--> TS ∼ DST 25/05/2019 Exercice 1 Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO2_2) à débit constant.
Dans ce qui suit, tt est le temps exprimé en minute.
À l'instant t=0t = 0, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant 2020 minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO2_2 contenu dans le local au bout de tt minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression f(t)f(t), où ff est la fonction définie pour tout réel tt de l'intervalle [0;20] par : f(t)=(0,8t+0,2)e−0,5t+0,03.f(t) = (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;20].
Ainsi, la valeur f(0)=0,23f(0) = 0,23 traduit le fait que le taux de CO2_2 à l'instant 00 est égal à 23%.
tt 00 1,751,75 2020 f′(t)f'(t) ++ 0 −- f(t)f(t) croissante décroissante 0,23
tt001,751,752020
f′(t)f'(t)++0−-
f(t)f(t)
0,23

  1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
    1. Calculer f(20)f (20).
      2. Correction
      f(20)f(20) == (0,8×20+0,2)e−0,5×20+0,03(0,8\times20+0,2)\text{e}^{-0,5\times20}+0,03 ≃\simeq 0,0310,031.
      Au bout de 20 minutes, le taux est de 3,13,1%.
      ✕
    2. Déterminer le taux maximal de CO2_2 présent dans le local pendant l'expérience.
      3. Correction
      D'après le tableau de variation le taux de CO2_2 est maximal pour t=1,75t=1,75 et il vaut : f(1,75)f(1,75) ≃\simeq 0,6970,697.
      Le taux maximal est donc d'environ 69,769,7%.
      ✕
  2. On souhaite que le taux de CO2_2 dans le local retrouve une valeur VV inférieure ou égale à 3,53,5%.
    1. Justifier qu'il existe un unique instant TT satisfaisant cette condition.
      2. Correction
      La fonction ff est continue sur l'intervalle [0;20][0;20]. D'après le tableau de variation, sa valeur minimale est f(20)≃0,031f(20) \simeq 0,031 et sa valeur maximale est f(1,75)f(1,75) ≃\simeq 0,6970,697. Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe bien un réel TT tel que F(T)=0,035F(T)=0,035 soit 3,53,5%.
      ✕
    2. On considère l'algorithme suivant :
      t←1,75t \gets 1,75
      p←0,1p \gets 0,1
      V←0,7V \gets 0,7
      Tant que V>0,035V > 0,035
          t←t+pt \gets t + p
          V←(0,8t+0,2)e−0,5t+0,03V \gets (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03
      Fin Tant que
      Quelle est la valeur de la variable tt à la fin de l'algorithme ?
      Correction
      On effectue les calculs successifs à la calculatrice f(1,75)f(1,75), f(1,85)f(1,85), f(1,95)f(1,95) etc. jusqu'à obtenir pour la première fois un résultat inférieur 0,0350,035.
      Celui-ci correspond f(15,75)f(15,75), donc la valeur finale de tt est 15,7515,75.
      ✕
      Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
      Correction
      Cette valeur correspond à une valeur approchée du premier instant où le taux de CO2_2 est inférieur à 3,53,5%. C'est-à-dire après 15,75 minutes, soit 15 minutes et 75 secondes.
      ✕
  3. On désigne par VmV_m le taux moyen ( en pourcentage) de CO2_2 présent dans le local pendant les 1111 premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
    1. Soit FF la fonction définie sur l'intervalle [0;11] par : F(t)=(−1,6t−3,6)e−0,5t+0,03t.F(t) = (-1,6t -3,6)\text{e}^{-0,5t} + 0,03t. Montrer que la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0;11].
      2. Correction
      Il nous faut ici dériver la fonction FF et montrer que pour tout réel tt de [0;11], F′(t)=f(t)F'(t)=f(t).
      Or, nous avons que FF est de la forme u×v+wu\times v +w avec :

      u(t)=−1,6t−3,6u(t) = -1,6t-3,6 et u′(t)=−1,6u'(t)=-1,6
      v(t)=e−0,5tv(t)=\text{e}^{-0,5t} et v′(t)=−0,5e−0,5tv'(t)=-0,5\text{e}^{-0,5t}
      w(t)=0,03tw(t)=0,03t et w′(t)=0,03w'(t)=0,03

