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Terminale S - Nombres complexes
Partie 1 : forme algébrique / équations
Définitions Le nombre $i$
On imagine qu'il existe une solution à l'équation $x^2+1=0$.
On appelle $i$ un tel nombre.
On a donc $i^2=-1$. $i$ n'est pas un nombre réel puisque si $x\in\mathbb{R}$, $x^2$ $>0$.
Il existe un ensemble que l'on note $\mathbb{C}$, ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :
$\bullet$ $\mathbb{C}$ contient le nouveau nombre $i$,
$\bullet$ $\mathbb{C}$ contient tous les nombres réels,
$\bullet$ l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul sont les mêmes,
$\bullet$ tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ des réels.
$z=-4+3i$$z'=-2i$$z''=\sqrt{2}$
sont des nombres complexes. Vocabulaire
L'écriture $z=x+iy$ est appelée forme algébrique de $z$.
$x$ est appelé partie réelle de $z$ notée $Re(z)$.
$y$ est appelé partie imaginaire de $z$ notée $Im(z)$.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des complexes $z=-4+3i$, $z'=-2i$ et $z''=\sqrt{2}$. $Re(z)=-4$, $Im(z)=3$.
$Re(z')=0$, $Im(z)=-2$.
$Re(z'')=\sqrt{2}$, $Im(z)=0$.
ATTENTION : la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel. L'erreur classique des élèves est de l'écrire avec le nombre $i$, ce qui est bien entendu faux. Représentation graphique des nombres complexes
On munit le plan d'un repère orthonormé.
A tout nombre complexe $z= x+iy$ on peut associer le point $M$ de coordonnées $(x;y)$. On dit que le point $M$ est l'image de $z$.

Réciproquement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(x;y)$ on associe le nombre complexe $z=x+iy$ et $z$ est appelé l'affixe de $M$.
On se place dans le graphique ci-dessous.

À tout point $M(z)$ on peut associer $M'$ son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
L'affixe de ce point est appelé conjugué de $z$ et on le note $\overline{z}$.
Déplacer le point M
Si $M(z)$ est sur l'axe des abscisses alors $Im(z)$ $=$ $0$ et $z\in$ $\mathbb{R}$.
L'axe des abscisses est appelé axe des réels.
Si $M(z)$ est sur l'axe des ordonnées alors $Re(z)=$ $0$ et $z=$ $iy$, avec $y\in$ $\mathbb{R}$.
L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
Opérations sur les nombres complexes Egalité
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Addition
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes d'écriture algébrique $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$.
Alors, $z+z'$ $=$ $x+x'+i(y+y')$.
$z+\overline{z}$ $=$ $2Re(z)$.
$z-\overline{z}$ $=$ $2Im(z)$. Multiplication Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $(2+i)(5-4i)$
$(2+i)(5-4i)$ $=$ $10 - 8i +5i-4i^2$
$=$ $10 - 3i + 4$
$=$ $14 -3i.$

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes d'écriture algébrique $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$.
Alors, $z\times z'$ $=$ $xx'-yy'+i(xy'+x'y).$
Preuve
$z\times z'$ $=$ $(x+iy)(x'+iy')$
$=$ $xx'+ixy' + ix'y -yy'$
$=$ $xx' - yy' + i( xy'+x'y).$ 1$_\square$
Ecrire sous forme algébrique $\dfrac{1}{4+2i}$. Le problème ici, est qu'il y a un nombre complexe au dénominateur. Nous allons utiliser ici une méthode classique, qui consiste à utiliser la troisième identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Cette méthode porte le nom de "multiplication par la quantité conjuguée".

$\dfrac{1}{4+2i}$ $=$ $\dfrac{1}{4+2i}\times\dfrac{4-2i}{4-2i}$
$=$ $\dfrac{4-2i}{4^2-(2i)^2}$
$=$ $\dfrac{4-2i}{16 - 2^2\times i^2}$
$=$ $\dfrac{4-2i}{16+4}$
$=$ $\dfrac{4-2i}{20}$
$=$ $ \dfrac{4}{20}-\dfrac{2i}{20}$
$=$ $\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}i$

Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme algébrique $z=x+iy$.

$\dfrac{1}{z}$ $=$ $\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}.$
Preuve
On utilise ici encore la méthode de la multiplication par le conjugué.
$\dfrac{1}{z}$ $=$ $\dfrac{1}{x+iy}$ $=$ $\dfrac{1}{x+iy}\times$ $\dfrac{x-iy}{x-iy}$
$=$ $\dfrac{x-iy}{x^2-(iy)^2}$
$=$ $\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}$
$=$ $\dfrac{x}{x^2+y^2} - i\dfrac{y}{x^2+y^2}.$ $_\square$
Pour le quotient de deux nombres complexes $z$ et $z'$, avec $z'$ non nul, on utilise l'égalité :

$\dfrac{z}{z'}$ $=$ $z \times \dfrac{1}{z'}.$ Propriété du conjugué
Module d'un nombre complexe
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels et soit $z$ tel que $z=x+iy$.
Le module de $z$, noté $|z|$, est le nombre réel : $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$
Déterminer les modules des nombres complexes $z_1=1+i$, $z_2=1-i\sqrt{3}$ et $z_3=-13$. $|z_1|$ $=$ $\sqrt{1^2+1^2}$ $=$ $\sqrt{2}$.
$|z_2|$ $=$ $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}$ $=$ $\sqrt{4}$ $=$ $2$.
$|z_3|$ $=$ $\sqrt{(-13)^2+0^2}$ $=$ $\sqrt{169}$ $=$ $13$.
Le module d'un nombre réel correspond à sa valeur absolue. On se place dans le plan complexe $(O,\vec{u},\vec{v})$ et considère le point $M$ d'affixe $z\in\mathbb{C}$. On a alors :

