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Terminale S - Probabilités élémentaires et conditionnelles Révisions Définition d'une expérience aléatoire -- Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles mais on ne peut prévoir le résultat à l'avance avec certitude car le hasard intervient.

On lance un dé cubique parfait.
On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.

L'ensemble des issues possibles est appelé univers et est généralement noté $\Omega$.
Chaque issue est aussi appelée événement élémentaire.
Un événement est une partie de l'univers.

Pour le lancer de dé cubique on a : $\Omega =$ $\{ 1;2;3;4;5;6 \}$.
Il y a six résultats possibles à cette expérience ce qu'on note : $\mathrm{card(\Omega)}$ $=6$.

Loi de probabilité
On dit que l'on définit une loi de probabilité $p$ sur l'univers $\Omega$ lorsque l'on associe à chaque issue $x_i$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ noté $p(x_i)$ où $p_i$ est appelé la probabilité de l'issue $x_i$, la somme des probabilités de toutes les issues devant être égale à $1$. Ainsi, on a : $\sum p(x_i)=$ $1$ $\mbox{ et },$ $\forall i, 0\leq p(x_i)\leq 1.$ On dit que la loi est équiprobable si toutes les issues ont la même probabilité et alors $p(x_i)=$ $\dfrac{1}{\mathrm{card}(\Omega)}$.
C'est le cas des deux exemples précédents.
La probabilité d'un événement $A$ notée $p(A)$ est la somme des issues favorables à cet événement. Dans l'expérience aléatoire du lancer de dé cubique, on pose $A$ l'événement "obtenir un multiple de trois".
On a alors : $A=\{ 3;6 \}$ et $p(A)$ $=$ $p(\{3\})+p(\{6\})$ $=$ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.
Soit $p$ une loi de probabilité sur un univers $\Omega$.

$p(\emptyset) =$ $0$.
$p(\Omega) =$ $1.$
Pour tout événement $A$ de $\Omega$, si $p$ est la loi équiprobable alors $p(A)$ $=$ $\dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}$.

Propriétés algébriques -- Intersection de deux événements
L'intersection de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cap B$ est l'événement constitué des issues qui sont à la fois favorables à $A$ et $B$. -- Réunion de deux événements
La réunion de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cup B$ est l'événement constitué des issues qui sont favorables à l'un au moins des deux événements. Dans l'exemple 1, si $A$ est l'événement obtenir un résultat pair et $B$ est l'événement obtenir un résultat multiple de trois, alors $A\cap B$ est l'événement avoir un nombre pair ET un multiple de trois : $A= \{ 2;4;6 \}$; $B=\{3;6\}$; $A\cap B =$ $\{ 6 \}$. Puis, $A\cup B =$ $\{ 2;3;4;6 \}$. -- Probabilité de la réunion
$P(A\cup B)$ $=$ $P(A)+P(B) - P(A\cap B).$

Pour déterminer la probabilité de l'événements $A\cup B$, on compte le nombre d'éléments de $A$, on ajoute ceux que l'on compte dans $B$ et on retire ceux que l'on a compté deux fois, à savoir ceux de $A\cap B$.

Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) alors :
$A \cap B = \emptyset$ et $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$.

Événement contraire -- Événement contraire
L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement $A$ est l'événement constitué de toutes les issues qui ne sont pas favorables à $A$. On le note $\overline{A}$.

On a $A\cup \overline{A} =$ $\Omega$ et $A \cap \overline{A} =$ $\emptyset$.
Donc $p(\overline{A}) =$ $1 - p(A)$.

Probabilités conditionnelles Exemple introductif Le laboratoire Santeol met au point un test rapide de dépistage d'une maladie identifiable de manière certaine par une prise de sang. Le laboratoire publie les données suivantes obtenues à l'issue d'études cliniques :

La population étudiée comporte 50% d'individus malades.
Si un individu est malade, le test est positif dans 99% des cas.
Si un individu n'est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas.