      Ainsi, nous avons :

      $\begin{array}{rcl} F'(t) & = & u'(t)v(t)+v'(t)u(t)+w'(t) \ & = & -1,6\text{e}^{-0,5t}-0,5\text{e}^{-0,5t}(-1,6t-3,6)+0,03 \ & = & \text{e}^{-0,5t}(-1,6-0,5(-1,6t-3,6))+0,03 \ & = & \text{e}^{-0,5t}(-1,6+0,8t+1,8)+0,03 \ & = & \text{e}^{-0,5t}(0,8t+0,2)+0,03 \ & = & f(t). \ \end{array}$
      La fonction FF est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0;11].
      ✕
    2. En déduire le taux moyen VmV_m, valeur moyenne de la fonction ff sur l'intervalle [0;11]. Arrondir le résultat au millième, soit à 0,10,1%.
      3. Correction
      Nous avons que :

      $\begin{array}{rcl} V_m & = & \displaystyle{\dfrac{1}{11-0}\int_0^11 f(t)\text{d}t } \ & & \ & = & \displaystyle{ \dfrac{1}{11}\left[ F(t) \right]_0^11 } \ & & \ & = & \dfrac{1}{11}\left( F(11) - F(0) \right) \ & & \ & = & \dfrac{1}{11}\left( -21,2\text{e}^{-5,5}+0,33 +3,6 \right) \ & & \ & \simeq & 0,349 \ \end{array}$

      La valeur moyenne du taux est donc de 34,934,9%.
      ✕
Exercice 2 Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, à 10−310^{-3}.

Partie A
Elsa a préparé un grand saladier de billes de chocolat pour son anniversaire.
On y trouve : Un invité prend une bille de chocolat au hasard dans le saladier. On définit les évènements suivants:
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
    2. Correction
    B
    B
    –
    C
    C
    –
    C
    –
    C
    0,4
    0,6
    0,6
    0,4
    0,7
    0,3
    ✕
  2. Montrer que la probabilité que l'invité prenne une bille fourrée au café vaut 0,660,66.
    3. Correction
    D'après la formule des probabilités totales, nous avons :

    P(C)=0,4×0,6+0,6×0,7P(C) = 0,4\times0,6+0,6\times0,7 == 0,660,66.
    ✕
  3. Sachant que la bille est fourrée au café, quelle est la probabilité que l'invité ait pris une bille au chocolat blanc ?
    4. Correction
    Il nous faut calculer ici PC(B)P_C(B).

    PC(B)=P(B∩C)P(C)P_C(B) = \dfrac{P(B\cap C)}{P(C)} == 0,4×0,60,66\dfrac{0,4\times0,6}{0,66} ≃\simeq 0,3640,364.
    ✕
Partie B
La société Chococéan commercialise des bonbons au chocolat, qui sont conditionnés en paquets d'environ 250250 g par une machine. La réglementation exige qu'un tel paquet de bonbons au chocolat ait une masse supérieure à 247,5247,5 g.
La dirigeante de l'entreprise constate que, lorsqu'on prélève au hasard un paquet de bonbons au chocolat dans la production, sa masse, en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire X1X_1 qui suit une loi normale d'espérance μ1=251\mu_1 = 251 et d'écart-type σ=2\sigma = 2.
  1. Calculer la probabilité qu'un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation.
    2. Correction
    On doit calculer ici P(X≥247,5)P(X\geq 247,5). À la calculatrice nous obtenons (normalFrep(247.5,10^99,251,2) :

