$\begin{array}{rcl}
f(-i) & = & (-i)^4-2(-i)^3+11(-i)^2-18\times(-i)+18 \
& = & i^4+2i^3+11i^2+18i+18 \
& = & 1-2i-11+18i+18 \
& = & 8+16i.\
\end{array}$
Ceci est sans intérêt pour l'exercice, mais nous avons que les nombres $f(i)$ et $f(-i)$ sont conjugués.
Existe-t-il des réels $a$ et $b$ tels que $f(z)=(z^2+9)(z^2+az+b)$ ?
Pour vérifier l'existence des nombres réels $a$ et $b$, développons le membre de droite de l'égalité proposée.
Procédons alors par identification, c'est-à-dire, en utilisant le fait que deux polynômes sont égaux, si et seulement si ils ont les mêmes coefficients.
Ainsi, l'égalité $f(z)=(z^2+9)(z^2+az+b)$ est équivalente à $z^4-2z^3+11z^2-18z+18 = z^4+az^3+(b+9)z^2+9az+9b$, et à :
L'égalité est bien vérifiée pour $a=-2$ et $b=2$ (elle n'aurait pu être vraie pour aucun réels $a$ et $b$, si on avait trouvé deux équations incohérentes. Par exemple $b=2$ et $b=1$), et on a donc :
$$f(z)=(z^2+9)(z^2-2z+2).$$
On aurait également pu poser la division euclidienne entre $z^4-2z^3+11z^2-18z+18$ et $z^2+9$.
$z^4$
$-$
$2z^3$
$+$
$11z^2$
$-$
$18z$
$+$
$18$
$z^2+9$
$z^4$
$+$
$9z^2$
$z^2-2z+2$
$-$
$2z^3$
$+$
$2z^2$
$-$
$18z$
$+$
$18$
$-$
$2z^3$
$-$
$18z$
$2z^2$
$+$
$18$
$2z^2$
$+$
$18$
$0$
Résoudre l'équation $f(z)=0$.
L'équation $f(z)=0$ est équivalente à $(z^2+9)(z^2-2z+2)=0$.
D'après la règle du produit nul, nous avons donc $f(z)=0$ si et seulement si :
$z^2+9=0$
et
$z^2-2z+2=0$.
Résolvons donc ces deux équations en notant $\Delta_1$ et $\Delta_2$ leur discriminant respectif.
On a : $\Delta_1 = 0^2-4\times1\times9$ $=$ $-36$, l'équation possède donc deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{-0-\sqrt{6}i}{2}$ $=$ $-3i$ et $z_2 = 3i$.
Pour la deuxième équation
$\Delta_2 = (-2)^2-4\times1\times2$ $=$ $-4$, nous avons donc ici aussi deux solutions complexes conjuguées :
$z_3 = \dfrac{2-\sqrt{4}i}{2}$ $=$ $1-i$ et $z_4 = 1+i$.
L'équation $f(z)=0$ possède donc quatre solutions : $1-i$ ; $1+i$ ; $-3i$ ; $3i$.
Déterminer la nature, ainsi que l'aire, du polygone convexe formé par les points dont les affixes sont les solutions de $f(z)=0$.
Plaçons ces points dans un repère du plan complexe, et notons $M_k$ le point d'affixe $z_k$, pour $k$ entier compris entre $1$ et $4$.
Considèrons les coordonnées des points : $M_1(0;-3)$, $M_2(0;3)$, $M_3(1;-1)$ et $M_4(1;1)$.
On a alors : $\overrightarrow{M_1M_2} = \begin{pmatrix} 0 \ 6\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{M_3M_4} = \begin{pmatrix} 0 \ 2\end{pmatrix}$.
Ainsi, ces deux vecteurs sont colinéaires et le quadrilatère $M_1M_2M_4M_3$ possède deux côtés opposés parallèles. Il est donc bien un trapèze.
Pour déterminer l'aire de $M_1M_2M_4M_3$ il nous reste à déterminer la longueur d'une de ces hauteurs. Puisque les côtés qui sont parallèles sont parallèles à l'axe des ordonnées, les hauteurs seront parallèles à l'axe des abscisses, et clairement elles mesurent $1$ (cf graphique suivant la hauteur tracée en bleu).
$\mathcal{A}$ $=$ $\dfrac{M_1M_2+M_3M_4}{2}\times 1$ $=$ $\dfrac{6+2}{2}$ $=$ $4$.
Cette équalité peut se vérifier sur le graphique suivant en remarquant que l'aire d'un trapèze bleu et l'aire d'un triangle jaune en s'ajoutant donne bien l'aire d'un carré vert.
Xmin = -3
Xmax = 3
Ymin = -5
Ymax = 5
AxeX = true
AxeY = true
Grille = true
point([0,3])
point([0,-3])
point([1,1])
point([1,-1])
trait = 3
couleur = rouge
poly([ [0,-3],[0,3],[1,1],[1,-1] ],[3,3])
A = [0,1]
B = [1,1]
C = [1,-1]
D = [0,-1]
E = [0,-2]
F = [0.5,-2]
G = [0,2]
H = [0.5,2]
I = [0,3]
J = [0,-3]
K = [1,2]
L = [1,-2]
M = [0,-3]
trait = 1
couleur = gris
peinture = jaune
transparence = 0.3
poly([ I,H,G ])
poly([ H,K,B ])
poly([C,M,E,L])
couleur = noir
peinture = vert
poly([A,B,C,D])
peinture = bleu
poly([G,H,B,A])
poly([E,F,C,D])
couleur = noir
texte("M",[0.10,-3.3]);texte("1",[0.3,-3.5])
texte("M",[0.10,3.1]);texte("2",[0.3, 2.8])
texte("M",[1.10,-1.3]);texte("3",[1.3,-1.6])
texte("M",[1.10, 1.3]);texte("4",[1.3, 1.0])