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--> DM ∼ Géométrie dans l'espace 1 Dans un repère de l'espace on considère le plan P dont la paramétrisation est :
M(x;y;z)∈P⟺{x=1+t+t′ y=2−t+t′ z=2t′−1,t,t′∈R. On connaît de plus le point A de coordonnées (4;0;−3), et on cherche à déterminer la distance entre A et P, c'est-à-dire la plus petite des distances entre A et n'importe quel point de P. On notera dA,P ce nombre.
  1. Démontrer que pour tous réels t et t′ et pour tout point M de P on a : AM2=2(t−52)2+6(t′+12)2+3.
    2. Correction
    Pour tout point M(x;y;z) de P on a :
    AM2=(xM−xA)2+(zM−zA)2+(zM−zA)2 =(1+t+t′−4)2+(2−t+t′)2+(2t′−1+3)2 =(t+t′−3)2+(2−t+t′)2+(2t′+2)2 =t2+t′2+9+2tt′−6t−6t′+4+t2+t′2−4t+4t′−2tt′+4t′2+8t′+4 =2t2+6t′2−10t−2t′+17.

    Par ailleurs on a :

    2(t−52)2+6(t′+12)2+3=2(t2−5t+254)+6(t′2+t′+14)+3 =2t2−10t+252+6t′2−2t′+32+3 =2t2+6t′2−10t−2t′+17.

    Ainsi nous avons bien, pour tous réels t et t′ : AM2=2(t−52)2+6(t′+12)2+3.
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  2. En déduire la valeur exacte de dA,P.
    3. Correction
    Nous cherchons ici la valeur minimale de la distance AM, ce qui revient à chercher la valeur minimale de AM2.
    Or la valeur minimale d'un carré étant 0 uncarréétantpositif AM2 est minimale lorsque (t−52)2 et (t′+12)2 sont nuls.

    Ainsi il faut que t=52 et t′=−12, et le carré de la distance minimale est alors de 3.

    On a donc : dA,P=√3.
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