    P(X≥247,5)≃0,960P(X\geq 247,5) \simeq 0,960.
    ✕
  2. La dirigeante souhaiterait que 98% des paquets soient conformes à la réglementation.
    Cela nécessite un nouveau réglage de la machine, afin que la masse, en grammes, du paquet prélevé au hasard soit modélisée par une variable aléatoire X2X_2 qui suit une loi normale d'espérance μ2\mu_2 inconnue et d'écart-type σ=2\sigma = 2.
    Déterminer la valeur de μ2\mu_2 répondant au souhait de la dirigeante.
    3. Correction
    On souhaite que P(X2≥247,5)=0,98P(X_2\geq 247,5)=0,98. C'est-à-dire :

    $\begin{array}{rcl} P(X_2\geq 247,5) & = & 0,98 \ P(X_2 < 247,5 ) & = & 0,02 \ P(X_2-\mu_2 < 247,5-\mu_2 ) & = & 0,02 \ P\left( \dfrac{X_2-\mu_2}{2} < \dfrac{247,5-\mu_2}{2} \right) & = & 0,02 \ \end{array}$

    Or, la variable aléatoire X2−μ22\dfrac{X_2-\mu_2}{2} suit la loi normale centrée réduite, et donc à la calculatrice, à l'aide de FracNormal, on obtient :

    $\begin{array}{rcl} \dfrac{247,5-\mu_2}{2} & \simeq & -2,054 \ 247,5-\mu_2 & \simeq & -4,108 \ \mu_2 & \simeq & 251,608. \end{array}$
    ✕

Partie C
La société procède à un réglage de la machine. La dirigeante affirme que désormais 98% des paquets produits sont conformes à la réglementation.
Une association de consommateurs fait peser 256256 paquets de bonbons au chocolat et en dénombre 248248 qui sont conformes à la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de la dirigeante ? Justifier la réponse.
Correction
Supposons que la dirigeante dit vrai. On peut alors déterminer l'intervalle de fluctuation d'échantillonnage asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de paquets conformes dans un échantillon de taille 256.

On pose : n=256n=256 et p=0,98p=0,98.

On a bien que n≥30n\geq30, n×p=250,88>5n\times p = 250,88>5 et n×(1−p)=5,12>5n\times(1-p)=5,12>5.

L'intervalle cherché est donc :

I=[p−1,96p(1−p)n;p+1,96p(1−p)n]I= \left[ p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \right]
I=[0,962;0,998]I = [0,962 ; 0,998] La fréquence de paquets conformes trouvée par l'association de consommateur est de 248256\dfrac{248}{256} ≃\simeq 0,9690,969 et se trouve bien dans II.

Le contrôle ne permet donc pas de remettre en cause l'affirmation de la dirigeante de l'entreprise.
✕
Exercice 3 Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes.
Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) d'unité 100100 mètres.
Le plan (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point M(x ; y ; z)M(x~;~y~;~z) avec z<0z < 0 se situe dans l'océan.
La modélisation des spécialistes établit que :
• la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite D1\mathcal{D}_1 dont une représentation paramétrique est : $$\left\{\begin{array}{l c r} x &=&3+t\ y &=&6t\ z &=&- 3t \end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;$$
• la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite D2\mathcal{D}_2 dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&10k\ y&=&2 + 6k\ z&=&- 4k \end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;$$
  1. Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île.
    2. Correction
    Démontrons pour cela que ces deux droites ne sont pas sécantes en résolvant le système suivant :

    $\begin{array}{cl} & \left\{\begin{array}{rcl} 3+t & = & 10k \ 6t & = & 2+6k\ - 3t & = &-4k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} 3+t & = & 10k \ 6t & = & 2+6k\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} 3+\dfrac{4}{3}k & = & 10k \ \ 6\times\dfrac{4}{3}k & = & 2+6k\ \ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} \dfrac{4}{3}k -10k & = & -3 \ \ 8k -6k & = & 2\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} -\dfrac{27}{3}k & = & -3 \ \ 2k & = & 2\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} k & = & \dfrac{1}{3} \ \ k & = & 1\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \end{array}$

    Le nombre kk ne peut prendre deux valeurs différentes, ce système n'admet aucune solution et les droites D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 ne sont donc pas sécantes.
    ✕
  2. L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
    1. Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\13\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2.
      2. Correction
      On pose $\vec{u}\begin{pmatrix}1\6\-3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}10\6\-4\end{pmatrix}$ les vecteurs directeurs respectifs des droites D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 obtenus à l'aide des deux paramétrisations.

