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Terminale S - Nombres complexes
Partie 1 : forme algébrique / équations 1Définitions 1.1Le nombre

i

Definition 1
On imagine qu'il existe une solution à l'équation

x^2+1=0

On appelle

i

un tel nombre. Remark 1 On a donc

i^2=-1

Remark 2

i

n'est pas un nombre

réel

puisque si

x\in\mathbb{R}

x^2

>0

Definition 2
Il existe un ensemble que l'on note

\mathbb{C}

ensemble des nombres

complexes

qui possède les propriétés suivantes :

\bullet

\mathbb{C}

contient le nouveau nombre

i

\bullet

\mathbb{C}

contient tous les nombres réels,

\bullet

l'addition et la multiplication des nombres réels

se prolongent aux nombres complexes

et les règles de calcul sont les mêmes,

\bullet

tout nombre complexe

z

s'écrit de manière unique

z=x+iy

avec

x

y

des réels.

Exemple 1

z=-4+3i

z'=-2i

z''=\sqrt{2}

sont des nombres complexes.

1.2Vocabulaire Definition 3
L'écriture

z=x+iy

est appelée

forme algébrique

z

x

est appelé

partie réelle

z

notée

Re(z)

y

est appelé

partie imaginaire

z

notée

Im(z)

Exercice 1 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des complexes

z=-4+3i

z'=-2i

z''=\sqrt{2}

Correction

Re(z)=-4

Im(z)=3

Re(z')=0

Im(z)=-2

Re(z'')=\sqrt{2}

Im(z)=0

Remark 3 ATTENTION : la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre

réel

. L'erreur classique des élèves est de l'écrire avec le nombre

i

, ce qui est bien entendu faux. 1.3Représentation graphique des nombres complexes Definition 4
On munit le plan d'un repère orthonormé.
A tout nombre complexe

z= x+iy

on peut associer le point

M

de coordonnées

(x;y)

. On dit que le point

M

est l'image

z

Réciproquement, à tout point

M

du plan de coordonnées

(x;y)

on associe le nombre complexe

z=x+iy

z

est appelé

l'affixe de

M

Exercice 2 On se place dans le graphique ci-dessous.

0,0

Déterminer les affixes des points $A$ , $B$ et $C$ sont.
Placer les images des nombres complexes : $1+i$ , $1-i$ , $3+2i$ , $-4-2i$ .

Correction

Les affixes des points $A$ , $B$ et $C$ sont :

$z_A=-3+2i$ ,

$z_B = -2-2i$

et

$z_C=4+i$ .
Plaçons les images des nombres complexes : $1+i$ , $1-i$ , $3+2i$ , $-4-2i$ .

0,0
A
B
C
1+i
1-i
3+2i
-4-2i

Definition 5
À tout point

M(z)

on peut associer

M'

son

symétrique

par rapport à

l'axe des ordonnées.

L'affixe

de ce point est appelé

conjugué de

z

et on le note

\overline{z}

0,0

M a pour affixe z=x+iy

M' a pour affixe z=x-iy

Déplacer le point M Definition 6
Si

M(z)

est

sur l'axe des abscisses

alors

Im(z)

=

0

z\in

\mathbb{R}

L'axe des abscisses est appelé

axe des réels.

M(z)

est

sur l'axe des ordonnées

alors

Re(z)=

0

z=

iy

avec

y\in

\mathbb{R}

L'axe des ordonnées est appelé

axe des imaginaires purs.

0,0

Axe des réels

Axe des imaginaires purs

2Opérations sur les nombres complexes 2.1Egalité Property 1
Deux nombres complexes sont

égaux

si et seulement si

ils ont même

partie réelle

même partie imaginaire.

2.2Addition Property 2
Soient

z

z'

deux nombres complexes d'écriture algébrique

z=x+iy

z'=x'+iy'

Alors,

z+z'

=

x+x'+i(y+y')

Remark 4

z+\overline{z}

=

2Re(z)

z-\overline{z}

=

2Im(z)

2.3Multiplication Exercice 3 Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe

(2+i)(5-4i)

Correction

$(2+i)(5-4i)$	$=$	$10 - 8i +5i-4i^2$
	$=$	$10 - 3i + 4$
	$=$	$14 -3i.$

Property 3
Soient

z

z'

deux nombres complexes d'écriture algébrique

z=x+iy

z'=x'+iy'

Alors,

z\times z'

=

xx'-yy'+i(xy'+x'y).