Ce laboratoire estime qu'un test est fiable si sa valeur prédictive, c'est à dire la probabilité qu'un individu soit malade sachant que le est positif, est supérieure à 0,999.
Le test est-il fiable ? Définition -- Probabilités conditionnelles
Soient $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$ avec $A\neq\emptyset$.
La probabilité de $B$ sachant $A$ (que $A$ est réalisé) est le nombre noté $P_A(B)$ $=$ $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $A\neq\emptyset$ et $B\neq\emptyset$.
$P(A\cap B)$ $=$ $P_A(B)\times P(A)$ et $P(A\cap B)$ $=$ $P_B(A)\times P(B)$.

Conséquences

On a : $P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$ $=$ $P(A)$, donc :

$P_A(\overline{B})$ $=$ $\dfrac{P(A\cap\overline{B})}{P(A)}$

$=$ $\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}$

$=$ $1 - \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

$=$ $1 - P_A(B).$
Enfin, si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P_A(B)$ $=$ $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ $=$ $0$.

Formule des probabilités totales Probabilités totales

$P(B)$ $=$ $P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)$.
$P(B)$ $=$ $P(A)\times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$.

Représentation par un arbre pondéré

Retour à l'exemple du laboratoire Santeol

On choisit un individu au hasard parmi la population étudiée.

On note $M$ l'événement : "l'individu est malade".
On note $T$ l'événement : "le test est positif".

Alors, d'après la formule des probabilités totales : $P(T)$ $=$ $P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)$,
$P(T)=0,5\times0,99+0,5\times0,0001$
$P(T)=0,4955$.
D'où $P_T(M)$ $=$ $\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)}$ $\simeq0,9989$.
Le test n'est donc pas fiable. Généralisation -- Partition de l'univers
On dit que les $n$ ensembles, $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ si :

les ensembles $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ sont tous non vides,
les ensembles $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ sont incompatibles deux à deux,
la réunion de ces ensembles forme l'univers.

-- Généralisation de la formule des probabilités totales
Soit $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ une partition de $\Omega$. Alors pour tout événement $A$ de $\Omega$, on a :

$P(A)$ $=$ $P(A\cap A_1)+P(A\cap A_2)+\cdots + P(A\cap A_n),$
$P(A)$ $=$ $P(A_1)\times P_{A_1}(A) + \cdots + P(A_n)\times P_{A_n}(A).$

Indépendance -- Événements indépendants
Dire que $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, avec $A\neq\emptyset$ et $B\neq\emptyset$ signifie que :

$P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P(B)$,
ce qui équivaut à : $P_A(B)$ $=$ $P(B)$,
ou encore $P_B(A)$ $=$ $P(A)$.

Avertissement !

Pour dire si deux événements sont indépendants il faut toujours s'appuyer sur la définition du cours et les données de l'énoncé, mais surtout pas sur une intuition liée à la vie courante ! Il y a indépendance dans les situations suivantes :

tirages successifs avec remise,
lancers successifs d'un objet sans mémoire.

Il n'y a PAS indépendance si les tirages successifs sont SANS remise. -- Utilisation de l'indépendance
Lorsqu'il y a indépendance, la probabilité d'obtenir une liste de résultats s'obtient en multipliant les probabilités de chaque résultat. JP prend une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes alors qu'au même moment JC lance un dé cubique parfait et HR lance une pièce de monnaie.
Quelle est la probabilité d'obtenir $(V;6;F)$ ?
$P((V;6;F))$ $=$ $P(V)\times P(6)\times P(F)$ $=$ $\dfrac{4}{32}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{96}$. -- Événements indépendants
Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi.

Preuve

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers donc :
$P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)$ $=$ $P(B)$.
Ainsi :
$P(\overline{A}\cap B)$ $=$ $P(B) - P(A\cap B)$.
Or, $A$ et $B$ sont indépendants donc, $P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P(B)$ et :

$P(\overline{A}\cap B)$	$=$	$P(B) - P(A)\times P(B)$
	$=$	$P(B)(1-P(A))$
	$=$	$P(B)\times P(\overline{A})$

Nous pouvons alors conclure que $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

$P_A(\overline{B})$	$=$	$\dfrac{P(A\cap\overline{B})}{P(A)}$
	$=$	$\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}$
	$=$	$1 - \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
	$=$	$1 - P_A(B).$