--> DST ∼ 04/12/2018 34 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Dans l'espace, rapportée à un repère orthonormal, on considère les points A$(1~;~- 1~;~- 1)$, $B(1;~1~;~1)$, $C(0~;~3~;~1)$ et le plan $\mathcal{P}$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&-1 - \phantom{2}t \ y&=& -1 + \phantom{2}t+ \phantom{2}t'\ z&=& \phantom{-}2 - t - t' \end{array}\right. t, t' \in \mathbb{R}$.

Question 1
Soit $\mathcal{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(2~;~-1~;~1)$ passant par A.
Une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est :
a. $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t \ y&=&- 1 - t\ z&=&1 - t \end{array}\right. \quad, t \in \mathbb{R}$

b. $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&- 1 + 2t \ y&=&1 - \phantom{2}t\ z&=&1 + \phantom{2}t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$

c. $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&5 + 4t \ y&=&- 3 - 2t\ z&=&1 + 2t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$

d. $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{-}4 - 2t \ y&=&- 2 + t\ z&=&\phantom{-}3 - 4 t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$ En regardant les vecteurs directeurs de chacune des droites définies par les paramétrisations données, nous remarquons que seules les paramétrisations b ou c peuvent convenir.
En effet un vecteur directeur donné par la paramétrisation b est $\begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1\end{pmatrix}$ $=$ $\vec{u}$ et un par c est $\begin{pmatrix} 4 \ -2 \ 2\end{pmatrix}$ $=$ $2\vec{u}$.
Il nous reste à vérifier laquelle de ces deux paramétrisations définies une droite passant par $A(1;-1;-1)$.
Pour la paramétrisation b, puisque pour les abscisses nous avons $x=2+t$, il faut nécessairement que $t=-1$ pour obtenir $x=1$. Regardons si cette valeur de $t$ nous fournit l'ordonnée et la cote de $A$.
Pour l'ordonnée : $y=1-t=1-(-1)=2$ $\neq$ $y_A$.
Ainsi, la représentation paramétrique b n'est pas celle de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$. Puisqu'il y a une unique proposition correcte, c'est nécessairement la réponse c (on pourrait vérifier tout de même que pour $t=-1$ on obtient bien les coordonnées de $A$).

Question 2

Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&\phantom{-}1 + \phantom{2}t \ y&=&- 3 - \phantom{2}t\ z&=&\phantom{-}2 - 2 t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$.
a. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants
b. La droite $\mathcal{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
c. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$.
d. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{22}{3} \right)$.
On pourrait chercher à déterminer la position relative de $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{P}$ en résolvant un système de trois équations à trois inconnues en identifiant les paramétrisations (et en changeant le $t$ utilisé dans la paramétrisation de $\mathcal{D}_{2}$ en $s$ par exemple), mais puisque les propositions c et d nous fournissent d'éventuels candidats pour des points d'intersection, autant vérifier si ceux-ci appartiennent ou non à la droite et/ou au plan.
Regardons si le point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$ est un point de $\mathcal{D}_{2}$.
Pour les abscisses, il faut $x = 1+t = \dfrac{1}{3}$ $\iff$ $t=-\dfrac{2}{3}$.

Vérifions pour l'ordonnée en remplaçant $t$ par $-\dfrac{2}{3}$ : $y = -3-t$ $=$ $-3-\left( -\dfrac{2}{3} \right)$ $=$ $-\dfrac{7}{3}$ $=$ $y_E$.
Vérifions pour la cote : $z=2-2t$ $=$ $2-2\times\left( -\dfrac{2}{3} \right)$ $=$ $\dfrac{10}{3}$ $=$ $z_E$.
Le point E est donc un point de $\mathcal{D}_{2}$.

Vérifions si il appartient à $\mathcal{P}$.
Pour l'abscisse : $-1-t=\dfrac{1}{3}$ $\iff$ $t=-\dfrac{4}{3}$.
Pour l'ordonnée : $-1-\dfrac{4}{3}+t'=-\dfrac{7}{3}$ $\iff$ $t'=0$.
Pour la cote : $z=2-t-t'$ $=$ $2-\left( -\dfrac{4}{3}\right)-0$ $=$ $\dfrac{10}{3}$ $=$ $z_E$.