      On a alors :

      n⃗.u⃗\vec{n}.\vec{u} == 3×1+13×6+27×(−3)3\times1+13\times6+27\times(-3) == 00.

      et

      n⃗.v⃗\vec{n}.\vec{v} == 3×10+13×6+27×(−4)3\times10+13\times6+27\times(-4) == 00.

      Le vecteur n⃗\vec{n} est bien normal aux droites D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2..
      ✕
    2. On admet que la distance minimale entre les droites D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 est la distance HH′' où HH′→\overrightarrow{\text{HH}'} est un vecteur colinéaire à n⃗\vec{n} avec H appartenant à la droite D1\mathcal{D}_1 et H′' appartenant à la droite D2\mathcal{D}_2.
      Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale.
      On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel
      ▹\triangleright Calcul formel
      1 Résoudre({10∗k−3−t=3∗ℓ,2+6∗k−6∗t=13∗ℓ,−4∗k+3∗t=27∗ℓ},{k, ℓ, t})(\{10*k-3-t=3*\ell,2 + 6*k - 6*t = 13*\ell,- 4*k + 3*t= 27*\ell\},\{k,~\ell,~t\})
      →{{k=6751814,ℓ=17907,t=603907}}\to \left\{\left\{k = \dfrac{675}{1814},\:\ell = \dfrac{17}{907}, \: t =\dfrac{603}{907}\right\}\right\}
      3. Correction
      Soient H(3+t;6t;−3t)(3+t;6t;-3t) et H'(10k;2+6k;−4k)(10k;2+6k;-4k), tt et kk des réels, deux points respectifs de D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2. On a alors :

      HH′→\overrightarrow{\text{HH}'} == (xH’−xH yH’−yH zH’−zH)\begin{pmatrix}x_{\text{H'}} - x_{\text{H}} \ y_{\text{H'}} - y_{\text{H}} \ z_{\text{H'}} - z_{\text{H}} \end{pmatrix} == (10k−3−t 2+6k−6t −4k+3t)\begin{pmatrix} 10k-3-t \ 2+6k-6t \ -4k+3t \end{pmatrix}.

      On sait de plus que HH′→\overrightarrow{\text{HH}'} est colinéaire à n⃗\vec{n}, il existe donc un réel ℓ\ell tel que HH′→=ℓ×n⃗\overrightarrow{\text{HH}'} = \ell\times\vec{n}. Les points H et H' vérifient donc :

      {10k−3−t=3ℓ 2+6k−6t=13ℓ −4k+3t=27ℓ\left\{\begin{array}{rcl} 10k-3-t & = & 3\ell \ 2+6k-6t & = & 13\ell\ -4k+3t & = & 27\ell \end{array}\right.

      D'après le résultat du logiciel de calcul formel on a donc que k=6751814k=\dfrac{675}{1814}, ℓ=17907\ell = \dfrac{17}{907} et t=603907t =\dfrac{603}{907} et la distance HH' vaut alors :

      ℓ∣∣n⃗∣∣\ell||\vec{n}|| == 1790732+132+272\dfrac{17}{907}\sqrt{3^2+13^2+27^2} == 17907907\dfrac{17\sqrt{907}}{907} ≃\simeq 0,5640,564 soit à peu près 5656 mètres, l'unité étant de 100 mètres.
      ✕
  3. Les scientifiques décident d'installer une balise en mer.
    Elle est repérée par le point B de coordonnées (2;4;0).
    1. Soit MM un point de la droite D1\mathcal{D}_1.
      Déterminer les coordonnées du point MM tel que la distance BMBM soit minimale.
      2. Correction
      Le point MM étant un sur D1\mathcal{D}_1 il existe un réel tt tel que : M(3+t;6t;−3t)M(3+t;6t;-3t).

