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TS ∼ DST 10/11/2018
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
la probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,1$ ;
s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ;
s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :
G$_{n}$ l'évènement " le joueur gagne la $n$-ième partie " ;
$p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$·
On a donc $p_{1} = 0,1$.
Partie A - Les premières parties
Montrer que $p_{2} = 0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
Pour les deux premières parties nous avons l'arbre suivant :
Xmin = -10
Xmax = 3
Ymin = -8
Ymax = 8
segment([-9,0],[-5,3])
segment([-9,0],[-5,-3])
texte("G",[-4.8,2.8])
texte("1",[-4.2,2.5],10)
texte("G",[-4.8,-3.2])
texte("1",[-4.2,-3.5],10)
texte("_",[-4.8,-2.1])
segment([-3.8,3.5],[0,5])
segment([-3.8,3],[0,1.5])
segment([-3.8,-3.5],[0,-5])
segment([-3.8,-3],[0,-1.5])
texte("G",[0.5,4.7])
texte("2",[1.1,4.4],10)
texte("G",[0.5,1.3])
texte("2",[1.1,1.1],10)
texte("_",[0.6,2.3],20)
texte("G",[0.5,-5.4])
texte("2",[1.1,-5.7],10)
texte("_",[0.6,-4.3],20)
texte("G",[0.5,-1.7])
texte("2",[1.1,-2.0],10)
texte("0,1",[-8,2])
texte("0,9",[-8,-2])
texte("0,8",[-2.5,5])
texte("0,2",[-2.5,1.5])
texte("0,6",[-2.5,-1.3])
texte("0,4",[-2.5,-5])
Ainsi, d'après la formule des probabilités totales nous avons :
$p_2$ $=$ $0,1\times0,8+0,9\times0,6$ $=$ $0,62$.
Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
La probabilité à déterminer est $P_{G_2}(\overline{G_1})$ :
$P_{G_2}(\overline{G_1})$ $=$ $\dfrac{P( \overline{G_1}\cap G_2 )}{ P(G_2)}$ $=$ $\dfrac{0,9\times0,6}{0,62}$ $\simeq$ $0,8701$.
Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
Nous allons dans un premier temps déterminer la probabilité que le joueur ne gagne aucune partie. C'est-à-dire la probabilité qu'il perde la première, puis la deuxième et la troisième :
$P(\overline{G_1})\times P_{\overline{G_1}}(\overline{G_2})\times P_{\overline{G_2}}(\overline{G_3})$ $=$ $0,9\times0,4\times0,4$ $=$ $0,144$.
Ainsi, l'événement dont on cherche la probabilité étant l'événement contraire de perdre les trois parties, nous avons que la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières est :
$1-0,144$ $=$ $0,856$.
Partie B - Un grand nombre de parties
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$.
D'après la formule des probabilités totales appliquée à l'arbre précédent, nous avons :
$p_{n+1}$ $=$ $P(G_{n+1})$ $=p_n\times0,8+(1-p_n)\times0,6$ $=$ $0,2p_n+0,6$ $=$ $\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par : $u_n=p_n-\dfrac{3}{4}$.
Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et en déduire que pour tout entier $n$ :
$p_{n} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$.
Pour tout entier $n\geq1$, nous avons :
$\begin{array}{rcl}
u_{n+1} & = & p_{n+1}-\dfrac{3}{4} \
& = & \dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{4} \
& = & \dfrac{1}{5}p_n-\dfrac{3}{20} \
& = & \dfrac{1}{5}\left( p_n-\dfrac{3}{10}\times\dfrac{5}{1}\right) \
& = & \dfrac{1}{5}\left(p_n - \dfrac{3}{4}\right) \
& = & \dfrac{1}{5}u_n.
\end{array}$
La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_1 = p_1-\dfrac{3}{4}$ $=$ $\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{4}$ $=$ $-\dfrac{13}{20}$.
Ainsi, pour tout entier $n\geq1$ :
$u_n=-\dfrac{13}{20}\left( \dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$ $=$ $-\dfrac{13}{4}\times\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$ $=$ $-\dfrac{13}{4}\left( \dfrac{1}{5}\right)^{n}$.
De plus, $u_n=p_n-\dfrac{3}{4}$ et donc $p_n=u_n+\dfrac{3}{4}$ $=$ $\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left( \dfrac{1}{5}\right)^{n}$.
Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
Nous avons que $\dfrac{1}{5}\in[0;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( \dfrac{1}{5}\right)^{n}}$ $=$ $0$.
Ainsi, par somme de limites :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} p_n }$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left( \dfrac{1}{5}\right)^{n} }$ $=$ $\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\times0$ $=$ $\dfrac{3}{4}$.
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}-2x^{2}-3x-2$.
Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
Étudions tout d'abord les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{3}-2x^{2}-3x-2}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{3}}$ $=$ $-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{3}-2x^{2}-3x-2}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{3}}$ $=$ $+\infty$.
Étudions ensuite les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=3x^2-4x-3$, dont le discriminant $\Delta$ vaut $\Delta=(-4)^2+4\times3\times3$ $=$ $52$ $=$ $2^2\times13$.
La dérivée $f'$ possède donc deux racines : $\dfrac{4-2\sqrt{13}}{6}$ $=$ $\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}$ et $\dfrac{2+\sqrt{13}}{3}$.
On peut alors dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Ainsi, sur l'intervalle $\left]-\infty;\dfrac{2+\sqrt{13}}{3}\right]$ la fonction $f$ est strictement négative et ne s'annule pas.
Par ailleurs sur l'intervalle : $\left[\dfrac{2+\sqrt{13}}{3};+\infty\right[$ :
la fonction $f$ est continue en tant que fonction polynomiale,
la fonction $f$ est strictement croissante,
$f\left( \dfrac{2+\sqrt{13}}{3} \right)\simeq-8,07<0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $+\infty$.
Ainsi, d'après le théorème de la bijection l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\dfrac{2+\sqrt{13}}{3};+\infty\right[$ et par extension sur $\mathbb{R}$.
Justifier que cette solution $\alpha$ appartient à l'intervalle $[3;4]$.
Nous avons que $f(3)=-2$ et $f(4)=18$. Ainsi $\alpha\in[3;4]$.
Quelle valeur est affichée en sortie de l'algorithme suivant ?
$x\xleftarrow{}3$
Tant que $x^{3}-2x^{2}-3x-2<0$
5$ x \xleftarrow{}x+0,1 $
Fin Tant que
Afficher $x$
L'algorithme affiche la valeur $3,2$. En effet : $f(3)=-2<0$; $f(3,1)=-0,729<0$; $f(3,2)=0,688>0$.
Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche une valeur approchée par défaut à un centième de $\alpha$.
$x\xleftarrow{}3$
Tant que $x^{3}-2x^{2}-3x-2<0$
5$ x \xleftarrow{}x+0,01 $
Fin Tant que
Afficher $x$
Application :
x = 3
while(x*x*x-2*x*x-3*x-2<0){
x = x + 0.01
}
afficher(x)
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte 1,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
L'équation $(z-1)(z^2+2z+6)=0$ :
$\square$ possède une unique solution réelle et deux solutions complexes non réelles.
$\square$ possède une solution imaginaire pure.
$\square$ possède trois solutions réelles.
$\square$ possède trois solutions complexes non réelles.
D'après la règle du produit nulle $(z-1)(z^2+2z+6)=0$ $\iff$ $z-1=0$ ou $z^2+2z+6=0$.
La première équation nous donne $z=1$, et pour avoir des informations sur les solutions de la deuxième il nous faut calculer son discriminant qui vaut $2^2-4\times6=-20<0$.
Ainsi l'équation une solution réelle $1$, et deux solutions complexes conjuguées : $\dfrac{-2-i\sqrt{20}}{2}$ $=$ $-1-i\sqrt{5}$ et $-1+i\sqrt{5}$.
C'est donc la première proposition qui est correcte.
Le nombre complexe $z=\dfrac{1+3i}{3-i}$ :
$\square$ a pour partie imaginaire $0$.
$\square$ a pour partie imaginaire $-i$.
$\square$ a pour partie imaginaire $1$.
$\square$ a pour partie imaginaire $i$.
Déterminons l'écriture algébrique du nombre $z$.
$\begin{array}{rcl}
z & = & \dfrac{1+3i}{3-i} \
& = & \dfrac{(1+3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} \
& = & \dfrac{3+i+9i+3i^2}{10} \
& = & i.
\end{array}$
Le nombre $z$ a donc pour partie réelle $0$ et partie imaginare $1$. C'est la troisième réponse qui est correcte.
Soit $z_1=2-5i$. On sait que le nombre complexe $z_2$ est tel que $z_1\times \overline{z_2}$ est un nombre réel. Auquel de ces nombres
$z_2$ est-il égal ?
$\square$ $z_2=100$.
$\square$ $z_2=1+i$.
$\square$ $z_2=4-10i$.
$\square$ $z_2=2+5i$.
Nous savons que pour tout nombre complexe $z$ : $z\times\overline{z}$ $\in\mathbb{R}$. Or la troisième proposition est telle que $z_2 = 2z_1$ et ainsi :
$z_1\times\overline{4-10i}$ $=$ $(2-5i)(4+10i)=58$ $\in\mathbb{R}$.
La troisième réponse est correcte.