Preuve

$z\times z'$	$=$	$(x+iy)(x'+iy')$
	$=$	$xx'+ixy' + ix'y -yy'$
	$=$	$xx' - yy' + i( xy'+x'y).$ $_\square$

Exercice 4 Ecrire sous forme algébrique

\dfrac{1}{4+2i}

Correction

Le problème ici, est qu'il y a un nombre complexe au dénominateur. Nous allons utiliser ici une méthode classique, qui consiste à utiliser la troisième identité remarquable

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Cette méthode porte le nom de "multiplication par la quantité

conjuguée

$\dfrac{1}{4+2i}$	$=$	$\dfrac{1}{4+2i}\times\dfrac{4-2i}{4-2i}$
	$=$	$\dfrac{4-2i}{4^2-(2i)^2}$
	$=$	$\dfrac{4-2i}{16 - 2^2\times i^2}$
	$=$	$\dfrac{4-2i}{16+4}$
	$=$	$\dfrac{4-2i}{20}$
	$=$	$\dfrac{4}{20}-\dfrac{2i}{20}$
	$=$	$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}i$

Property 4
Soit

z

un nombre complexe non nul de forme algébrique

z=x+iy

\dfrac{1}{z}

=

\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}.

Preuve
On utilise ici encore la méthode de la multiplication par le conjugué.

$\dfrac{1}{z}$ $=$ $\dfrac{1}{x+iy}$	$=$	$\dfrac{1}{x+iy}\times$ $\dfrac{x-iy}{x-iy}$
	$=$	$\dfrac{x-iy}{x^2-(iy)^2}$
	$=$	$\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}$
	$=$	$\dfrac{x}{x^2+y^2} - i\dfrac{y}{x^2+y^2}.$ $_\square$

Remark 5 Pour le quotient de deux nombres complexes

z

z'

, avec

z'

non nul, on utilise l'égalité :

\dfrac{z}{z'}

=

z \times \dfrac{1}{z'}.

2.4Propriété du conjugué Property 5

$\overline{z+z'}$

$=$

$\overline{z} + \overline{z'}$
$\overline{z\times z'}$

$=$

$\overline{z}\times\overline{z'}$
$\overline{\overline{z}}$

$=$

$z$

2.5Module d'un nombre complexe Definition 7
Soient

x

y

deux nombres réels et soit

z

tel que

z=x+iy

Le module de

z

noté

|z|

est le nombre réel :

|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

Exercice 5 Déterminer les modules des nombres complexes

z_1=1+i

z_2=1-i\sqrt{3}

z_3=-13

Correction

|z_1|

=

\sqrt{1^2+1^2}

=

\sqrt{2}

|z_2|

=

\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}

=

\sqrt{4}

=

2

|z_3|

=

\sqrt{(-13)^2+0^2}

=

\sqrt{169}

=

13

Remark 6 Le module d'un nombre réel correspond à

sa valeur absolue

. Property 6 On se place dans le plan complexe

(O,\vec{u},\vec{v})

et considère le point

M

d'affixe

z\in\mathbb{C}

. On a alors :

OM = |z|

0,0

\vec{u}

\vec{v}

|z|

Déplacer le point

M

Exemple 2 L'ensemble des points

M

d'affixe

z

tel que

|z|=1

est

le cercle de centre

O

et de rayon

1

Property 7
Soit

z

z'

deux nombres complexes et

n\in\mathbb{N}

. On a alors :

$|\overline{z}|$

$=$

$|z|$ .
$z\overline{z}$

$=$

$|z|^2$ .
$|zz'|$

$=$

$|z||z'|$ .
$|z^n|$

$=$

$|z|^n$ .
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$

$=$

$\dfrac{|z|}{|z'|}$ .

Preuve
Soient

x

y

les parties réelles et imaginaires de

z

x'

y'

celles de

z'

. On a alors :

\overline{z}

=

x-iy

$|\overline{z}|$

$=$

$|x-iy|$

$=$

$\sqrt{x^2+(-y)^2}$

$=$

$\sqrt{x^2+y^2}$

$=$

$|z|$ .
$z\overline{z}$

$=$

$(x+iy)(x-iy)$

$=$

$x^2-ixy+ixy-i^2y^2$

$=$

$x^2+y^2$

$=$

$|z|$ .
Nous avons vu que :
$zz'$

$=$

$(x+iy)(x'+iy')$

$=$

$xx'- yy'+i(xy'+yx')$ .

