--> TS ∼ DST 25/05/2019 Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.
Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minute.
À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie pour tout réel $t$ de l'intervalle [0;20] par : $$f(t) = (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03.$$
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;20].
Ainsi, la valeur $f(0) = 0,23$ traduit le fait que le taux de CO$_2$ à l'instant $0$ est égal à 23%.
$t$ $0$ $1,75$ $20$ $f'(t)$ $+$ 0 $-$ $f(t)$ croissante décroissante 0,23

  1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
    1. Calculer $f (20)$.
      2. $f(20)$ $=$ $(0,8\times20+0,2)\text{e}^{-0,5\times20}+0,03$ $\simeq$ $0,031$.
      Au bout de 20 minutes, le taux est de $3,1$%.
    2. Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l'expérience.
      3. D'après le tableau de variation le taux de CO$_2$ est maximal pour $t=1,75$ et il vaut : $f(1,75)$ $\simeq$ $0,697$.
      Le taux maximal est donc d'environ $69,7$%.
  2. On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5$%.
    1. Justifier qu'il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
      2. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[0;20]$. D'après le tableau de variation, sa valeur minimale est $f(20) \simeq 0,031$ et sa valeur maximale est $f(1,75)$ $\simeq$ $0,697$. Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe bien un réel $T$ tel que $F(T)=0,035$ soit $3,5$%.
    2. On considère l'algorithme suivant :
      $t \gets 1,75$
      $p \gets 0,1$
      $V \gets 0,7$
      Tant que $V > 0,035$
      4$t \gets t + p$
      4$V \gets (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03$
      Fin Tant que
      Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'algorithme ? On effectue les calculs successifs à la calculatrice $f(1,75)$, $f(1,85)$, $f(1,95)$ etc. jusqu'à obtenir pour la première fois un résultat inférieur $0,035$.
      Celui-ci correspond $f(15,75)$, donc la valeur finale de $t$ est $15,75$.       Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ? Cette valeur correspond à une valeur approchée du premier instant où le taux de CO$_2$ est inférieur à $3,5$%. C'est-à-dire après 15,75 minutes, soit 15 minutes et 75 secondes.
  3. On désigne par $V_m$ le taux moyen ( en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les $11$ premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
    1. Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0;11] par : $$F(t) = (-1,6t -3,6)\text{e}^{-0,5t} + 0,03t.$$ Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;11].
      2. Il nous faut ici dériver la fonction $F$ et montrer que pour tout réel $t$ de [0;11], $F'(t)=f(t)$.
      Or, nous avons que $F$ est de la forme $u\times v +w$ avec :

      $u(t) = -1,6t-3,6$ et $u'(t)=-1,6$
      $v(t)=\text{e}^{-0,5t}$ et $v'(t)=-0,5\text{e}^{-0,5t}$
      $w(t)=0,03t$ et $w'(t)=0,03$

      Ainsi, nous avons :

      $\begin{array}{rcl} F'(t) & = & u'(t)v(t)+v'(t)u(t)+w'(t) \ & = & -1,6\text{e}^{-0,5t}-0,5\text{e}^{-0,5t}(-1,6t-3,6)+0,03 \ & = & \text{e}^{-0,5t}(-1,6-0,5(-1,6t-3,6))+0,03 \ & = & \text{e}^{-0,5t}(-1,6+0,8t+1,8)+0,03 \ & = & \text{e}^{-0,5t}(0,8t+0,2)+0,03 \ & = & f(t). \ \end{array}$
      La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;11].
    2. En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;11]. Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1$%.
      3. Nous avons que :

      $\begin{array}{rcl} V_m & = & \displaystyle{\dfrac{1}{11-0}\int_0^11 f(t)\text{d}t } \ & & \ & = & \displaystyle{ \dfrac{1}{11}\left[ F(t) \right]_0^11 } \ & & \ & = & \dfrac{1}{11}\left( F(11) - F(0) \right) \ & & \ & = & \dfrac{1}{11}\left( -21,2\text{e}^{-5,5}+0,33 +3,6 \right) \ & & \ & \simeq & 0,349 \ \end{array}$

      La valeur moyenne du taux est donc de $34,9$%.
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, à $10^{-3}$.

Partie A
Elsa a préparé un grand saladier de billes de chocolat pour son anniversaire.
On y trouve : Un invité prend une bille de chocolat au hasard dans le saladier. On définit les évènements suivants:
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
  2. Montrer que la probabilité que l'invité prenne une bille fourrée au café vaut $0,66$.
    3. D'après la formule des probabilités totales, nous avons :

    $P(C) = 0,4\times0,6+0,6\times0,7$ $=$ $0,66$.
  3. Sachant que la bille est fourrée au café, quelle est la probabilité que l'invité ait pris une bille au chocolat blanc ?
    4. Il nous faut calculer ici $P_C(B)$.

