Déterminons tout d'abord l'expression de la dérivée de la fonction $f$ : $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\left( -\dfrac{1}{x^2}\right)$ $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}$ $>0$, car $\sqrt{x}>0$ et $x^2>0$.
Ainsi, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{x}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty}$, ainsi :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)}$ $=$ $0-(+\infty)$ $=$ $-\infty$.

On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}}$ $=$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}=0}$, ainsi :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $+\infty-0$ $=$ $+\infty$.

À l'aide des résultats précédents nous obtenons : $x$ $0$ $+\infty$ $f'(x)$ interdit $+$ interdit $+\infty$ $f(x)$ interdit croissante interdit $-\infty$

$x$	$0$			$+\infty$
$f'(x)$			$+$
				$+\infty$
$f(x)$
		$-\infty$

Sur l'intervalle $]0;+\infty[$ :

• la fonction $f$ est continue en tant que somme de fonctions continues,
• la fonction est strictement croissante,
• $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)}$ $=$ $-\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $-\infty$.

Ainsi, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
À l'aide de la calculatrice, par balayage nous obtenons les encadrements successifs suivants :
$\begin{array}{rcl} 0 & < \alpha < & 1 \ 0,5 & < \alpha < & 0,6 \ 0,56 & < \alpha < & 0,57 \ 0,569 & < \alpha < & 0,570 \ 0,5698 & < \alpha < & 0,5699 \ \end{array}$
Ainsi, à $10^{-3}$ près, $\alpha \simeq 0,570$.