Terminale S - Nombres complexes
Partie 1 : forme algébrique / équationsDéfinitionsLe nombre $i$
On imagine qu'il existe une solution à l'équation $x^2+1=0$.
On appelle $i$ un tel nombre.
On a donc $i^2=-1$.
$i$ n'est pas un nombre réel puisque si $x\in\mathbb{R}$, $x^2$ $>0$.
Il existe un ensemble que l'on note $\mathbb{C}$,ensemble des nombrescomplexes qui possède les propriétés suivantes :
$\bullet$ $\mathbb{C}$ contient le nouveau nombre $i$,
$\bullet$ $\mathbb{C}$ contient tous les nombres réels,
$\bullet$ l'addition et la multiplication des nombres réelsse prolongent aux nombres complexeset les règles de calcul sont les mêmes,
$\bullet$ tout nombre complexe $z$s'écrit de manière unique$z=x+iy$,avec $x$ et $y$ des réels.
$z=-4+3i$
$z'=-2i$
$z''=\sqrt{2}$
sont des nombres complexes.Vocabulaire
L'écriture $z=x+iy$ est appelée forme algébriquede $z$. $x$ est appelé partie réellede $z$notée$Re(z)$. $y$ est appelépartie imaginairede $z$notée$Im(z)$.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des complexes $z=-4+3i$, $z'=-2i$ et $z''=\sqrt{2}$.
$Re(z)=-4$,$Im(z)=3$. $Re(z')=0$,$Im(z)=-2$. $Re(z'')=\sqrt{2}$,$Im(z)=0$.ATTENTION : la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel. L'erreur classique
des élèves est de l'écrire avec le nombre $i$, ce qui est bien entendu faux.
Représentation graphique des nombres complexes
On munit le plan d'un repère orthonormé.
A tout nombre complexe $z= x+iy$ on peut associer le point $M$ de coordonnées $(x;y)$. On dit que le point $M$ est l'imagede $z$.
Réciproquement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(x;y)$ on associe le nombre complexe $z=x+iy$et$z$est appelél'affixe de $M$.
On se place dans le graphique ci-dessous.
Déterminer les affixes des points $A$, $B$ et $C$ sont.
Placer les images des nombres complexes : $1+i$, $1-i$, $3+2i$, $-4-2i$.
Les affixes des points $A$, $B$ et $C$ sont :
$z_A=-3+2i$,$z_B = -2-2i$et$z_C=4+i$.
Plaçons les images des nombres complexes : $1+i$, $1-i$, $3+2i$, $-4-2i$.
À tout point $M(z)$ on peut associer $M'$ son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. L'affixe de ce point est appelé conjugué de $z$ et on le note $\overline{z}$.Déplacer le point M
Si $M(z)$ est sur l'axe des abscisses alors $Im(z)$ $=$ $0$ et $z\in$ $\mathbb{R}$.
L'axe des abscisses est appelé axe des réels.
Si $M(z)$ est sur l'axe des ordonnées alors $Re(z)=$ $0$ et $z=$ $iy$, avec $y\in$ $\mathbb{R}$.
L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.Opérations sur les nombres complexesEgalité
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmepartie réelleetmême partie imaginaire.Addition
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes d'écriture algébrique $z=x+iy$et$z'=x'+iy'$.
Alors, $z+z'$$=$$x+x'+i(y+y')$.$z+\overline{z}$$=$$2Re(z)$. $z-\overline{z}$$=$$2Im(z)$.Multiplication
Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $(2+i)(5-4i)$
$(2+i)(5-4i)$
$=$
$10 - 8i +5i-4i^2$
$=$
$10 - 3i + 4$
$=$
$14 -3i.$
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes d'écriture algébrique $z=x+iy$et$z'=x'+iy'$.
Alors, $z\times z'$$=$$xx'-yy'+i(xy'+x'y).$Preuve
$z\times z'$
$=$
$(x+iy)(x'+iy')$
$=$
$xx'+ixy' + ix'y -yy'$
$=$
$xx' - yy' + i( xy'+x'y).$1$_\square$
Ecrire sous forme algébrique $\dfrac{1}{4+2i}$.
Le problème ici, est qu'il y a un nombre complexe au dénominateur. Nous allons utiliser ici une méthode classique, qui
consiste à utiliser la troisième identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Cette méthode porte le nom de "multiplication par la quantité conjuguée".
$\dfrac{1}{4+2i}$
$=$
$\dfrac{1}{4+2i}\times\dfrac{4-2i}{4-2i}$
$=$
$\dfrac{4-2i}{4^2-(2i)^2}$
$=$
$\dfrac{4-2i}{16 - 2^2\times i^2}$
$=$
$\dfrac{4-2i}{16+4}$
$=$
$\dfrac{4-2i}{20}$
$=$
$ \dfrac{4}{20}-\dfrac{2i}{20}$
$=$
$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}i$
Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme algébrique $z=x+iy$.
$\dfrac{1}{z}$$=$$\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}.$Preuve
On utilise ici encore la méthode de la multiplication par le conjugué.
