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--> Devoir maison ∼ Suites numériques On lance un dé à six faces équilibré et on note d le résultat obtenu.
On définit alors le nombre rd par : rd=12+1d, et la suite (ud,n) par : ud,0=0 et pour tout entier n, ud,n+1=rdud,n+1.
  1. Montrer que rd=d+22d.
  2. Correction
    On a : rd=12+1d = d2d+22d = d+22d.
  3. Le cas d=2.
    1. Montrer que la suite (u2,n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
    2. Correction
      Le nombre d valant 2 nous avons donc que rd=12+12 = 1, et ainsi :
      ud,n+1=rdud,n+1 = 1×ud,n+1 = ud,n+1.
      La suite (u2,n) estbien arithmétique de raison 1 et de premier terme u2,0=0.
    3. Déterminer alors lim.
    4. Correction
      D'après le cours nous savons que toute suite arithmétique de raison strictement positive diverge vers +\infty. Ainsi : \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{2,n} = +\infty}.
  4. Le cas d\neq2.
    Montrer par récurrence, que pour tout entier n u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}.
    Indication : on pourra utiliser l'égalité de la question 1.
  5. Correction
    Initialisation
    Pour n=0, d'une part nous avons que u_{d,0}=0 et d'autre part :
    \begin{array}{rcl} r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} & = & r_d^0\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & \dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{-(2-d)}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{-2+d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{d-2}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & 0.\ \end{array}
    L'égalité est donc vraie au rang n=0.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier n\geq0 : u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}. Montrons alors que : u_{d,n+1} = r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}. On a :
    \begin{array}{rcl} u_{d,n+1} & = & r_d u_{d,n}+1 \ & = & r_d\left( r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \right)+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+r_d\times\dfrac{2d}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{2d}\times\dfrac{2d}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{d-2}+\dfrac{d-2}{d-2} \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2+d-2}{d-2} \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}_\square\ \end{array}

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier n : u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}.
  6. Déterminer la probabilité que la suite (u_{d,n}) soit convergente.
    Correction
    • Si d=1 alors r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1} = \dfrac{3}{2}>1, et puisque \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty}, on a \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=+\infty}.
    • Si d=2 nous avons vu dans la question 2 que \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=+\infty}.
    • Si d\geq 3 alors r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{d}\leq\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{5}{6}<1. Et puisque \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}r_{d,n}^n=0} $r_d\in[0;1[$, nous avons :
      \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=\dfrac{2d}{d-2}}.

    Il y a donc 2 cas parmi 6 pour lesquels la suite (u_{d,n}) diverge et 4 cas parmi 6 où elle converge.
    La probabilité que la suite (u_{d,n}) soit convergente est de \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.