Ainsi le point $E$ est un point de $\mathcal{D}_{2}$ et de $\mathcal{P}$. Il nous reste à vérfier que la droite et le plan sont sécants et non que la droite est incluse dans le plan. Pour cela prenons un point de $\mathcal{D}_2$, en remplaçant $t$ par $0$ et regardons si il appartient ou non à $\mathcal{P}$. Point de $\mathcal{D}_2$ obtenu en remplaçant $t$ par $0$ : $(-1;-3;2)$.
Vérifions si ce point appartient à $\mathcal{P}$ :
Pour l'abscisse : $-1+t = -1$ $\iff$ $t=0$.
Pour l'ordonnée : $-1+0+t'=-3$ $\iff$ $t'=-2$.
Pour la cote : $z=2-t-t'$ $=$ $2-0-(-2)$ $=$ $4$ $\neq2$.

Ainsi, il exise un point de $\mathcal{D}_{2}$ qui ne ne soit pas dans $\mathcal{P}$. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont donc sécants en E. La réponse correcte est la c.

Question 3

a. L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point.
b. Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus.
c. Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite.
d. Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles.
Soient $\vec{u_1}\begin{pmatrix} -1 \1\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v_1}\begin{pmatrix} 0 \1\-1\end{pmatrix}$ deux vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$, déterminés à l'aide de la paramétrisation donnée de ce plan.
Regardons si $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \y_B-y_A\z_B-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0\2\2\end{pmatrix}$, $\vec{u_1}$ et $\vec{v_1}$ sont coplanaires ou non, c'est-à-dire, regardons si il existe $\lambda$ et $\mu$ tels que : $\overrightarrow{AB} = \lambda \vec{u_1}+\mu \vec{v_1}$ :

$\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & = & -\lambda+0\times\mu \ 2 & = & \lambda+\mu\ 2 & = & -\lambda-\mu\ \end{array}\right.$ $\iff$ $\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda &= & 0 \ \mu &= & 2\ 2 & = & -2\ \end{array}\right.$
La dernière égalité de ce système étant fausse, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u_1}$ et $\vec{v_1}$ ne sont pas coplanaires. Ainsi la droite $(AB)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants, ce qui implique que le plan $(ABC)$ et le plan $\mathcal{P}$ le sont également.
La réponse correcte est la c.

Question 4
Soit $\vec{v}(2;-1;1)$.
a. $\vec{AB}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
b. $\vec{AC}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
c. $\vec{v}(2~;~-1~;~1)$, $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ sont coplanaires.
d. D$(1~;~- 1~;~- 1)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
Coordoonées de $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \y_C-y_A\z_C-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -1\4\2\end{pmatrix}$.
Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0\2\2\end{pmatrix}$.
Coordonnées de $\vec{v}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2\-1\1\end{pmatrix}$.
Nous voyons clairement que $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires ($z_{\overrightarrow{AB}}=2z_{\vec{v}}$ alors que $y_{\overrightarrow{AB}}\neq2y_{\vec{v}}$), ni $\overrightarrow{AC}$ et $\vec{v}$ ($z_{\overrightarrow{AC}}=2z_{\vec{v}}$ alors que $y_{\overrightarrow{AC}}\neq2y_{\vec{v}}$).
Les propositions a et b sont donc fausses. Il est plus simple maintenant de vérifier la proposition que la c.

Pour voir si le point D$(1;- 1~;- 1)$ appartient à $\mathcal{P}$, dont une paramétrisation est $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&-1 - \phantom{2}t \ y&=& -1 + \phantom{2}t+ \phantom{2}t'\ z&=& \phantom{-}2 - t - t' \end{array}\right. t, t' \in \mathbb{R}$, il nous faut regarder comme dans les question précédentes, coordonnées par coordonnées :

En abscisse : $-1-t=1$ $\iff$ $t=2$.
En ordonnée : $-1+2+2t'=-1$ $\iff$ $2t'=-2$ $\iff$ $t'=-1$.
Remplaçons $t$ et $t'$ respectivement par $2$ et $-1$ dans l'expression de la cote pour voir si on obtient ou non $-1$.
$z=2-t-'$ $=$ $2-2-(-1)$ $=$ $1$ $\neq$ $-1$.

Ainsi le point D n'appartient pas à $\mathcal{P}$. Par élimination on en déduit que la réponse correcte est la c. 3 4 points Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 30 €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :
$\bullet~~$ 80% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30€. Parmi eux :

• 40% paient en espèces;
• 40% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
• les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.