      Déterminer la distance minimale BMBM revient à déterminer le minimum de BM2BM^2 (la fonction racine carrée étant strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[). Calculons donc BM2BM^2.

      $\begin{array}{rcl} BM^2 & = & (x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2+(z_M-z_B)^2 \ & = & (3+t-2)^2+(6t-4)^2+(-3t-0)^2\ & = & (t+1)^2+(6t-4)^2+9t^2 \ & = & 46t^2-46t+17. \end{array}$

      Le minimum est atteint pour t=−(−46)2×(46)t=\dfrac{-(-46)}{2\times(46)} == 12\dfrac{1}{2} et les coordonnées du point MM cherché sont :

      M(3+12;6×12;−3×12)M\left(3+\dfrac{1}{2};6\times\dfrac{1}{2};-3\times\dfrac{1}{2}\right) == (72;3;−32)\left( \dfrac{7}{2};3;-\dfrac{3}{2} \right).
      ✕
    2. En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
      3. Correction
      Remplaçons tt par 12\dfrac{1}{2} dans l'expression obtenue pour BM2BM^2 dans la question précédente.

      BM2BM^2 == 46×(12)2−46×12+1746\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-46\times\dfrac{1}{2}+17 == 232−462+342\dfrac{23}{2}-\dfrac{46}{2}+\dfrac{34}{2} == 112\dfrac{11}{2}.

      Ainsi, BM=112BM =\sqrt{\dfrac{11}{2}} ≃\simeq 2,352,35 soit 235235 mètres.
      ✕
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}).
On pose z0=8z_0 = 8 et, pour tout entier naturel nn : zn+1=3−i34zn.z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n. On note AnA_n le point du plan d'affixe znz_n.
    1. Vérifier que : 3−i34=32e−iπ6.\dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.
      2. Correction
      $\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\text{i} \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i} \right) \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \dfrac{\sqrt{3}-\text{i}}{2} \right) \ & = & \dfrac{3-\sqrt{3}\text{i}}{4}. \end{array}$
      ✕
    2. En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes z1z_1, z2z_2 et z3z_3 sous forme exponentielle et vérifier que z3z_3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
      3. Correction
      D'après ce qui précéde nous avons que pour tout entier nn : zn+1=32e−iπ6zn.z_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n. Ainsi,

      $\begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_0 \ \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times8 \ \ & = & 4\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}. \end{array}$

      $\begin{array}{rcl} z_2 & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_1 \ \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times 4\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \ \ & = & 6\text{e}^{- 2\text{i}\frac{\pi}{6}} \ & = & 6\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}. \end{array}$

      $\begin{array}{rcl} z_3 & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_2 \ \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times 6\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} \ \ & = & 3\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}-\text{i}\frac{\pi}{3}} \ & = & 3\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{3\pi}{6}} \ & = & 3\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}}. \end{array}$

      Or, e−iπ2=−i\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = -\text{i} donc z3z_3 est bien un imaginaire pur. Sa partie imaginaire vaut : −33-3\sqrt{3}.
      ✕
    3. Représenter graphiquement les points A0A_0 , A1A_1 , A2A_2 et A3A_3 ; on prendra pour unité le centimètre.
      4. Correction
      u
      v
      O
      A0
      A1
      A2
      A3
      ✕
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, zn=8×(32)ne−inπ6.z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.
      2. Correction
      Initialisation
      Pour n=0n=0 : d'une part z0=8z_0 = 8 et d'autre part 8×(32)0e−i0×π68\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0 \text{e}^{- \text{i}\frac{0\times\pi}{6}} == 8×1×e08\times1\times\text{e}^0 == 88.

      L'égalité est bien vérifiée pour n=0n=0.