    $P_C(B) = \dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ $=$ $\dfrac{0,4\times0,6}{0,66}$ $\simeq$ $0,364$.
Partie B
La société Chococéan commercialise des bonbons au chocolat, qui sont conditionnés en paquets d'environ $250$ g par une machine. La réglementation exige qu'un tel paquet de bonbons au chocolat ait une masse supérieure à $247,5$ g.
La dirigeante de l'entreprise constate que, lorsqu'on prélève au hasard un paquet de bonbons au chocolat dans la production, sa masse, en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu_1 = 251$ et d'écart-type $\sigma = 2$.
  1. Calculer la probabilité qu'un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation.
    2. On doit calculer ici $P(X\geq 247,5)$. À la calculatrice nous obtenons (normalFrep(247.5,10^99,251,2) :

    $P(X\geq 247,5) \simeq 0,960$.
  2. La dirigeante souhaiterait que 98% des paquets soient conformes à la réglementation.
    Cela nécessite un nouveau réglage de la machine, afin que la masse, en grammes, du paquet prélevé au hasard soit modélisée par une variable aléatoire $X_2$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu_2$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 2$.
    Déterminer la valeur de $\mu_2$ répondant au souhait de la dirigeante.
    3. On souhaite que $P(X_2\geq 247,5)=0,98$. C'est-à-dire :

    $\begin{array}{rcl} P(X_2\geq 247,5) & = & 0,98 \ P(X_2 < 247,5 ) & = & 0,02 \ P(X_2-\mu_2 < 247,5-\mu_2 ) & = & 0,02 \ P\left( \dfrac{X_2-\mu_2}{2} < \dfrac{247,5-\mu_2}{2} \right) & = & 0,02 \ \end{array}$

    Or, la variable aléatoire $\dfrac{X_2-\mu_2}{2}$ suit la loi normale centrée réduite, et donc à la calculatrice, à l'aide de FracNormal, on obtient :

    $\begin{array}{rcl} \dfrac{247,5-\mu_2}{2} & \simeq & -2,054 \ 247,5-\mu_2 & \simeq & -4,108 \ \mu_2 & \simeq & 251,608. \end{array}$

Partie C
La société procède à un réglage de la machine. La dirigeante affirme que désormais 98% des paquets produits sont conformes à la réglementation.
Une association de consommateurs fait peser $256$ paquets de bonbons au chocolat et en dénombre $248$ qui sont conformes à la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de la dirigeante ? Justifier la réponse. Supposons que la dirigeante dit vrai. On peut alors déterminer l'intervalle de fluctuation d'échantillonnage asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de paquets conformes dans un échantillon de taille 256.

On pose : $n=256$ et $p=0,98$.

On a bien que $n\geq30$, $n\times p = 250,88>5$ et $n\times(1-p)=5,12>5$.

L'intervalle cherché est donc :

$$I= \left[ p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \right]$$
$$I = [0,962 ; 0,998]$$ La fréquence de paquets conformes trouvée par l'association de consommateur est de $\dfrac{248}{256}$ $\simeq$ $0,969$ et se trouve bien dans $I$.

Le contrôle ne permet donc pas de remettre en cause l'affirmation de la dirigeante de l'entreprise. Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes.
Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ d'unité $100$ mètres.
Le plan $(O,\vec{i},\vec{j})$ représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ avec $z < 0$ se situe dans l'océan.
La modélisation des spécialistes établit que :
• la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est : $$\left\{\begin{array}{l c r} x &=&3+t\ y &=&6t\ z &=&- 3t \end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;$$
• la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&10k\ y&=&2 + 6k\ z&=&- 4k \end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;$$
  1. Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île.
    2. Démontrons pour cela que ces deux droites ne sont pas sécantes en résolvant le système suivant :

    $\begin{array}{cl} & \left\{\begin{array}{rcl} 3+t & = & 10k \ 6t & = & 2+6k\ - 3t & = &-4k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} 3+t & = & 10k \ 6t & = & 2+6k\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} 3+\dfrac{4}{3}k & = & 10k \ \ 6\times\dfrac{4}{3}k & = & 2+6k\ \ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} \dfrac{4}{3}k -10k & = & -3 \ \ 8k -6k & = & 2\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} -\dfrac{27}{3}k & = & -3 \ \ 2k & = & 2\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \ & \ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{rcl} k & = & \dfrac{1}{3} \ \ k & = & 1\ t & = & \dfrac{4}{3}k \end{array}\right. \end{array}$

    Le nombre $k$ ne peut prendre deux valeurs différentes, ce système n'admet aucune solution et les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont donc pas sécantes.
  2. L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
    1. Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\13\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
      2. On pose $\vec{u}\begin{pmatrix}1\6\-3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}10\6\-4\end{pmatrix}$ les vecteurs directeurs respectifs des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ obtenus à l'aide des deux paramétrisations.

