 0 \ & \begin{pmatrix}2 \ 0 \ 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}4-r \ 2 \ 4 \end{pmatrix} & = & 0 \ & 2(4-r)+0+0 & = & 0 \ & 8 - 2r & = & 0 \ & r & = & 4. \ \end{array}$$ En remplaçant $r$ par $4$, on a donc que le point $N$ a pour coordonnées $(4,1,0)$

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère $(O,\vec{u};\vec{v})$ et on considère les points $A\left(2\text{e}^{\text{i}\pi/3}\right)$, $B\left( -1+\text{i}\sqrt{3} \right)$ et $C(2)$.
Pour tout point $M$ du plan complexe on note $z_M$ son affixe.

On définit sur $\mathbb{C}$, la fonction $f$ par :

$f(z)=\text{e}^{\text{i}\pi/3}z+2$, pour tout $z\in\mathbb{C}$.

On appelle image d'un point $M$ du plan par $f$, le point d'affixe $f(z_M)$.

Donner la forme algébrique de $z_A$. $\begin{array}{rcl}z_A & = & 2\text{e}^{\text{i}\pi/3} \ & = & 2\left( \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)+ \text{i}\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\right) \ & = & 2\left( \dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \ & = & 1 + \text{i}\sqrt{3}. \ \end{array}$
Déterminer la forme exponentielle de $z_B$. Déterminons tout d'abord le module de $z_B$.

$|z_B|$ $=$ $\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}$ $=$ $\sqrt{4}$ $=$ $2$.

Ainsi, en notant $\theta$ un argument de $z_B$, on a :

$\cos(\theta)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Ce qui nous donne $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ $[2\pi]$.

La forme exponentielle cherchée est : $z_B = 2\text{e}^{\text{i}2\pi/3}$.
Démontrer que $z_A$ est invariant par $f$ (c'est-à-dire que $f(z_A)=z_A$). $\begin{array}{rcl} f(z_A) & = & \text{e}^{\text{i}\pi/3}\times z_A+2 \ & = & \text{e}^{\text{i}\pi/3}\times2\text{e}^{\text{i}\pi/3}+2 \ & = & 2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}+2 \ & = & z_B+2 \ & = & 1 + \text{i}\sqrt{3} \ & = & z_A. \ \end{array}$
Montrer que les sommets du triangle $AOB$ ont pour image par $f$ les sommets du triangle $AOC$. D'après la question précédente l'image de $A$ par $f$ est bien $A$.

Pour déterminer l'image de $O$, calculons $f(z_O)$ : $f(z_O) = f(0)$ $=$ $\text{e}^{\text{i}\pi/3}\times0+2$ $=$ $2$ $=$ $z_C$.

Ainsi l'image du point $O$ par $f$ est le point $C$.

Il nous reste à déterminer l'image de $B$.

$\begin{array}{rcl} f(z_B) &=& f(2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}) \ & = & \text{e}^{\text{i}\pi/3}\times2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}+2 \ & = & 2\text{e}^{3\text{i}\pi/3}+2 \ & = & 2\times(-1)+2 \ & = & 0 \ & = & z_O. \ \end{array}$

L'image de $B$ par $f$ est le point $O$.

On a bien que les points $A$, $O$ et $B$ ont pour image $A$, $O$ et $C$.
Les triangles $AOB$ et $AOC$ sont-ils de même nature ? La réponse sera justifiée. Nous avons que $OA$ $=$ $|z_A|$ $=$ $2$ et $OB$ $=$ $|z_B|$ $=$ $2$. Ainsi le triangle $AOB$ est isocèle de sommet $O$.

Regardons si il est équilatéral, rectangle ou simplement isocèle en calculant $AB$.

$\begin{array}{rcl} AB & = & |z_B-z_A| \ & = & \left| -1+\text{i}\sqrt{3} - \left(1+\text{i}\sqrt{3}\right) \right| \ & = & |-2| \ & = & 2. \ \end{array}$

Le triangle $AOB$ est équilatéral.

Il nous reste à déterminer la nature du triangle $AOC$.

$OC$ $=$ $|z_C|$ $=$ $2$ $=$ $OA$.

Déterminons alors $AC$ :

$\begin{array}{rcl} AC & = & |z_C-z_A| \ & = & \left| 2 - \left(1+\text{i}\sqrt{3}\right) \right| \ & = & \left|1+\text{i}\sqrt{3}\right| \ & = & 2. \ \end{array}$

Les deux triangles sont équilatéraux, et même isométriques.

