--> Évaluation de probabilités ∼ corrigé John S. a promis à Dany T. de passer la voir entre 8h et 8h30. On suppose que la probabilité de son passage est uniformément répartie.
  1. Quelle est la probabilité qu'il arrive avant 8h10 ?
    2. La durée d'attente de Dany, que nous notons $T$, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0;30]$.
    La probabilité que John arrive avant 8h10 est donc : $P(T\in[0;10])=\dfrac{10-0}{30-0}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.
  2. Quelle est la probabilité qu'il arrive entre 8h20 et 8h25 ?
    3. $P(T\in[20;25])=\dfrac{25-20}{30-0}$ $=$ $\dfrac{5}{30}$ $=$ $\dfrac{1}{6}$.
  3. Sachant que Dany a déjà attendu John 15 minutes, quelle est la probabilité qu'il arrive dans les dix prochaines minutes ?
    4. Ici on doit calculer une probabilité conditionnelle, on utilise la formule du cours : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
    On obtient ici :
    $P_{\{ T>15 \}}(T\in[15;25])$ $=$ $\dfrac{P( T\in[15;30] \text{ et } T\in[15;25] )}{T\in[15;30]}$ $=$ $\dfrac{P(T\in[15;25])}{T\in[15;30]}$ $=$ $\dfrac{10/30}{15/30}$ $=$ $\dfrac{10}{15}$ $=$ $\dfrac{2}{3}$.
Sur un champ de bataille la durée de vie, en minutes, d'un dragon est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
On sait par ailleurs que la probabilité qu'un dragon survive plus d'une heure est de $0,52$.
  1. Montrer que, à $10^{-4}$, $\lambda \simeq 0,0109$.
    2. D'après l'énoncé nous avons que :

    $\begin{array}{rcl} P(X>60) & = & 0,52 \ \text{e}^{-\lambda\times60} & = & 0,52 \ \ln\left( \text{e}^{-60\lambda}\right) & = & \ln(0,52) \ -60\lambda & = & \ln(0,52) \ \lambda & = & -\dfrac{\ln(0,52)}{60} \ \lambda & \simeq & 0,0109. \end{array}$
  2. Combien de minutes un dragon reste-t-il en vie en moyenne sur un champ de bataille ?
    3. Il nous faut calculer ici l'espérance de la variable aléatoire $X$.

    $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ $\simeq$ $91,75$ minutes.
  3. Déterminer $P( X < 120)$.
    4. $P( X < 120)$ $=$ $1-\text{e}^{-\lambda\times120}$ $\simeq$ $0,730$.
Une forge industrielle possède une chaîne de fabrication qui produit des boucliers dont la masse M suit une loi normale de paramètres, exprimés en grammes, $\mu=5000$ et $\sigma=300$.
  1. Quelle est la probabilité qu'un bouclier qui sort de cette forge ait une masse comprise entre $4,7$ et $5,3$ kg ?
    2. Ici, il ne fallait pas oublier de convertir les kg en g...

    À l'aide d'une calculatrice TI on obtient :

    $P(4700 \leq M \leq 5300)$ $=$ $\text{normalFrep}(4700,5300,5000,300)$ $\simeq$ $0,683$.

    On pouvait remarquer également que l'on était à plus ou moins un $\sigma$ de l'espérance ($[5000-300;5000+300]$ $=$ $[4700;5300]$), d'où le $0,68$.
  2. Déterminer le réel $t$ telle que $P(M>t)=0,01$.
    3. $P(M>t)=0,01$ $\Longleftrightarrow$ $P(M < t)=0,99$

    À l'aide de la fonction $\text{fracNormal}(0.99,5000,300)$ de la calculatrice TI on obtient : $t\simeq 5697$ g.
  3. On peut modifier les caractéristiques de cette chaîne de production et obtenir une autre valeur pour l'écart-type de la variable aléatoire.
    On note $M'$ cette nouvelle variable aléatoire et $\mu'=5000$ et $\sigma'$ ses paramètres.
    Le chevalier moyen ne peut se battre efficacement avec un bouclier de plus de 5,5 kg. Déterminer la valeur de $\sigma'$ pour que la probabilité qu'un bouclier soit utilisable efficacement soit de $0,95$.
    4. On cherche ici $\sigma'$ pour que $P(M' < 5500)=0,95$.

    $\begin{array}{rcl} P(M' < 5500) & = & 0,95 \ P(M'-5000 < 500 ) & = & 0,95 \ P\left( \dfrac{M'-5000}{\sigma'} < \dfrac{500}{\sigma'} \right) & = & 0,95 \ P\left( Z < \dfrac{500}{\sigma'} \right) & = & 0,95 \ \end{array}$

    Avec $Z = \dfrac{M'-5000}{\sigma'}$ qui suit la loi normale centrée réduite.

    Ainsi, en utilisant la calculatrice TI on obtient :

    $\dfrac{500}{\sigma'}$ $=$ $\text{fracNormal}(0.95,0,1)$

    C'est-à-dire :

    $\begin{array}{rcl} \dfrac{500}{\sigma'}& \simeq& 1,648\ 500 & \simeq & 1,648\sigma' \ \sigma' & \simeq & \dfrac{500}{1,648} \ \sigma' & \simeq & 304 \text{ g}. \end{array}$