      On a alors :

      $\vec{n}.\vec{u}$ $=$ $3\times1+13\times6+27\times(-3)$ $=$ $0$.

      et

      $\vec{n}.\vec{v}$ $=$ $3\times10+13\times6+27\times(-4)$ $=$ $0$.

      Le vecteur $\vec{n}$ est bien normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$..
    2. On admet que la distance minimale entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est la distance HH$'$ où $\overrightarrow{\text{HH}'}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{n}$ avec H appartenant à la droite $\mathcal{D}_1$ et H$'$ appartenant à la droite $\mathcal{D}_2$.
      Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale.
      On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel
      $\triangleright$ Calcul formel
      1 Résoudre$(\{10*k-3-t=3*\ell,2 + 6*k - 6*t = 13*\ell,- 4*k + 3*t= 27*\ell\},\{k,~\ell,~t\})$
      $\to \left\{\left\{k = \dfrac{675}{1814},\:\ell = \dfrac{17}{907}, \: t =\dfrac{603}{907}\right\}\right\}$
      3. Soient H$(3+t;6t;-3t)$ et H'$(10k;2+6k;-4k)$, $t$ et $k$ des réels, deux points respectifs de $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$. On a alors :

      $\overrightarrow{\text{HH}'}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_{\text{H'}} - x_{\text{H}} \ y_{\text{H'}} - y_{\text{H}} \ z_{\text{H'}} - z_{\text{H}} \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 10k-3-t \ 2+6k-6t \ -4k+3t \end{pmatrix}$.

      On sait de plus que $\overrightarrow{\text{HH}'}$ est colinéaire à $\vec{n}$, il existe donc un réel $\ell$ tel que $\overrightarrow{\text{HH}'} = \ell\times\vec{n}$. Les points H et H' vérifient donc :

      $\left\{\begin{array}{rcl} 10k-3-t & = & 3\ell \ 2+6k-6t & = & 13\ell\ -4k+3t & = & 27\ell \end{array}\right.$

      D'après le résultat du logiciel de calcul formel on a donc que $k=\dfrac{675}{1814}$, $\ell = \dfrac{17}{907}$ et $t =\dfrac{603}{907}$ et la distance HH' vaut alors :

      $\ell||\vec{n}||$ $=$ $\dfrac{17}{907}\sqrt{3^2+13^2+27^2}$ $=$ $\dfrac{17\sqrt{907}}{907}$ $\simeq$ $0,564$ soit à peu près $56$ mètres, l'unité étant de 100 mètres.
  3. Les scientifiques décident d'installer une balise en mer.
    Elle est repérée par le point B de coordonnées (2;4;0).
    1. Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$.
      Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance $BM$ soit minimale.
      2. Le point $M$ étant un sur $\mathcal{D}_1$ il existe un réel $t$ tel que : $M(3+t;6t;-3t)$.

      Déterminer la distance minimale $BM$ revient à déterminer le minimum de $BM^2$ (la fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$). Calculons donc $BM^2$.

      $\begin{array}{rcl} BM^2 & = & (x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2+(z_M-z_B)^2 \ & = & (3+t-2)^2+(6t-4)^2+(-3t-0)^2\ & = & (t+1)^2+(6t-4)^2+9t^2 \ & = & 46t^2-46t+17. \end{array}$

      Le minimum est atteint pour $t=\dfrac{-(-46)}{2\times(46)}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ et les coordonnées du point $M$ cherché sont :

      $M\left(3+\dfrac{1}{2};6\times\dfrac{1}{2};-3\times\dfrac{1}{2}\right)$ $=$ $\left( \dfrac{7}{2};3;-\dfrac{3}{2} \right)$.
    2. En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
      3. Remplaçons $t$ par $\dfrac{1}{2}$ dans l'expression obtenue pour $BM^2$ dans la question précédente.

      $BM^2$ $=$ $46\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-46\times\dfrac{1}{2}+17$ $=$ $\dfrac{23}{2}-\dfrac{46}{2}+\dfrac{34}{2}$ $=$ $\dfrac{11}{2}$.