      Hérédité
      Supposons que pour un certain entier nn : zn=8×(32)ne−inπ6.z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}. Montrons alors que : zn+1=8×(32)n+1e−i(n+1)π6.z_{n+1} = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1} \text{e}^{- \text{i}\frac{(n+1)\pi}{6}}.

      On a :

      $\begin{array}{rcl} z_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}} \ & = & 8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}- \text{i}\frac{n\pi}{6}} \ & = & 8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\text{e}^{- (n+1)\text{i}\frac{\pi}{6}}. \end{array}$

      Conclusion
      D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel nn : zn=8×(32)ne−inπ6.z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.
      ✕
    2. Pour tout entier naturel nn, on pose un=∣zn∣u_n = \left|z_n\right|.
      Déterminer la nature et la limite de la suite (un)\left(u_n\right).
      3. Correction
      Pour tout entier nn on a : zn+1=32e−iπ6zn.z_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n. Ainsi :

      $\begin{array}{rcl} |z_{n+1}| & = & \left| \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n \right| \ u_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left| \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \right| \times |z_n| \ \ u_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times1\times u_n \ \ u_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} u_n. \end{array}$

      La suite (un)(u_n) est bien géométrique de raison 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} et de premier terme u0=∣z0∣u_0=|z_0| == 88.

      Or, la raison de la suite, 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, étant un nombre de [0;1[[0;1[, on a : lim⁡n→+∞un=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =0}.
      ✕
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel kk, zk+1−zkzk+1=−13i.\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}. En déduire que, pour tout entier naturel kk, on a l'égalité : AkAk+1=13OAk+1A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}.
      2. Correction
      Pour tout entier kk, on a :

      $\begin{array}{rcl} \dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} & = & \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_k - z_k}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_k} \ \ & = & \dfrac{z_k\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}-1 \right)}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_k} \ \ & = & \dfrac{ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}-1 }{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}} \ \ & = & \dfrac{ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}-1 }{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}}\times\dfrac{2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{6}}}{2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{6}}} \ \ & = & \dfrac{ \sqrt{3}\times1-2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{6}} }{ \sqrt{3}\times1 } \ \ & = & \dfrac{ \sqrt{3}-2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i} \right) }{\sqrt{3}} \ & = & \dfrac{-\text{i}}{\sqrt{3}}. \end{array}$

      En passant aux modules dans cette égalité on obtient :

      $\begin{array}{rcl} \left| \dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} \right| & = & \left| - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i} \right| \ \ \dfrac{ |z_{k+1} - z_{k}| }{ |z_{k+1}| } & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ \dfrac{ |z_{k+1} - z_{k}| }{ |z_{k+1}-0| } & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ \dfrac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}} & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ A_kA_{k+1} & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}. \end{array}$
      ✕
    2. Pour tout entier naturel nn, on appelle ℓn\ell_n la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points A0A_0, A1A_1, A2A_2, …\ldots , AnA_n.
      On a ainsi : ℓn=A0A1+A1A2+⋯+An−1An\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \cdots + A_{n-1}A_n.
      Démontrer que la suite (ℓn)\left(\ell_n\right) est convergente et calculer sa limite.
      3. Correction
      D'après l'égalité précédente, pour tout entier nn, on a :

      $\begin{array}{rcl} \ell_n & = & A_0A_1 + A_1A_2 + \cdots + A_{n-1}A_n \ & = & OA_1+ OA_2 + \cdots + OA_n \ & = & |z_1|+|z_2|+ \cdots + |z_n| \ & = & u_1+u_2 + \cdots + u_n \ & = & u_1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \ \ & = & 4\sqrt{3}\times\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}. \end{array}$

      Or, puisque 32∈[0;1[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\in[0;1[, on a lim⁡n→+∞(32)n=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}=0 et :

      lim⁡n→+∞un=43×11−32\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} = 4\sqrt{3}\times\dfrac{1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} == 832−3\dfrac{8\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.
      ✕