--> Devoir maison ∼ Suites numériques On lance un dé à six faces équilibré et on note $d$ le résultat obtenu.
On définit alors le nombre $r_d$ par : $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{d}$, et la suite $(u_{d,n})$ par : $u_{d,0}=0$ et pour tout entier $n$, $u_{d,n+1}=r_d u_{d,n}+1$.

1. Montrer que $r_d=\dfrac{d+2}{2d}$.
On a : $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{d}$ $=$ $\dfrac{d}{2d}+\dfrac{2}{2d}$ $=$ $\dfrac{d+2}{2d}$.
2. Le cas $d=2$.
   1. Montrer que la suite $(u_{2,n})$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
   Le nombre $d$ valant $2$ nous avons donc que $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$ $=$ $1$, et ainsi :
   $u_{d,n+1}=r_d u_{d,n}+1$ $=$ $1\times u_{d,n}+1$ $=$ $u_{d,n}+1$.
   La suite $(u_{2,n})$ estbien arithmétique de raison $1$ et de premier terme $u_{2,0}=0$.
   2. Déterminer alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{2,n}}$.
   D'après le cours nous savons que toute suite arithmétique de raison strictement positive diverge vers $+\infty$. Ainsi : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{2,n} = +\infty}$.
3. Le cas $d\neq2$.
   Montrer par récurrence, que pour tout entier $n$ $u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}$.
   Indication : on pourra utiliser l'égalité de la question 1.
Initialisation
Pour $n=0$, d'une part nous avons que $u_{d,0}=0$ et d'autre part :
$\begin{array}{rcl} r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} & = & r_d^0\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & \dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{-(2-d)}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{-2+d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{d-2}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & 0.\ \end{array}$
L'égalité est donc vraie au rang $n=0$.

Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n\geq0$ : $$u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}.$$ Montrons alors que : $$u_{d,n+1} = r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}.$$ On a :
$\begin{array}{rcl} u_{d,n+1} & = & r_d u_{d,n}+1 \ & = & r_d\left( r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \right)+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+r_d\times\dfrac{2d}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{2d}\times\dfrac{2d}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{d-2}+\dfrac{d-2}{d-2} \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2+d-2}{d-2} \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}_\square\ \end{array}$

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ : $u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}$.
4. Déterminer la probabilité que la suite $(u_{d,n})$ soit convergente.
   
   • Si $d=1$ alors $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}$ $=$ $\dfrac{3}{2}>1$, et puisque $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty}$, on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=+\infty}$.
   • Si $d=2$ nous avons vu dans la question 2 que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=+\infty}$.
   • Si $d\geq 3$ alors $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{d}\leq\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{5}{6}<1$. Et puisque $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}r_{d,n}^n=0}$ ($r_d\in[0;1[$), nous avons :
     $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=\dfrac{2d}{d-2}}$.
   
   Il y a donc 2 cas parmi 6 pour lesquels la suite $(u_{d,n})$ diverge et 4 cas parmi 6 où elle converge.
   La probabilité que la suite $(u_{d,n})$ soit convergente est de $\dfrac{4}{6}$ $=$ $\dfrac{2}{3}$.