Commun à tous les candidats

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30$ % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

2 $\bullet$ $F$ l'évènement « le membre choisi est une femme »,
2 $\bullet$ $T$ l'évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $\dfrac{2}{5}$. Construisons un arbre de probabilités avec les données de l'énoncé. On note $P(F)=x$.
Nous savons de plus que $P_F(T)=\dfrac{1}{4}$, $P_\overline{F}( T ) = \dfrac{1}{3}$ et $P( T ) = 0,3$.

D'après la formule des probabilités totales, nous avons :

$$\begin{array}{rcl} P(T) & = & 0,3 \ P(F \cap T) + P( \overline{F}\cap T ) & = & 0,3 \ x\times\dfrac{1}{4}+(1-x)\times\dfrac{1}{3} & = & 0,3 \ \dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{3}x +\dfrac{1}{3} & = & 0,3 \ -\dfrac{1}{12}x & = & \dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{3} \ -\dfrac{1}{12}x & = & -\dfrac{1}{30} \ x & = & \dfrac{12}{30} \ x & = & \dfrac{2}{5}. \ \end{array}$$ Nous avons bien que $P(F)=\dfrac{2}{5}$.
On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? Il nous faut calculer $P_T(F)$.

$P_T(F)$ $=$ $\dfrac{P(F\cap T)}{P(T)}$ $=$ $\dfrac{\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}}{0,3}$ $=$ $\dfrac{\dfrac{1}{10}}{0,3}$ $=$ $\dfrac{1}{10\times0,3}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
1. Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. Le fait de choisir un membre de l'association et de regarder si il adhère ou non à la section tennis est une épreuve de Bernoulli. On la répète 4 fois de manière identitique et indépendante.
  Ainsi La variable aléatoire $X$, donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis, suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ (nombre d'épreuves) et $p=\dfrac{3}{10}$.
  
  On souhaite deux succès, c'est-à-dire il nous faut calculer $P(X=2)$. À la calculatrice on obtient : $P(X=2)\simeq0,2646$.
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
  Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n$. Il suffit de considérer l'évènement contraire qui consiste à ne choisir aucun membre du club de tennis $n$ fois, soit $\left (\dfrac{7}{10}\right)^n$.
  Le résultat est donc $p_n = 1 - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n$.
3. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geqslant 0,99$. $$\begin{array}{rcll} p_n & \geqslant & 0,99 \ 1 - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n & \geqslant & 0,99 \ - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n & \geqslant & 0,99 -1 \ - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n & \geqslant & -0,01 \ \left (\dfrac{7}{10}\right)^n & \leqslant & 0,01 \ \ln\left(\left (\dfrac{7}{10}\right)^n \right) & \leqslant & \ln(0,01) & \text{La fonction ln étant strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \ n\ln\left (\dfrac{7}{10}\right) & \leqslant & \ln(0,01) \ n & \geqslant & \dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left (\dfrac{7}{10}\right)} & \text{car }\ln(0,7)<0 \ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left (\dfrac{7}{10}\right)}\simeq12,9$, ainsi le nombre minimal de semaine cherché est de $13$.
Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros chacun, les autres ne rapportent rien.
Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$ € puis tire au hasard un jeton de l'urne : il reçoit alors $20$ euros si le jeton est gagnant. Le jeton est ensuite remis dans l'urne.
On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des $5$ €) réalisé par un joueur lors d'une partie de cette loterie.
1. Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous représentant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
  
  Gain ... 15 €
  
  Probabilité
  
  Il y a deux possibilités, soit le jeton est gagnant (probabilité de $1/10$) et le joueur réalise un gain de $20-5 = 15$ €, soit il est perdant (probabilité de $9/10$) est il perd $5$ €. Le gain est donc de $-5$ €.
  
  Le tableau est donc :
  
  Gain -5 € 15 €
  
  Probabilité $\dfrac{9}{10}$ $\dfrac{1}{10}$
2. On donne l'algorithme ci-dessous simulant un grand nombre de parties pour cette loterie :
```
g ← 0
Pour i allant de 1 jusqu'à 500, faire :		       
	g ← g - 5		        
	p ← entier aléatoire entre 1 et 10
	Si p = 1 alors g ← g +20		       
Fin de boucle Pour 
m ← g/500
```
  Après exécution de l'algorithme la variable m vaut -2,88. Pouvait-on s'attendre à un tel résultat ? La réponse pourra être argumentée en utilisant $E(X)$ (l'espérance de la variable aléatoire $X$). L'algorithme simule $500$ parties, et donne le gain moyen pour toutes ces parties : g étant le gain calculé dans la boucle "pour", m = g/500 est bien le gain moyen pour 500 parties.
  
  L'espérance de la variable aléatoire représentant le gain pour une partie vaut, d'après le tableau précédent :
  
  $-5\times\dfrac{9}{10}+15\times\dfrac{1}{10}$ $=$ $-\dfrac{45}{10}+\dfrac{15}{10}$ $=$ $-3$.
  
