--> TS ∼ Évaluation limites/continuité Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}+1$.
  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    2. Déterminons tout d'abord l'expression de la dérivée de la fonction $f$ : $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\left( -\dfrac{1}{x^2}\right)$ $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}$ $>0$, car $\sqrt{x}>0$ et $x^2>0$.
    Ainsi, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
  2. Déterminer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)}$ ainsi que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$.
    3. On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{x}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty}$, ainsi :
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)}$ $=$ $0-(+\infty)$ $=$ $-\infty$.

    On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}}$ $=$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}=0}$, ainsi :
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $+\infty-0$ $=$ $+\infty$.
  3. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    4. À l'aide des résultats précédents nous obtenons : $x$ $0$ $+\infty$ $f'(x)$ interdit $+$ interdit $+\infty$ $f(x)$ interdit croissante interdit $-\infty$
  4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$
    5. Sur l'intervalle $]0;+\infty[$ : Ainsi, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    À l'aide de la calculatrice, par balayage nous obtenons les encadrements successifs suivants :
    $\begin{array}{rcl} 0 & < \alpha < & 1 \ 0,5 & < \alpha < & 0,6 \ 0,56 & < \alpha < & 0,57 \ 0,569 & < \alpha < & 0,570 \ 0,5698 & < \alpha < & 0,5699 \ \end{array}$
    Ainsi, à $10^{-3}$ près, $\alpha \simeq 0,570$.