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On a :

$r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{d}$

$=$

$\dfrac{d}{2d}+\dfrac{2}{2d}$

$=$

$\dfrac{d+2}{2d}$ .

Correction

Le nombre

$d$ valant

$2$ nous avons donc que

$r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$

$=$

$1$ , et ainsi :

$u_{d,n+1}=r_d u_{d,n}+1$

$=$

$1\times u_{d,n}+1$

$=$

$u_{d,n}+1$ .
La suite

$(u_{2,n})$ estbien arithmétique de raison

$1$ et de premier terme

$u_{2,0}=0$ .

Correction

D'après le cours nous savons que toute suite arithmétique de raison strictement positive diverge vers

$+\infty$ . Ainsi :

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{2,n} = +\infty}$ .

Correction

Initialisation
Pour

$n=0$ , d'une part nous avons que

$u_{d,0}=0$ et d'autre part :

$\begin{array}{rcl} r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} & = & r_d^0\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & \dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{-(2-d)}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{-2+d}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & -\dfrac{2d}{d-2}+\dfrac{2d}{d-2} \ & = & 0.\ \end{array}$
L'égalité est donc vraie au rang

$n=0$ .

Hérédité
Supposons que pour un certain entier

$n\geq0$ :

$u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}.$ Montrons alors que :

$u_{d,n+1} = r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}.$ On a :

$\begin{array}{rcl} u_{d,n+1} & = & r_d u_{d,n}+1 \ & = & r_d\left( r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2} \right)+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+r_d\times\dfrac{2d}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{2d}\times\dfrac{2d}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{d-2}+1 \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2}{d-2}+\dfrac{d-2}{d-2} \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{d+2+d-2}{d-2} \ & = & r_d^{n+1}\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}_\square\ \end{array}$

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier

$n$ :

$u_{d,n} = r_d^n\times\dfrac{2d}{2-d}+\dfrac{2d}{d-2}$ .

Correction

Si $d=1$ alors $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}$ $=$ $\dfrac{3}{2}>1$ , et puisque $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty}$ , on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=+\infty}$ .
Si $d=2$ nous avons vu dans la question 2 que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=+\infty}$ .
Si $d\geq 3$ alors $r_d=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{d}\leq\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{5}{6}<1$ . Et puisque $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}r_{d,n}^n=0}$ $r_d\in[0;1[$ , nous avons :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{d,n}=\dfrac{2d}{d-2}}$ .

Il y a donc 2 cas parmi 6 pour lesquels la suite

$(u_{d,n})$ diverge et 4 cas parmi 6 où elle converge.
La probabilité que la suite

$(u_{d,n})$ soit convergente est de

$\dfrac{4}{6}$

$=$

$\dfrac{2}{3}$ .