  Le résultat $-2,88$ est bien une approximation de la variable aléatoire gain du joueur.
  
  Voici un exemple d'implémentation de cet algorithme :
  
  g = 0 for(i=1 ;i<501 ;i++ ){ g = g -5 p = entAlea( 1, 10) if( p == 1 ){ g = g +20 } } afficher(g/500)

Commun à tous les candidats

Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours.
Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours.
Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : \[f(x) = 10\text{e}^{u(x)}\] où $u$ est la fonction définie sur $[0;+ \infty[$ par : \[u(x) = - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Résoudre, sur $[0;+\infty[$, l'équation $u(x)+1=0$. $$\begin{array}{rcll} u(x)+1 & = & 0 \ - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}+1 & = & 0 \ - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}} & = & -1 \ \text{e}^{2 - \frac{x}{10}} & = & 1 \ 2-\dfrac{x}{10} & = & 0 & \text{ car } e^t=1 \text{ ssi } t=0 \ \dfrac{x}{10} & = & 2 \ x & = & 20. \ \end{array}$$ L'équation possède donc pour une unique solution sur $[0;+\infty[$, $x=20$.
Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x) = - u(x)\text{e}^{u(x)}$. En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0;+ \infty[$. Pour dériver les fonctions $f$ et $u$, nous allons utiliser la formule de dérivation $\left(\text{e}^{v}\right)'=v'\text{e}^v$.

Déterminons $u'$ :

$u'(x)=-\left(-\dfrac{1}{10}\right)\text{e}^{2-\dfrac{x}{10}}$ $=$ $-\dfrac{1}{10}u(x)$.

Déterminons maintenant $f'$ :

$f'(x)=10\times u'(x)\text{e}^{u(x)}$ $=$ $10\times\left( -\dfrac{1}{10}u(x) \right)\text{e}^{u(x)}$ $=$ $-u(x)\text{e}^{u(x)}$.

Puisque pour tout réel $t$, $\text{e}^t>0$, l'expression $f'(x)$ est du signe opposé à $u(x)$. De plus $u(x)=-e^{2-\frac{x}{10}}$, on a donc bien que pour tout réel $u(x)<0$ et par conséquent $f'(x)>0$.

Ainsi, sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ la fonction $f$ est strictement croissante.
1. Calculer $f(20)$.
  En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse. On a : $f(20)=10\text{e}^{u(20)}$ $=$ $10\text{e}^{-1}$ $=$ $\dfrac{10}{\text{e}} \simeq 3,68$.
  
  Ainsi au bout de 20 jours la longueur de la queue du lézard est d'environ $3,7$ cm.
2. Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ? On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}2-\dfrac{x}{10}}$ $=$ $-\infty$.
  
  Ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}u(x)}$ $=$ $0$ car $\displaystyle{\lim_{t\rightarrow-\infty}\text{e}^t}$ $=$ $0$.
  
  Et donc : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $10\text{e}^0$ $=$ $10$.
  
  De plus la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+ \infty[$, elle ne peut donc dépasser sa limite $10$ en $+\infty$.
  
  Il est donc d'après ce modèle impossible que la queue du lézard mesure $11$ cm.
On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale. On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$. On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ et on admet que : \[f''(x) = \dfrac{1}{10}u(x)\text{e}^{u(x)}(1 + u(x)).\]
1. Déterminer les variations de $f'$ sur $[0~;~+ \infty[$. Pour déterminer les variations de $f'$ il nous faut connaître le signe de $f''$.
  
  Nous avions vu précédemenent que pour tout réel $x>0$., $u(x)<0$ et $\text{e}^{u(x)}>0$. Il nous reste donc à déterminer le signe de $(1+u(x))$.
  
  $$\begin{array}{rcll} u(x)+1 & > & 0 \ - \text{e}^{2 - \dfrac{x}{10}} +1 & > & 0 \ -\text{e}^{2 - \dfrac{x}{10}} & > & -1 \ \text{e}^{2 - \dfrac{x}{10}} & < & 1 \ 2 - \dfrac{x}{10} & < & 0 & \text{ car } e^t<1 \text{ ssi } t<0 \ - \dfrac{x}{10} & < & -2 \ \dfrac{x}{10} & > & 2 \ x & > & 20. \ \end{array}$$ On obtient donc le tableau de variations suivant :
  $x$ $0$ $20$ $+\infty$ $u(x)$ $-$ barre $-$ $\text{e}^{u(x)}$ $+$ $+$ $u(x)+1$ $-$ 0 $+$ $f''(x)$ $+$ 0 $-$ $f'(x)$ croissante décroissante
2. En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale. D'après le tableau de variations nous voyons que la vitesse de croissance $f'$ est maximale au bout de 20 jours.

