En regardant les vecteurs directeurs de chacune des droites définies par les paramétrisations données, nous remarquons que seules les paramétrisations b ou c peuvent convenir.
En effet un vecteur directeur donné par la paramétrisation b est $\begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1\end{pmatrix}$ $=$ $\vec{u}$ et un par c est $\begin{pmatrix} 4 \ -2 \ 2\end{pmatrix}$ $=$ $2\vec{u}$.
Il nous reste à vérifier laquelle de ces deux paramétrisations définies une droite passant par $A(1;-1;-1)$.
Pour la paramétrisation b, puisque pour les abscisses nous avons $x=2+t$, il faut nécessairement que $t=-1$ pour obtenir $x=1$. Regardons si cette valeur de $t$ nous fournit l'ordonnée et la cote de $A$.
Pour l'ordonnée : $y=1-t=1-(-1)=2$ $\neq$ $y_A$.
Ainsi, la représentation paramétrique b n'est pas celle de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$. Puisqu'il y a une unique proposition correcte, c'est nécessairement la réponse c $on pourrait vérifier tout de même que pour $t=-1$ on obtient bien les coordonnées de $A$$.

On pourrait chercher à déterminer la position relative de $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{P}$ en résolvant un système de trois équations à trois inconnues en identifiant les paramétrisations $et en changeant le $t$ utilisé dans la paramétrisation de $\mathcal{D}_{2}$ en $s$ par exemple$, mais puisque les propositions c et d nous fournissent d'éventuels candidats pour des points d'intersection, autant vérifier si ceux-ci appartiennent ou non à la droite et/ou au plan.
Regardons si le point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$ est un point de $\mathcal{D}_{2}$.
Pour les abscisses, il faut $x = 1+t = \dfrac{1}{3}$ $\iff$ $t=-\dfrac{2}{3}$.

Vérifions pour l'ordonnée en remplaçant $t$ par $-\dfrac{2}{3}$ : $y = -3-t$ $=$ $-3-\left( -\dfrac{2}{3} \right)$ $=$ $-\dfrac{7}{3}$ $=$ $y_E$.
Vérifions pour la cote : $z=2-2t$ $=$ $2-2\times\left( -\dfrac{2}{3} \right)$ $=$ $\dfrac{10}{3}$ $=$ $z_E$.
Le point E est donc un point de $\mathcal{D}_{2}$.

Vérifions si il appartient à $\mathcal{P}$.
Pour l'abscisse : $-1-t=\dfrac{1}{3}$ $\iff$ $t=-\dfrac{4}{3}$.
Pour l'ordonnée : $-1-\dfrac{4}{3}+t'=-\dfrac{7}{3}$ $\iff$ $t'=0$.
Pour la cote : $z=2-t-t'$ $=$ $2-\left( -\dfrac{4}{3}\right)-0$ $=$ $\dfrac{10}{3}$ $=$ $z_E$.

Ainsi le point $E$ est un point de $\mathcal{D}_{2}$ et de $\mathcal{P}$. Il nous reste à vérfier que la droite et le plan sont sécants et non que la droite est incluse dans le plan. Pour cela prenons un point de $\mathcal{D}_2$, en remplaçant $t$ par $0$ et regardons si il appartient ou non à $\mathcal{P}$. Point de $\mathcal{D}_2$ obtenu en remplaçant $t$ par $0$ : $(-1;-3;2)$.
Vérifions si ce point appartient à $\mathcal{P}$ :
Pour l'abscisse : $-1+t = -1$ $\iff$ $t=0$.
Pour l'ordonnée : $-1+0+t'=-3$ $\iff$ $t'=-2$.
Pour la cote : $z=2-t-t'$ $=$ $2-0-(-2)$ $=$ $4$ $\neq2$.

Ainsi, il exise un point de $\mathcal{D}_{2}$ qui ne ne soit pas dans $\mathcal{P}$. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont donc sécants en E. La réponse correcte est la c.

