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Terminale S - Probabilités élémentaires et conditionnelles 1Révisions 1.1Définition d'une expérience aléatoire Definition 1 -- Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles mais on ne peut prévoir le résultat à l'avance avec certitude car le hasard intervient.
Exemple 1 Definition 2
L'ensemble des issues possibles est appelé
univers
et est généralement noté
Ω\Omega.

Chaque issue est aussi appelée
événement élémentaire.

Un événement est
une partie de l'univers.
Exemple 2 1.2Loi de probabilité Definition 3
On dit que l'on définit une
loi de probabilité
pp sur l'univers Ω\Omega lorsque l'on
associe
à chaque issue
xix_i
un nombre réel compris entre
00 et 11
noté p(xi)p(x_i)
pip_i est appelé
la probabilité
de l'issue xix_i, la somme des probabilités de toutes les issues devant être égale à
11.
Ainsi, on a :
p(xi)=\sum p(x_i)=
11
$\mbox{ et },$
i,0p(xi)1.\forall i, 0\leq p(x_i)\leq 1.
Remark 1 On dit que la loi est
équiprobable
si toutes les issues ont la même probabilité et alors
p(xi)=p(x_i)=
1card(Ω)\dfrac{1}{\mathrm{card}(\Omega)}.

C'est le cas des deux exemples précédents. Definition 4
La probabilité d'un événement AA notée p(A)p(A) est la somme des issues favorables à cet événement.
Exemple 3 Dans l'expérience aléatoire du lancer de dé cubique, on pose AA l'événement "obtenir un multiple de trois".
On a alors : A={3;6}A=\{ 3;6 \} et
p(A)p(A)
==
p({3})+p({6})p(\{3\})+p(\{6\})
==
16+16\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}
==
13\dfrac{1}{3}.
Property 1
Soit pp une loi de probabilité sur un univers Ω\Omega.
1.3Propriétés algébriques Definition 5 -- Intersection de deux événements
L'intersection de deux événements AA et BB notée
ABA\cap B
est l'événement constitué des issues qui sont à la fois favorables à AA
et
BB.
Definition 6 -- Réunion de deux événements
La réunion de deux événements AA et BB notée
ABA\cup B
est l'événement constitué des issues qui sont favorables
à l'un au moins
des deux événements.
Exemple 4 Dans l'exemple 1, si AA est l'événement obtenir un résultat pair et BB est l'événement obtenir un résultat multiple de trois, alors ABA\cap B est l'événement avoir un nombre pair ET un multiple de trois : A={2;4;6}A= \{ 2;4;6 \}; B={3;6}B=\{3;6\}; AB=A\cap B =
{6}\{ 6 \}.
Puis, AB=A\cup B =
{2;3;4;6}\{ 2;3;4;6 \}.
Property 2 -- Probabilité de la réunion
P(AB)P(A\cup B)
==
P(A)+P(B)P(AB).P(A)+P(B) - P(A\cap B).
A
B
Pour déterminer la probabilité de l'événements ABA\cup B, on compte le nombre d'éléments de AA, on ajoute ceux que l'on compte dans BB et on retire ceux que l'on a compté deux fois, à savoir ceux de ABA\cap B.
Remark 2 Si deux événements AA et BB sont incompatibles (ou disjoints) alors :
AB=A \cap B = \emptyset et P(AB)=P(A)+P(B)P(A\cup B) = P(A)+P(B).
A
B
1.4Événement contraire Definition 7 -- Événement contraire
L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement AA est l'événement constitué de toutes les issues
qui ne sont pas favorables
à AA. On le note
A\overline{A}.
A
A
2Probabilités conditionnelles 2.1Exemple introductif Le laboratoire Santeol met au point un test rapide de dépistage d'une maladie identifiable de manière certaine par une prise de sang. Le laboratoire publie les données suivantes obtenues à l'issue d'études cliniques :
Ce laboratoire estime qu'un test est fiable si sa valeur prédictive, c'est à dire la probabilité qu'un individu soit malade sachant que le est positif, est supérieure à 0,999.
Le test est-il fiable ? 2.2Définition Definition 8 -- Probabilités conditionnelles
Soient AA et BB deux événements de Ω\Omega avec AA\neq\emptyset.
La probabilité de BB sachant AA
(que AA est réalisé)
est le nombre noté
PA(B)P_A(B)
==
P(AB)P(A)\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Property 3
Soient AA et BB deux événements avec AA\neq\emptyset et BB\neq\emptyset.
P(AB)P(A\cap B)
==
PA(B)×P(A)P_A(B)\times P(A)
et
P(AB)P(A\cap B)
==
PB(A)×P(B)P_B(A)\times P(B).
Conséquences
2.3Formule des probabilités totales Property 4 Probabilités totales
Représentation par un arbre pondéré
AA A\overline{A} BB B\overline{B} BB B\overline{B} P(A)P(A) P(A)P(\overline{A}) PA(B)P_A(B) PA(B)P_A(\overline{B}) PA(B)P_{\overline{A}}(B) PA(B)P_{\overline{A}}(\overline{B})
Retour à l'exemple du laboratoire Santeol
On choisit un individu au hasard parmi la population étudiée.
MM M\overline{M} TT T\overline{T} TT T\overline{T} 0,50,5 0,50,5 0,990,99 0,010,01 0,0010,001 0,9990,999
Alors, d'après la formule des probabilités totales :
P(T)P(T)
==
P(M)×PM(T)+P(M)×PM(T)P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T),