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5% par an.
L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc $v_0 = 12$.

Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. Augmenter de $5$ % correspond à multiplier par $1,05$. Ainsi pour tout entier $n$ : $v_{n+1} = 1,05v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1,05$ est de premier terme $v_0=12$.
Ainsi, pour tout entier $n$ : $v_n=v_0\times1,05^n$ $=$ $12\times1,05^n$.
Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ? Puisque $1,05>1$ on a que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n} = +\infty$. Ainsi la contrainte du milieu voulant que la population ne puisse dépasser $60000$ individus n'est pas respectée.

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.\]
1. Justifier que $g$ est croissante sur $[0;60]$. La fonction $g$ est un polynôme du second degré dont le coefficient du terme du second degré est négatif et dont l'abscisse du sommet de la parabole correspondante vaut : $x_0 = \dfrac{-1,1}{2\times\dfrac{-1,1}{605}}$ $=$ $302,5$.
  Ainsi, d'après la règle sur le sens de variation des polynômes du second degré nous avons que la fonction $g$ est croissante sur $]-\infty;302,5]$ est donc également sur $[0;60]$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x) = x$. $$\begin{array}{rcl} g(x) & = & x \ - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x & = & x \ - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x -x & = & 0 \ - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 0,1 x & = & 0 \ x\left( - \dfrac{1,1}{605}x + 0,1 \right) & = & 0 \ \end{array}$$ L'équation possède donc deux solutions $x=0$ et $x=\dfrac{0,1}{\dfrac{1,1}{605}}$ $=$ $55$.
On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
1. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter. On a : $u_1=g(u_0)=- \dfrac{1,1}{605}\times12^2+1,1\times12$ $\simeq$ $12,938$.
  La population en $2017$ est estimée, suivant ce modèle, à $12 938$ individus.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$. Initialisation
  $u_0=12$ donc on a bien : $0 \leqslant u_0 \leqslant 55$.
  
  Hérédité
  Supposons que pour un certain entier $n$ on a : $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
  Montrons alors que : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 55$.
  
  $$\begin{array}{rcccll} 0 & \leqslant & u_n & \leqslant & 55 \ g(0) & \leqslant & g(u_n) & \leqslant & g(55) & \text{car la fonction } g \text{ est croissante sur } [0;60] \ 0 & \leqslant & u_{n+1} & \leqslant & 55 & \text{ car } g(0)=0 \text{ et }g(55)=55.\ \end{array}$$ Conclusion
  D'après le principe de récurrence nous avons que pour tout entier $n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Déterminons pour cela le signe de $u_{n+1}-u_n$. $u_{n+1}-u_n$ $=$ $- \dfrac{1,1}{605}u_n^2 + 1,1u_n-u_n$ $=$ $-\dfrac{1,1}{605}u_n^2 + 0,1u_n$.
  
  Nous avions vu que le polynôme $-\dfrac{1,1}{605}x^2 + 0,1x$ avait de racines : $0$ et $55$.
  Donc pour tout $x\in[0;55]$ son signe est positif car le coefficient de $x^2$ est $-\dfrac{1,1}{605}<0$.
  Nous avons montré dans la question précédente que pour tout entier $n$ : $u_n\in[0;55]$, ainsi on a que $u_{n+1}-u_n\geqslant0$.
  On peut donc affirmer que la suite $(u_n)$ est croisssante.
4. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $55$, elle est donc convergente.
5. On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice. Puisque la limite $\ell$ est solution de l'équation $g(\ell)=\ell$ on a que : $\ell=0$ ou $\ell=55$ (cf question 1b).
  La suite $(u_n)$ étant croissante et $u_0=12>0$, le nombre $\ell$ ne peut valoir que $55$.
  La suite $(u_n)$ converge donc vers $55$.
  Cela veut dire que la population étudiée, selon ce modèle, à partir d'un certain temps sera proche de $55 000$ individus et ne dépassera pas ce nombre.
Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 50000 individus avec ce second modèle.
Il utilise l'algorithme suivant.
```
n ← 0
u ← 12
Tant que ...................
	u ← ......
	n ← ......
Fin Tant que
Afficher ........
```
Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r~\geq~50$.
```
n ← 0
u ← 12
Tant que u < 50
	u ← -1,1×u²/605+1,1×u
	n ← n+1
Fin Tant que
Afficher n
```
En voici un exemple d'implémentation : n = 0 u = 12 while(u < 50){ n = n+1 u = -1.1*u*u/605+1.1*u } afficher(n)

Gain	...	15 €
Probabilité

Gain	-5 €	15 €
Probabilité	$\dfrac{9}{10}$	$\dfrac{1}{10}$