Soient $\vec{u_1}\begin{pmatrix} -1 \1\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v_1}\begin{pmatrix} 0 \1\-1\end{pmatrix}$ deux vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$, déterminés à l'aide de la paramétrisation donnée de ce plan.
Regardons si $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \y_B-y_A\z_B-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0\2\2\end{pmatrix}$, $\vec{u_1}$ et $\vec{v_1}$ sont coplanaires ou non, c'est-à-dire, regardons si il existe $\lambda$ et $\mu$ tels que : $\overrightarrow{AB} = \lambda \vec{u_1}+\mu \vec{v_1}$ :

$\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & = & -\lambda+0\times\mu \ 2 & = & \lambda+\mu\ 2 & = & -\lambda-\mu\ \end{array}\right.$ $\iff$ $\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda &= & 0 \ \mu &= & 2\ 2 & = & -2\ \end{array}\right.$
La dernière égalité de ce système étant fausse, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u_1}$ et $\vec{v_1}$ ne sont pas coplanaires. Ainsi la droite $(AB)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants, ce qui implique que le plan $(ABC)$ et le plan $\mathcal{P}$ le sont également.
La réponse correcte est la c.

Coordoonées de $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \y_C-y_A\z_C-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -1\4\2\end{pmatrix}$.
Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0\2\2\end{pmatrix}$.
Coordonnées de $\vec{v}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2\-1\1\end{pmatrix}$.
Nous voyons clairement que $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires $$z_{\overrightarrow{AB}}=2z_{\vec{v}}$ alors que $y_{\overrightarrow{AB}}\neq2y_{\vec{v}}$$, ni $\overrightarrow{AC}$ et $\vec{v}$ $$z_{\overrightarrow{AC}}=2z_{\vec{v}}$ alors que $y_{\overrightarrow{AC}}\neq2y_{\vec{v}}$$.
Les propositions a et b sont donc fausses. Il est plus simple maintenant de vérifier la proposition que la c.

Pour voir si le point D$(1;- 1~;- 1)$ appartient à $\mathcal{P}$, dont une paramétrisation est $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&-1 - \phantom{2}t \ y&=& -1 + \phantom{2}t+ \phantom{2}t'\ z&=& \phantom{-}2 - t - t' \end{array}\right. t, t' \in \mathbb{R}$, il nous faut regarder comme dans les question précédentes, coordonnées par coordonnées :

En abscisse : $-1-t=1$ $\iff$ $t=2$.
En ordonnée : $-1+2+2t'=-1$ $\iff$ $2t'=-2$ $\iff$ $t'=-1$.
Remplaçons $t$ et $t'$ respectivement par $2$ et $-1$ dans l'expression de la cote pour voir si on obtient ou non $-1$.
$z=2-t-'$ $=$ $2-2-(-1)$ $=$ $1$ $\neq$ $-1$.

Ainsi le point D n'appartient pas à $\mathcal{P}$. Par élimination on en déduit que la réponse correcte est la c.

Démontrons tout d'abord que la suite $(v_n)$ est géométrique.
$\begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & u_{n+1}-90 \ & = & 0,8u_n+18-90 \ & = & 0,8u_n-72 \ & = & 0,8\left( u_n - \dfrac{72}{0,8}\right) \ & = & 0,8(u_n-90) \ & = & v_n.\ \end{array}$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-90$ $=$ $65-90$ $=$ $-25$.
Ainsi, pour tout entier $n$, $v_n=-25\times 0,8^n$.
Et puisque $vn=u_n-90$, on a $u_n=v_n+90$ et $u_n=-25\times0,8^n+90$.
Or, $0,8\in[0;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0,8^n}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-25\times0,8^n+90}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-25\times0+90}$ $=$ $90$.

Les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers donc :
$P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = P(B)$.
Ainsi :
$P(\overline{A}\cap B) = P(B) - P(A\cap B)$.
Or $A$ et $B$ sont indépendants donc, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ et
$\begin{array}{rcl} P(\overline{A}\cap B) & = & P(B) - P(A)\times P(B) \ & = & P(B)(1-P(A)) \ & = & P(B)\times P(\overline{A}) \ \end{array}$
Nous pouvons alors conclure que $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x^2 +7$ et $u'(x)=6x$.
Ainsi : $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ $=$ $\dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+7}}$ $=$ $\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+7}}$.

La fonction $g$ est de la forme $u^5$ avec $u(x)=2x-1$ et $u'(x)=2$.
Ainsi : $g'(x)=5\times2(2x-1)^4$ $=$ $10(2x-1)^4$.