P(T)=0,5×0,99+0,5×0,0001P(T)=0,5\times0,99+0,5\times0,0001

P(T)=0,4955P(T)=0,4955.

D'où
PT(M)P_T(M)
==
P(TM)P(T)\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)}
0,9989\simeq0,9989.

Le test n'est donc pas fiable.
2.4Généralisation Definition 9 -- Partition de l'univers
On dit que les nn ensembles, A1A_1, A2A_2, \dots, AnA_n forment une
partition
de l'univers Ω\Omega si :
Property 5 -- Généralisation de la formule des probabilités totales
Soit A1A_1, A2A_2, \dots, AnA_n une partition de Ω\Omega. Alors pour tout événement AA de Ω\Omega, on a :
3Indépendance Definition 10 -- Événements indépendants
Dire que AA et BB sont deux événements
indépendants,
avec AA\neq\emptyset et BB\neq\emptyset signifie que :
Avertissement !
Pour dire si deux événements sont indépendants il faut toujours s'appuyer sur la définition du cours et les données de l'énoncé, mais surtout pas sur une intuition liée à la vie courante ! Exemple 5 Il y a indépendance dans les situations suivantes : Il n'y a PAS indépendance si les tirages successifs sont SANS remise. Property 6 -- Utilisation de l'indépendance
Lorsqu'il y a
indépendance,
la probabilité d'obtenir une
liste
de résultats s'obtient en
multipliant
les probabilités de chaque résultat.
Exemple 6 JP prend une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes alors qu'au même moment JC lance un dé cubique parfait et HR lance une pièce de monnaie.
Quelle est la probabilité d'obtenir (V;6;F)(V;6;F) ?
P((V;6;F))P((V;6;F))
==
P(V)×P(6)×P(F)P(V)\times P(6)\times P(F)
==
432×16×12\dfrac{4}{32}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}
==
196\dfrac{1}{96}.
Property 7 -- Événements indépendants
Si AA et BB sont deux événements
indépendants,
alors
A\overline{A}
et
BB
le sont aussi.
Preuve
AA et A\overline{A}
forment
une partition
de
l'univers
donc :

P(AB)+P(AB)P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)
==
P(B)P(B).

Ainsi :

P(AB)P(\overline{A}\cap B)
==
P(B)P(AB)P(B) - P(A\cap B).

Or,
AA et BB sont
indépendants
donc,
P(AB)P(A\cap B)
==
P(A)×P(B)P(A)\times P(B)
et :

P(AB)P(\overline{A}\cap B)
==
P(B)P(A)×P(B)P(B) - P(A)\times P(B)
==
P(B)(1P(A))P(B)(1-P(A))
==
P(B)×P(A)P(B)\times P(\overline{A})

Nous pouvons alors conclure que
A\overline{A} et BB
sont
indépendants.