--> Terminale S ∼ Évaluation sur les suites numériques Donner la définition d’une suite convergente. Une suite converge vers un nombre réel $\ell$ si pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans $I$. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$ par : $u_{n+1}=20+0,5u_n$.
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $u_n=40-40\times0,5^n$.
    2. Initialisation
    Pour $n=0$ : d'une part nous savons que $u_0=0$ et d'autre part nous avons que : $40-40\times0,5^0=40-40=0$.
    L'égalité est donc vraie pour $n=0$.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier $n$ : $u_n=40-40\times0,5^n$.
    Montrons alors que : $u_{n+1}=40-40\times0,5^{n+1}$.

    On sait que :
    $\begin{array}{rclr} u_{n+1} & = & 20+0,5u_n &\ & = & 20+0,5(40-40\times0,5^n) & \text{(hypothèse de récurrence)}\ & = & 20+20-40\times0,5^{n+1} &\ & = & 40-40\times0,5^{n+1}._\square &\ \end{array}$

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ : $u_n=40-40\times0,5^n$.
  2. Déterminer alors le sens de variation de la suite $(u_n)$ ainsi que sa limite lorsque $n$ ted vers $+\infty$.
    3. Le nombre $0,5$ appartient à l'intervalle $[0;1[$, ainsi $0,5^n$ est le terme général d'une suite géométrique décroissante, et donc $-40\times0,5^n$ celui d'une suite croissante.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.

    De même, puisque $0,5\in[ 0;1[$, nous avons que : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0,5^n = 0}$, et donc que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 40}$.
  3. Déterminer le premier entier $n$ tel que $u_n>38$.
    4. Puisque la suite $(u_n)$ est croissante et que sa limite est $40$, nous savons que dès qu'il existe $n$ tel que $u_n>38$, cette inégalité sera vraie pour tous les termes suivants.
    Nous avons que $u_4 = 37,5$ et $u_5=38,75$, ainsi le premier entier pour lequel $u_n>38$ est $n=5$.