--> Évaluation de probabilités ∼ corrigé Exercice 1 John S. a promis à Dany T. de passer la voir entre 8h et 8h30. On suppose que la probabilité de son passage est uniformément répartie.
  1. Quelle est la probabilité qu'il arrive avant 8h10 ?
    2. Correction
    La durée d'attente de Dany, que nous notons TT, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [0;30][0;30].
    La probabilité que John arrive avant 8h10 est donc : P(T∈[0;10])=10−030−0P(T\in[0;10])=\dfrac{10-0}{30-0} == 13\dfrac{1}{3}.
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  2. Quelle est la probabilité qu'il arrive entre 8h20 et 8h25 ?
    3. Correction
    P(T∈[20;25])=25−2030−0P(T\in[20;25])=\dfrac{25-20}{30-0} == 530\dfrac{5}{30} == 16\dfrac{1}{6}.
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  3. Sachant que Dany a déjà attendu John 15 minutes, quelle est la probabilité qu'il arrive dans les dix prochaines minutes ?
    4. Correction
    Ici on doit calculer une probabilité conditionnelle, on utilise la formule du cours : PB(A)=P(A∩B)P(B)P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.
    On obtient ici :
    P{T>15}(T∈[15;25])P_{\{ T>15 \}}(T\in[15;25]) == P(T∈[15;30] et T∈[15;25])T∈[15;30]\dfrac{P( T\in[15;30] \text{ et } T\in[15;25] )}{T\in[15;30]} == P(T∈[15;25])T∈[15;30]\dfrac{P(T\in[15;25])}{T\in[15;30]} == 10/3015/30\dfrac{10/30}{15/30} == 1015\dfrac{10}{15} == 23\dfrac{2}{3}.
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Exercice 2 Sur un champ de bataille la durée de vie, en minutes, d'un dragon est modélisée par une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda>0.
On sait par ailleurs que la probabilité qu'un dragon survive plus d'une heure est de 0,520,52.
  1. Montrer que, à 10−410^{-4}, λ≃0,0109\lambda \simeq 0,0109.
    2. Correction
    D'après l'énoncé nous avons que :

    $\begin{array}{rcl} P(X>60) & = & 0,52 \ \text{e}^{-\lambda\times60} & = & 0,52 \ \ln\left( \text{e}^{-60\lambda}\right) & = & \ln(0,52) \ -60\lambda & = & \ln(0,52) \ \lambda & = & -\dfrac{\ln(0,52)}{60} \ \lambda & \simeq & 0,0109. \end{array}$
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  2. Combien de minutes un dragon reste-t-il en vie en moyenne sur un champ de bataille ?
    3. Correction
    Il nous faut calculer ici l'espérance de la variable aléatoire XX.

    E(X)=1λE(X)=\dfrac{1}{\lambda} ≃\simeq 91,7591,75 minutes.
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  3. Déterminer P(X<120)P( X < 120).
    4. Correction
    P(X<120)P( X < 120) == 1−e−λ×1201-\text{e}^{-\lambda\times120} ≃\simeq 0,7300,730.
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Exercice 3 Une forge industrielle possède une chaîne de fabrication qui produit des boucliers dont la masse M suit une loi normale de paramètres, exprimés en grammes, μ=5000\mu=5000 et σ=300\sigma=300.
  1. Quelle est la probabilité qu'un bouclier qui sort de cette forge ait une masse comprise entre 4,74,7 et 5,35,3 kg ?
    2. Correction
    Ici, il ne fallait pas oublier de convertir les kg en g...

    À l'aide d'une calculatrice TI on obtient :

    P(4700≤M≤5300)P(4700 \leq M \leq 5300) == normalFrep(4700,5300,5000,300)\text{normalFrep}(4700,5300,5000,300) ≃\simeq 0,6830,683.

    On pouvait remarquer également que l'on était à plus ou moins un σ\sigma de l'espérance ([5000−300;5000+300][5000-300;5000+300] == [4700;5300][4700;5300]), d'où le 0,680,68.
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  2. Déterminer le réel tt telle que P(M>t)=0,01P(M>t)=0,01.
    3. Correction
    P(M>t)=0,01P(M>t)=0,01 ⟺\Longleftrightarrow P(M<t)=0,99P(M < t)=0,99

    À l'aide de la fonction fracNormal(0.99,5000,300)\text{fracNormal}(0.99,5000,300) de la calculatrice TI on obtient : t≃5697t\simeq 5697 g.
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  3. On peut modifier les caractéristiques de cette chaîne de production et obtenir une autre valeur pour l'écart-type de la variable aléatoire.
    On note M′M' cette nouvelle variable aléatoire et μ′=5000\mu'=5000 et σ′\sigma' ses paramètres.
    Le chevalier moyen ne peut se battre efficacement avec un bouclier de plus de 5,5 kg. Déterminer la valeur de σ′\sigma' pour que la probabilité qu'un bouclier soit utilisable efficacement soit de 0,950,95.
    4. Correction
    On cherche ici σ′\sigma' pour que P(M′<5500)=0,95P(M' < 5500)=0,95.

    $\begin{array}{rcl} P(M' < 5500) & = & 0,95 \ P(M'-5000 < 500 ) & = & 0,95 \ P\left( \dfrac{M'-5000}{\sigma'} < \dfrac{500}{\sigma'} \right) & = & 0,95 \ P\left( Z < \dfrac{500}{\sigma'} \right) & = & 0,95 \ \end{array}$

    Avec Z=M′−5000σ′Z = \dfrac{M'-5000}{\sigma'} qui suit la loi normale centrée réduite.

    Ainsi, en utilisant la calculatrice TI on obtient :

    500σ′\dfrac{500}{\sigma'} == fracNormal(0.95,0,1)\text{fracNormal}(0.95,0,1)

    C'est-à-dire :

    $\begin{array}{rcl} \dfrac{500}{\sigma'}& \simeq& 1,648\ 500 & \simeq & 1,648\sigma' \ \sigma' & \simeq & \dfrac{500}{1,648} \ \sigma' & \simeq & 304 \text{ g}. \end{array}$
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