--> Épreuve de mathématiques

Terminale S ∼ DST ∼ 2h On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $u_n = \dfrac{2n-1}{4n+3}$.
  1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_8$ . Donner des valeurs sous forme de fraction irréductible.
    2. Remplaçons $n$ par $0$, $1$ et $8$ pour répondre à la question :

    $u_0= \dfrac{2\times0-1}{4\times0+3}$ $=$ $-\dfrac{1}{3}$.

    $u_1= \dfrac{2\times1-1}{4\times1+3}$ $=$ $\dfrac{1}{7}$.

    $u_8= \dfrac{2\times8-1}{4\times8+3}$ $=$ $\dfrac{15}{35}$ $=$ $\dfrac{3}{7}$.
  2. Exprimer en fonction de $p$, sous forme simplifiée : $u_{p+1}$; $u_p+1$ et $u_{2p}$.
    3. $u_{p+1} = \dfrac{2(p+1)-1}{4(p+1)+3}$ $=$ $\dfrac{2p+1}{4p+7}$.

    $u_p+1 = \dfrac{2p-1}{4p+3}+1$ $=$ $\dfrac{2p-1}{4p+3}+\dfrac{4p+3}{4p+3}$ $=$ $\dfrac{6p+2}{4p+3}$.

    $u_{2p}$ $=$ $\dfrac{2(2p)-1}{4(2p)+3}$ $=$ $\dfrac{4p-1}{8p+3}$.
  3. Déterminer $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$.
    4. $\begin{array}{rcl} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} & = & \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{2n-1}{4n+3}} \ & = & \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{2n\left( 1+\frac{1}{2n} \right)}{4n\left( 1+\dfrac{3}{4n}\right)} } \ & = & \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{ 1+\frac{1}{2n}}{2\left( 1+\dfrac{3}{4n}\right)} } \ \end{array}$

    Or $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2n}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{4n}}$ $=$ $0$, ainsi, par quotient de limites :

    $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\dfrac{1+0}{2(1+0)}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.
Le directeur d’une réserve marine a recensé 3000 cétacés dans cette réserve au 1er juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 2000.
Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année : On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1er juin de l’année $2017 + n$. On a donc $u_0 = 3000$.
  1. Justifier que $u_1 = 2926$.
    2. Le nombre de 3000 cétacés, passe à 3080 après l'arrivée des 80 individus entre juin et octobre. Ce nombre diminue alors de 5%. Il est don de : $3080\times0,95$ $=$ $2926$.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95\times u_n+ 76$.
    3. Le nombre de cétacés $u_n$ augmente dans un premier temps de $80$ et passe à $u_n+80$. Il est ensuite diminué de 5% et devient :
    $(u_n+80)\times0,95$ $=$ $0,95u_n+76$.
    On a donc bien : $u_{n+1} = 0,95\times u_n+ 76$.
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.
    A B C D E F G H I
    1 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 7
    2 $u_n$ 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2554
    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
    4. Dans la cellule C2 on peut saisir la formule : = 0.95*B2+76
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq 1520$. On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
    5. Initialisation
    $u_0 = 3000 \geq 1520$. La propriété est bien initialisée.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier $n$: $u_n\geq 1520$.
    Montrons alors que : $u_{n+1}\geq 1520$.

    On a :
    $\begin{array}{rcl} u_n & \geq & 1520 \ 0,95u_n & \geq & 1520\times0,95 \ 0,95u_n & \geq & 1444 \ 0,95u_n+76 &\geq & 1520 \ u_{n+1} & \geq & 1520 \ \end{array}$

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier $n$, $u_n\geq1520$.
  5. On désigne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 1520$.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
      2. On a :
      $\begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & u_{n+1} - 1520 \ & = & 0,95u_n+76-1520 \ & = & 0,95u_n-1444 \ & = & 0,95\left(u_n - \dfrac{1444}{0,95}\right) \ & = & 0,95(u_n-1520) \ & = & 0,95v_n. \end{array}$

      Ainsi la suite $(v_n)$ est bien géométrique raison $0,95$ et de premier terme $v_0 = u_0-1520$ $=$ $3000-1520$ $=$ $1480$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1480 \times 0,95^n + 1520$.
      3. D'après la question précédente nous avons, pour tout entier $n$ : $v_n=v_0\times0,95^n$ $=$ $1480\times0,95^n$.
      De plus $v_n=u_n-1520$ donc $u_n=v_n+1520$ et alors :
      $u_n=1480\times0,95^n+1520$.
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
      4. On a $0,95\in[0;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0,95^n} = 0$ et donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1480\times0,95^n+1520}$ $=$ $1480\times0+1520$ $=$ $1520$.
  6. Compléter sur l'énoncé, l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur strictement à $2000$.
    n $\leftarrow$ 0
    u $\leftarrow$ 3000

    Tant que $\cdots\cdots\cdots$

    6n$\leftarrow$ $\cdots\cdots\cdots$

    6u$\leftarrow$ $\cdots\cdots\cdots$

    Fin de Tant que

    La notation « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « n$\leftarrow$0 » signifie « Affecter à n la valeur 0 ».
    7. n $\leftarrow$ 0
    u $\leftarrow$ 3000