Ainsi :

$|zz'|^2$

$=$

$(xx'-yy')^2+(xy'+yx')^2$

$=$

$(xx')^2-2xx'yy'+(yy')^2+(xy')^2+2xx'yy'+(yx')^2$

$=$

$(xx')^2+(yy')^2+(xy')^2+(yx')^2$ .

Par ailleurs :

$(|z||z'|)^2$

$=$

$|z|^2|z'|^2$

$=$

$(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)$

$=$

$x^2x'2+x^2y'^2+y^2x'^2+y^2y'^2$ .

On a donc bien :
$|zz'|$ $=$ $|z||z'|$ .
Cette propriété se démontre par
récurrence sur $n$
en utilisant la formule précédente.
On a :

$\dfrac{1}{z'}$

$=$

$\dfrac{x'}{|z'|^2}-i\dfrac{y'}{|z'|^2}$

$=$

$\dfrac{\overline{z'}}{|z'|^2}$ .

Et donc :

$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$

$=$

$\left| \dfrac{z\overline{z'}}{|z'|^2} \right|$

$=$

$\dfrac{|z\overline{z'}|}{||z'|^2|}$

$=$
$\dfrac{|z||\overline{z'}|}{|z'|^2}$

$=$

$\dfrac{|z||z'|}{|z'|^2}$

$=$

$\dfrac{|z|}{|z'|}$ .

3Équations complexes 3.1Équation du premier degré Exercice 6 Résoudre l'équation :

(3+i)z+2i = 2-z+5i

Correction

$(3+i)z+2i$	$=$	$2-z+5i$
$(3+i)z + z$	$=$	$2+5i-2i$
$(4+i)z$	$=$	$2 + 3i$
$z$	$=$	$\dfrac{2+3i}{4+i}$
$z$	$=$	$\dfrac{(2+3i)(4-i)}{4^2+1^2}$
$z$	$=$	$\dfrac{11+10i}{17}$
$z$	$=$	$\dfrac{11}{17} + \dfrac{10}{17}i$

L'équation

(3+i)z+2i = 2-z+5i

possède une unique solution dans

\mathbb{C}

\dfrac{11}{17} + \dfrac{10}{17}i

Exercice 7 Résoudre l'équation :

\dfrac{z+2i}{2z-3} = 3 - i

Correction

On remarque tout d'abord que :

z\neq\dfrac{3}{2}

le dénominateur ne pouvant s'annuler. Ceci noté, nous pouvons résoudre l'équation.

$\dfrac{z+2i}{2z-3}$	$=$	$3 - i$
$z+ 2i$	$=$	$(3-i)(2z-3)$
$z - 2(3-i)z$	$=$	$-3\times(3-i)-2i$
$(-5+2i)z$	$=$	$-9 + i$
$z$	$=$	$\dfrac{-9+i}{-5+2i}$
$z$	$=$	$\dfrac{(-9+i)(-5-2i)}{5^2+2^2}$
$z$	$=$	$\dfrac{47+13i}{29}$
$z$	$=$	$\dfrac{47}{29}+\dfrac{13}{29}i$

L'équation

\dfrac{z+2i}{2z-3} = 3 - i

possède une unique solution dans

\mathbb{C}

\dfrac{47}{29} + \dfrac{13}{29}i

3.2Équation du second degré Property 8
Soient

a

b

c

trois nombres réels, avec

a\neq0

.
Pour étudier les solutions dans

\mathbb{C}

de l'équation :

az^2+bz+c=0

on calcule tout d'abord :

\Delta = b^2-4ac

\bullet

\Delta>0

l'équation admet deux solutions réelles :

z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

\bullet

\Delta=0

l'équation admet une solution (dite double)

z_1=\dfrac{-b}{2a}

\bullet

\Delta<0

l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.

En effet,

\Delta<0

alors

\Delta = (i\sqrt{-\Delta})^2

et les solutions sont :

z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}

z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}

Exercice 8 Résoudre l'équation :

x^2+x+1=0

Correction

Le discriminant vaut

\Delta

=

-3

=

(\sqrt{3}i)^2

Ainsi, l'équation possède

deux solutions complexes conjuguées :

\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}

=

-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i

-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i