Module d'un nombre complexe
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels et soit $z$ tel que $z=x+iy$. Le module de $z$,noté$|z|$,est le nombre réel :
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$
Déterminer les modules des nombres complexes $z_1=1+i$, $z_2=1-i\sqrt{3}$ et $z_3=-13$.
$|z_1|$$=$$\sqrt{1^2+1^2}$$=$$\sqrt{2}$. $|z_2|$$=$$\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}$$=$$\sqrt{4}$$=$$2$. $|z_3|$$=$$\sqrt{(-13)^2+0^2}$$=$$\sqrt{169}$$=$$13$.
Le module d'un nombre réel correspond à sa valeur absolue.
On se place dans le plan complexe $(O,\vec{u},\vec{v})$ et considère le point $M$ d'affixe $z\in\mathbb{C}$. On a alors :
$OM = |z|$.
Déplacer le point $M$
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z|=1$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n\in\mathbb{N}$. On a alors :
Nous avons vu que : $zz'$$=$$(x+iy)(x'+iy')$$=$$xx'- yy'+i(xy'+yx')$.
Ainsi :
$|zz'|^2$$=$$(xx'-yy')^2+(xy'+yx')^2$$=$$(xx')^2-2xx'yy'+(yy')^2+(xy')^2+2xx'yy'+(yx')^2$$=$$(xx')^2+(yy')^2+(xy')^2+(yx')^2$.
Par ailleurs :
$(|z||z'|)^2$$=$$|z|^2|z'|^2$$=$$(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)$$=$$x^2x'2+x^2y'^2+y^2x'^2+y^2y'^2$.
On a donc bien : $|zz'|$ $=$ $|z||z'|$.
Cette propriété se démontre par récurrence sur $n$ en utilisant la formule précédente.
On a :
$\dfrac{1}{z'}$$=$$\dfrac{x'}{|z'|^2}-i\dfrac{y'}{|z'|^2}$$=$$\dfrac{\overline{z'}}{|z'|^2}$.
Et donc :
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$$=$$\left| \dfrac{z\overline{z'}}{|z'|^2} \right|$$=$$\dfrac{|z\overline{z'}|}{||z'|^2|}$$=$ $\dfrac{|z||\overline{z'}|}{|z'|^2}$$=$$\dfrac{|z||z'|}{|z'|^2}$$=$$\dfrac{|z|}{|z'|}$.
Équations complexesÉquation du premier degré
Résoudre l'équation : $(3+i)z+2i = 2-z+5i$.
$(3+i)z+2i$
$=$
$2-z+5i$
$(3+i)z + z$
$=$
$2+5i-2i$
$(4+i)z $
$=$
$2 + 3i $
$z$
$=$
$\dfrac{2+3i}{4+i} $
$z$
$= $
$\dfrac{(2+3i)(4-i)}{4^2+1^2} $
$z$
$=$
$\dfrac{11+10i}{17} $
$z$
$=$
$\dfrac{11}{17} + \dfrac{10}{17}i$
L'équation $(3+i)z+2i = 2-z+5i$ possède une unique solution dans $\mathbb{C}$ : $\dfrac{11}{17} + \dfrac{10}{17}i$.
Résoudre l'équation : $\dfrac{z+2i}{2z-3} = 3 - i$.
On remarque tout d'abord que : $z\neq\dfrac{3}{2}$, le dénominateur ne pouvant s'annuler. Ceci noté, nous pouvons résoudre l'équation.
$\dfrac{z+2i}{2z-3}$
$=$
$3 - i$
$z+ 2i$
$=$
$(3-i)(2z-3)$
$z - 2(3-i)z$
$=$
$-3\times(3-i)-2i$
$(-5+2i)z$
$=$
$-9 + i$
$ z$
$=$
$\dfrac{-9+i}{-5+2i}$
$ z$
$=$
$\dfrac{(-9+i)(-5-2i)}{5^2+2^2}$
$ z$
$=$
$\dfrac{47+13i}{29}$
$ z$
$=$
$\dfrac{47}{29}+\dfrac{13}{29}i$
L'équation $\dfrac{z+2i}{2z-3} = 3 - i$ possède une unique solution dans $\mathbb{C}$ : $\dfrac{47}{29} + \dfrac{13}{29}i$.Équation du second degré
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels, avec $a\neq0$.
Pour étudier les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation : $az^2+bz+c=0$, on calcule tout d'abord : $\Delta = b^2-4ac$.
$\bullet$ Si $\Delta>0$,l'équation admet deux solutions réelles :$z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$et$z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\bullet$ Si $\Delta=0$l'équation admet une solution (dite double) $z_1=\dfrac{-b}{2a}$.
$\bullet$ Si $\Delta<0$,l'équation admet deux solutions complexes conjuguées. En effet,si $\Delta<0$,alors$\Delta = (i\sqrt{-\Delta})^2$,et les solutions sont :
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$et$z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Résoudre l'équation : $x^2+x+1=0$.
Le discriminant vaut $\Delta$$=$$-3$$=$$(\sqrt{3}i)^2$.
Ainsi, l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
$\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$=$$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$, et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.