    Tant que u > 2000

    6n$\leftarrow$ n + 1

    6u$\leftarrow$ 0,95×u+76

    Fin de Tant que
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    8. La suite $(u_n)$ converge vers $1520$ en étant décroissante ($0,95\in[0;1[$) donc à partir d'un certain rang tous ses termes seront inférieurs à $2000$. Donc oui, selon ce modèle la réserve devra fermer.
    Pour déterminer l'année de fermeture nous devons calculer les premiers termes de la suite ou exécuter l'algorithme de la question précédente.
    Nous en donnons ici une traduction en langage Python : u = 3000.0 n = 0 while u > 2000: n = n + 1 u = 0.95*u+76 print(2017+n)
    Nous trouvons alors que la réserve devra fermer en 2039.
Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : $$P(z)=z^4-10z^3+38z^2-65z+36.$$
  1. Montrer que pour tout $z\in\mathbb{C}$ on a : $P(z)=(z^2-5z+4)(z^2-5z+9)$.
    2. Pour tout $z\in\mathbb{C}$, on a :
    $\begin{array}{rcl} (z^2-5z+4)(z^2-5z+9) & = & z^4-5z^3+9z^2-5z^3+25z^2-45z+4z^2-20z+36 \ & = & z^4-10z^3+38z^2-65z+36 \ & = & P(z) \end{array}$
  2. En déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$ que l'on écrira sous forme algébrique.
    3. On a :
    $P(z)=0$ $\iff$ $(z^2-5z+4)(z^2-5z+9)=0$ $\iff$ $z^2-5z+4=0$ ou $z^2-5z+9=0$.
    Il nous reste donc à résoudre ces deux équations du second degré.

    Pour $z^2-5z+4=0$ le discrimant $\Delta$ vaut :
    $\Delta = (-5)^2-4\times4\times1$ $=$ $9>0$. Cette équation possède donc deux solutions réelles :
    $z_1 = \dfrac{5-3}{2}$ $=$ $1$ et $z_2 = \dfrac{5+3}{2}$ $=$ $4$.

    Pour $z^2-5z+9=0$ le discrimant $\Delta$ vaut :
    $\Delta = (-5)^2-4\times9\times1$ $=$ $-11<0$. Cette équation possède donc deux solutions complexes conjuguées :
    $z_3 = \dfrac{5-i\sqrt{11}}{2}$ $=$ $\dfrac{5}{2}-i\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ et $z_4 = \dfrac{5+i\sqrt{11}}{2}$ $=$ $\dfrac{5}{2}+i\dfrac{\sqrt{11}}{2}$.

    L'équation $P(z)=0$ possède donc quatre solutions : $1$; $4$; $\dfrac{5}{2}-i\dfrac{\sqrt{11}}{2}$; $\dfrac{5}{2}+i\dfrac{\sqrt{11}}{2}$
  3. Le plan complexe est rapporté au repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ ci-dessous.
    1. Placer les points dont les affixes sont les solutions de l'équation $P(z)=0$.
    2. Quelle est la nature du polygone dont les sommets sont les points de la question précédente ? La réponse sera justifiée.
On considère les points suivants : $A(1;0)$ 2 $B(4;0)$ 2 $C\left(\dfrac{5}{2};-\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$ 2 $D\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$

Calcuons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CB}$ pour vérifier si $ADBC$ est un parallélogramme.

$\overrightarrow{AD}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_D-x_A \ y_D-y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \dfrac{5}{2}-1 \ \dfrac{\sqrt{11}}{2}-0 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \ \dfrac{\sqrt{11}}{2} \end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{CB}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_B-x_C \ y_B-y_C \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 4-\dfrac{5}{2} \ 0+\dfrac{\sqrt{11}}{2} \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \ \dfrac{\sqrt{11}}{2} \end{pmatrix}$.

Le quadrilatère $ADBC$ est donc un parallélogramme. Vérifions si il est un rectangle en calculant les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ et en effectuant un produit scalaire.

$\overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C-x_A \ y_C-y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \dfrac{5}{2}-1 \ -\dfrac{\sqrt{11}}{2}-0 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \ -\dfrac{\sqrt{11}}{2} \end{pmatrix}$.

On a alors :
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$ $=$ $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{11}}{2}\times\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ $=$ $\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{4}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$ $\neq$ $0$.
Le quadrilatère $ADBC$ n'est donc pas un rectangle. Il nous reste à voir si c'est un losange en regardant si deux côtés consécutifs ont la même longueur ou non.
$AD^2=\left( \dfrac{3}{2} \right)^2+\left( \dfrac{\sqrt{11}}{2} \right)^2$ $=$ $\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}$ $=$ $\dfrac{10}{2}$ $=$ $5$.

$AC^2=\left( \dfrac{3}{2} \right)^2+\left( -\dfrac{\sqrt{11}}{2} \right)^2$ $=$ $\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}$ $=$ $\dfrac{10}{2}$ $=$ $5$.

On peut alors conclure que $ADBC$ est un losange.