      Ainsi, $BM =\sqrt{\dfrac{11}{2}}$ $\simeq$ $2,35$ soit $235$ mètres.
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n.$$ On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.
    1. Vérifier que : $$\dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.$$
      2. $\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\text{i} \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i} \right) \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \dfrac{\sqrt{3}-\text{i}}{2} \right) \ & = & \dfrac{3-\sqrt{3}\text{i}}{4}. \end{array}$
    2. En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
      3. D'après ce qui précéde nous avons que pour tout entier $n$ : $$z_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n.$$ Ainsi,

      $\begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_0 \ \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times8 \ \ & = & 4\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}. \end{array}$

      $\begin{array}{rcl} z_2 & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_1 \ \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times 4\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \ \ & = & 6\text{e}^{- 2\text{i}\frac{\pi}{6}} \ & = & 6\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}. \end{array}$

      $\begin{array}{rcl} z_3 & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_2 \ \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times 6\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} \ \ & = & 3\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}-\text{i}\frac{\pi}{3}} \ & = & 3\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{3\pi}{6}} \ & = & 3\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}}. \end{array}$

      Or, $\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = -\text{i}$ donc $z_3$ est bien un imaginaire pur. Sa partie imaginaire vaut : $-3\sqrt{3}$.
    3. Représenter graphiquement les points $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.$$
      2. Initialisation
      Pour $n=0$ : d'une part $z_0 = 8$ et d'autre part $8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0 \text{e}^{- \text{i}\frac{0\times\pi}{6}}$ $=$ $8\times1\times\text{e}^0$ $=$ $8$.

      L'égalité est bien vérifiée pour $n=0$.

      Hérédité
      Supposons que pour un certain entier $n$ : $$z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.$$ Montrons alors que : $$z_{n+1} = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1} \text{e}^{- \text{i}\frac{(n+1)\pi}{6}}.$$

      On a :

      $\begin{array}{rcl} z_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n \ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\times8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}} \ & = & 8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}- \text{i}\frac{n\pi}{6}} \ & = & 8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\text{e}^{- (n+1)\text{i}\frac{\pi}{6}}. \end{array}$

      Conclusion
      D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.$$
    2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$.
      Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
      3. Pour tout entier $n$ on a : $$z_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n.$$ Ainsi :

      $\begin{array}{rcl} |z_{n+1}| & = & \left| \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n \right| \ u_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left| \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \right| \times |z_n| \ \ u_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times1\times u_n \ \ u_{n+1} & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} u_n. \end{array}$

      La suite $(u_n)$ est bien géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et de premier terme $u_0=|z_0|$ $=$ $8$.

      Or, la raison de la suite, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, étant un nombre de $[0;1[$, on a : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =0}$.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $$\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}.$$ En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l'égalité : $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}$.
      2. Pour tout entier $k$, on a :

      $\begin{array}{rcl} \dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} & = & \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_k - z_k}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_k} \ \ & = & \dfrac{z_k\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}-1 \right)}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_k} \ \ & = & \dfrac{ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}-1 }{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}} \ \ & = & \dfrac{ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}-1 }{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}}\times\dfrac{2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{6}}}{2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{6}}} \ \ & = & \dfrac{ \sqrt{3}\times1-2\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{6}} }{ \sqrt{3}\times1 } \ \ & = & \dfrac{ \sqrt{3}-2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i} \right) }{\sqrt{3}} \ & = & \dfrac{-\text{i}}{\sqrt{3}}. \end{array}$

      En passant aux modules dans cette égalité on obtient :

      $\begin{array}{rcl} \left| \dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} \right| & = & \left| - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i} \right| \ \ \dfrac{ |z_{k+1} - z_{k}| }{ |z_{k+1}| } & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ \dfrac{ |z_{k+1} - z_{k}| }{ |z_{k+1}-0| } & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ \dfrac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}} & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ A_kA_{k+1} & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}. \end{array}$
    2. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\ldots$ , $A_n$.
      On a ainsi : $\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \cdots + A_{n-1}A_n$.
      Démontrer que la suite $\left(\ell_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
      3. D'après l'égalité précédente, pour tout entier $n$, on a :

      $\begin{array}{rcl} \ell_n & = & A_0A_1 + A_1A_2 + \cdots + A_{n-1}A_n \ & = & OA_1+ OA_2 + \cdots + OA_n \ & = & |z_1|+|z_2|+ \cdots + |z_n| \ & = & u_1+u_2 + \cdots + u_n \ & = & u_1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \ \ & = & 4\sqrt{3}\times\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}. \end{array}$

      Or, puisque $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\in[0;1[$, on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}=0$ et :

      $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} = 4\sqrt{3}\times\dfrac{1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ $=$ $\dfrac{8\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.