$\bullet~~$ 20% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30 €. Parmi eux :

• 70% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
• les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

On considère les évènements suivants :

$\bullet~~$ $V$ : "pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30€" ;
$\bullet~~$ $E$ : "pour son achat, le client a réglé en espèces";
$\bullet~~$ $C$ : "pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret" ;
$\bullet~~$ $S$ : "pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact".

1. 1. Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.
   D'après l'énoncé : $P(V)=0,8$ et $P_V(S)=0,4$.
   2. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
   Xmin = -11 Xmax = 5 A0 = [-10,0] B0 = [-5,5] B0b = [-4,5.4] B1 = [-5,-5] B1b = [-4,-5.1] segment(A0,B0) segment(A0,B1) texte("V",[-4.8,4.8]) texte("V",[-4.8,-5.4]) texte("_",[-4.75,-4.4]) C0 = [2,9] C1 = [2,5.4] C2 = [2,1.8] segment(B0b,C0) segment(B0b,C1) segment(B0b,C2) C3 = [2,-1] C4 = [2,-8.5] segment(B1b,C3) segment(B1b,C4) texte("E",[2.3,8.8]) texte("C",[2.3,5.1]) texte("S",[2.3,1.3]) texte("E",[2.3,-1.1]) texte("C",[2.3,-8.8]) couleur = bleu texte("0,8",[-8.5,3.8]) texte("0,2",[-8.5,-3.8]) texte("0,4",[-1,8.1]) texte("0,2",[-1,5.9]) texte("0,4",[-1,3.7]) texte("0,3",[-1,-2.1]) texte("0,7",[-1,-8.3])
2. 1. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$ € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
   On cherche $P(V\cap S)$.
   D'après l'arbre :
   $P(V\cap S)$ $=$ $0,8\times0,4$ $=$ $0,32$.
   2. Montrer que la probabilité de l'évènement: "pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes" est égale à $0,62$.
   $\begin{array}{rcl} P(C\cup S) & = & P(V\cap C)+P(V\cap S)+P(\overline{V}\cap C) \ & = & 0,8\times0,2 + 0,8\times0,4+0,2\times0,7\ & = & 0,62. \ \end{array}$
3. Un client sort de cette boutique en affirmant qu'il a réglé ses achats en espèces. Quelle est la probabilité que le montant dépensé soit strictement inférieur à 30 € ?
On cherche ici $P_E(V)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$P_E(V)$ $=$ $\dfrac{P(V\cap E)}{P(E)}$ $=$ $\dfrac{0,8\times0,4}{1-0,62}$ $\simeq$ $0,8421$.

32 points Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=65$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,8u_n+18$.
En s'aidant de la suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n=u_n-90$, déterminer en justifiant chacune de vos étapes, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$. Démontrons tout d'abord que la suite $(v_n)$ est géométrique.
$\begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & u_{n+1}-90 \ & = & 0,8u_n+18-90 \ & = & 0,8u_n-72 \ & = & 0,8\left( u_n - \dfrac{72}{0,8}\right) \ & = & 0,8(u_n-90) \ & = & v_n.\ \end{array}$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-90$ $=$ $65-90$ $=$ $-25$.
Ainsi, pour tout entier $n$, $v_n=-25\times 0,8^n$.
Et puisque $vn=u_n-90$, on a $u_n=v_n+90$ et $u_n=-25\times0,8^n+90$.
Or, $0,8\in[0;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0,8^n}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-25\times0,8^n+90}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-25\times0+90}$ $=$ $90$. 3 2 points Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants. Prouver que $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. Les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers donc :
$P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = P(B)$.
Ainsi :
$P(\overline{A}\cap B) = P(B) - P(A\cap B)$.
Or $A$ et $B$ sont indépendants donc, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ et
$\begin{array}{rcl} P(\overline{A}\cap B) & = & P(B) - P(A)\times P(B) \ & = & P(B)(1-P(A)) \ & = & P(B)\times P(\overline{A}) \ \end{array}$
Nous pouvons alors conclure que $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants. 3 2 points Soient $f$ et $g$, deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{3x^2 +7}$ et $g(x)={(2x-1)}^{5}$. Calculer leurs dérivées respectives sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x^2 +7$ et $u'(x)=6x$.
Ainsi : $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ $=$ $\dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+7}}$ $=$ $\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+7}}$.

La fonction $g$ est de la forme $u^5$ avec $u(x)=2x-1$ et $u'(x)=2$.
Ainsi : $g'(x)=5\times2(2x-1)^4$ $=$ $10(2x-1)^4$.