$OM = |z|$.
Déplacer le point $M$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z|=1$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n\in\mathbb{N}$. On a alors :
  1. $|\overline{z}|$ $=$ $|z|$.
  2. $z\overline{z}$ $=$ $|z|^2$.
  3. $|zz'|$ $=$ $|z||z'|$.
  4. $|z^n|$ $=$ $|z|^n$.
  5. $\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ $=$ $\dfrac{|z|}{|z'|}$.
Preuve
Soient $x$ et $y$ les parties réelles et imaginaires de $z$ et $x'$ et $y'$ celles de $z'$. On a alors : $\overline{z}$ $=$ $x-iy$.
  1. $|\overline{z}|$ $=$ $|x-iy|$ $=$ $\sqrt{x^2+(-y)^2}$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2}$ $=$ $|z|$.
  2. $z\overline{z}$ $=$ $(x+iy)(x-iy)$ $=$ $x^2-ixy+ixy-i^2y^2$ $=$ $x^2+y^2$ $=$ $|z|$.
  3. Nous avons vu que : $zz'$ $=$ $(x+iy)(x'+iy')$ $=$ $xx'- yy'+i(xy'+yx')$.
    Ainsi :
    $|zz'|^2$ $=$ $(xx'-yy')^2+(xy'+yx')^2$ $=$ $(xx')^2-2xx'yy'+(yy')^2+(xy')^2+2xx'yy'+(yx')^2$ $=$ $(xx')^2+(yy')^2+(xy')^2+(yx')^2$.
    Par ailleurs :
    $(|z||z'|)^2$ $=$ $|z|^2|z'|^2$ $=$ $(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)$ $=$ $x^2x'2+x^2y'^2+y^2x'^2+y^2y'^2$.
    On a donc bien : $|zz'|$ $=$ $|z||z'|$.
  4. Cette propriété se démontre par récurrence sur $n$ en utilisant la formule précédente.
  5. On a :
    $\dfrac{1}{z'}$ $=$ $\dfrac{x'}{|z'|^2}-i\dfrac{y'}{|z'|^2}$ $=$ $\dfrac{\overline{z'}}{|z'|^2}$.
    Et donc :
    $\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ $=$ $\left| \dfrac{z\overline{z'}}{|z'|^2} \right|$ $=$ $\dfrac{|z\overline{z'}|}{||z'|^2|}$ $=$ $\dfrac{|z||\overline{z'}|}{|z'|^2}$ $=$ $\dfrac{|z||z'|}{|z'|^2}$ $=$ $\dfrac{|z|}{|z'|}$.
Équations complexes Équation du premier degré Résoudre l'équation : $(3+i)z+2i = 2-z+5i$.
$(3+i)z+2i$ $=$ $2-z+5i$
$(3+i)z + z$ $=$ $2+5i-2i$
$(4+i)z $ $=$ $2 + 3i $
$z$ $=$ $\dfrac{2+3i}{4+i} $
$z$ $= $ $\dfrac{(2+3i)(4-i)}{4^2+1^2} $
$z$ $=$ $\dfrac{11+10i}{17} $
$z$ $=$ $\dfrac{11}{17} + \dfrac{10}{17}i$

L'équation $(3+i)z+2i = 2-z+5i$ possède une unique solution dans $\mathbb{C}$ : $\dfrac{11}{17} + \dfrac{10}{17}i$.
Résoudre l'équation : $\dfrac{z+2i}{2z-3} = 3 - i$.
On remarque tout d'abord que : $z\neq\dfrac{3}{2}$, le dénominateur ne pouvant s'annuler. Ceci noté, nous pouvons résoudre l'équation.

$\dfrac{z+2i}{2z-3}$ $=$ $3 - i$
$z+ 2i$ $=$ $(3-i)(2z-3)$
$z - 2(3-i)z$ $=$ $-3\times(3-i)-2i$
$(-5+2i)z$ $=$ $-9 + i$
$ z$ $=$ $\dfrac{-9+i}{-5+2i}$
$ z$ $=$ $\dfrac{(-9+i)(-5-2i)}{5^2+2^2}$
$ z$ $=$ $\dfrac{47+13i}{29}$
$ z$ $=$ $\dfrac{47}{29}+\dfrac{13}{29}i$


L'équation $\dfrac{z+2i}{2z-3} = 3 - i$ possède une unique solution dans $\mathbb{C}$ : $\dfrac{47}{29} + \dfrac{13}{29}i$.
Équation du second degré
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels, avec $a\neq0$.
Pour étudier les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation : $az^2+bz+c=0$, on calcule tout d'abord : $\Delta = b^2-4ac$.

$\bullet$ Si $\Delta>0$, l'équation admet deux solutions réelles : $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

$\bullet$ Si $\Delta=0$ l'équation admet une solution (dite double) $z_1=\dfrac{-b}{2a}$.

$\bullet$ Si $\Delta<0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
En effet, si $\Delta<0$, alors $\Delta = (i\sqrt{-\Delta})^2$, et les solutions sont :

$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Résoudre l'équation : $x^2+x+1=0$. Le discriminant vaut $\Delta$ $=$ $-3$ $=$ $(\sqrt{3}i)^2$.
Ainsi, l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :

$\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$,
et
$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.