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Terminale S - Dérivation Nombre dérivé - Fonction dérivée : définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, contenant les nombres $a$ et $a+h$ avec $h\neq0$

Déplacer le curseur pour modifier la valeur de $h$ Le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$.
Ou encore en posant $x=a+h$, le taux de variation vaut : $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.$

Graphiquement, ce taux correspondant au coefficient directeur de la sécante.

Lorsque le nombre $h$ se rapproche de $0$, la corde se rapproche d'une tangente. -- Nombre dérivé
La fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ existe et est finie. Dans ce cas cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$. On le note $f'(a)$, c'est-à-dire :

$\displaystyle{f'(a)=\lim_{x\mapsto a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ ou encore,

$\displaystyle{f'(a)=\lim_{h\mapsto 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}.$ Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $g(x)=\sqrt{x}$.
  1. Démontrer que $g$ est dérivable en tout $a>0$.
  2. Démontrer que $g$ n'est pas dérivable en $0$.

  1. $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}$$=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}}$
    $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}}$
    $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}}$
    $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}.$

    Donc, pour $a>0$, $g'(a)$ $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\mapsto 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto 0}\frac{\sqrt{x}}{x}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto 0}\frac{1}{\sqrt{x}}}$ $=$ $+\infty$.
    Donc $g$ n'est pas dérivable en $0$.
-- Fonction dérivable
On dit que $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ si elle est dérivable en tout nombre de $I$.
On peut alors définir une fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$.
On l'appelle la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $I$ et on la note $f'$. -- Tangente à une courbe
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. On considère le point $A(a,f(a))$. Si le nombre $f'(a)$ existe on a alors que, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
Glisser le point rouge pour déplacer la tangente -- Équation de la tangente
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$, est donnée par :

$y=f'(a)(x-a)+f(a).$
Preuve.

On sait tout d'abord que l'équation de la tangente est de la forme : $y=f'(a)x+b$ où $b$ reste à déterminer. Pour cela utilisons le fait que le point $A(a;f(a))$ appartient à la droite. Ainsi,

$f(a)$ $=$ $f'(a)a+b$
$\Longleftrightarrow$$b$$=$ $f(a)-f'(a)a.$


L'équation de la tangente est donc de la forme :

$y$$=$$f'(a)x+f(a)-f'(a)a$
$\Longleftrightarrow$ $y$$=$ $f'(a)(x-a)+f(a).$

Trouver l'équation de la tangente en $4$ à la courbe de la fonction $g$, définie par $g(x)=\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$. Nous savons que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+ \infty[$ et que $g'(x)$ $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
L'équation de la tangente à la courbe de $g$ en $4$ est donc :

$y$$=$ $g'(4)(x - 4)+g(4)$
$\Longleftrightarrow$$y$$=$$\dfrac{1}{2\sqrt{4}}(x-4)+\sqrt{4}$
$\Longleftrightarrow$$y$$=$$\dfrac{1}{4}(x-4)+2$
$\Longleftrightarrow$$y$$=$$\dfrac{1}{4}x+1.$
Calcul de la fonction dérivée Dérivée des fonctions usuelles Lors de l'exercice 1, nous avons en fait déterminé l'expression de la fonction dérivée de la fonction racine carrée.
Pour toutes les fonctions usuelles des calculs de limites similaires nous fournissent leur fonction dérivée. Nous en donnons ici directement les résultats.
$f(x)$ $f'(x)$ Intervalle de dérivabilité
$c$ (constante) 0$\mathbb{R}$
$x$1$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) $nx^{n-1}$$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$ $\dfrac{-1}{x^2}$$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x^n}$ $\dfrac{-n}{x^{n+1}}$$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\sqrt{x}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$]0;+\infty[$
Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$. Nous appliquons la formule du tableau donnant la dérivée de $\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=3$.
Ainsi, pour tout $x\in]0;+\infty[$, $f'(x)$ $=$ $\dfrac{-3}{x^2}$. Dérivation et opérations Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors $u+v$, $k\times u$, où $k$ est une constante multiplicative, et $u\times v$ sont dérivables sur $I$.
Si de plus $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{1}{v}$ et $\dfrac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$.

$(u+v)'$ $=$ $u'+v'$

$(k\times u)'$ $=$ $k\times u'$

$(u\times v)'$ $=$ $u'v+v'u$

$\left(\dfrac{1}{v}\right)'$ $=$ $\dfrac{-v'}{v^2}$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ $=$ $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ Les fonctions polynômes sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Les fonctions rationnelles sont dérivables sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Calculs de dérivées d'une fonction composée
Soient $u$ et $f$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

$(u^n)'$ $=$ $nu'u^{n-1}$ (pour $n\in\mathbb{N}$, $n\geq1$)

Si $u$ ne s'annule pas sur $I$,

$\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'$ $=$ $\dfrac{-nu'}{u^{n+1}}$ (pour $n\in\mathbb{N}$)

Si $u$ est strictement positive sur $I$,

$(\sqrt{u})'$ $=$ $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Pour tous réels $a$ et $b$, $\displaystyle{\left(f(ax+b)\right)'}$ $=$ $a\times f'(ax+b)$. Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies par :
  1. $f(t)=\sqrt{5-3t}$, sur $\displaystyle{\left]-\infty;\frac{5}{3}\right[}$,
  2. $g(x)=(3x^2+5)^4$, sur $\mathbb{R}$.
  1. La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(t)$ $=$ $5-3t$, et donc $u'(t)=-3$.
    Ainsi, pour tout $t\in\displaystyle{\left]-\infty;\frac{5}{3}\right[}$ :
    $g'(t)$ $=$ $\dfrac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}}$ $=$ $\dfrac{-3}{2\sqrt{5-3t}}$.
  2. La fonction $g$ est de la forme $u^4$ avec $u(x)$ $=$ $3x^2+5$, et donc : $u'(x)=6x$. Ainsi, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $g'(x)$ $=$ $4u'(x)u^3(x)$ $=$ $24x(3x^2+5)^3$.
Applications de la dérivation Dérivée et sens de variation
Soit $f$ une fonction définie sur intervalle $I$.

$\circ$ Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où $f(x)=0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$\circ$ Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où $f(x)=0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

$\circ$ Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$ alors $f$ est constante sur $I$. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3$. Déterminons tout d'abord l'expression algébrique de la fonction dérivée de $f$.
Pour tout réel $x$, $f'(x)$ $=$ $3x^2$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$, sauf pour $x=0$, donc d'après la propriété précédente, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. -- Extremun local
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ contenant $x_0$.
Si $f'$ s'annule, en changeant de signe en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un extremum local pour $f$ sur $I$. Étudier l'existence ou non d'un extremum local en $0$ pour les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^4$ et $g(x)=x^3$. Pour la fonction $f$.
On a $f'(x)$ $=$ $4x^3$, et donc $f'$ s'annule en $0$ en changeant de signe. En appliquant la propriété précédente nous avons donc que la fonction $f$ présente une minimum en $0$. On vérifie ici, que la courbe correspondante possède un sommet d'abscisse $x=0$.

Pour la fonction $g$.
On a $g'(x)$ $=$ $3x^2$, et $g'$ s'annule en $0$, mais en restant positive. Ainsi, la fonction $g$ ne possède pas d'extremun local en $0$, chose qui se vérifie en traçant la courbe de la fonction cube. Dérivabilité et continuité
Si une fonction est dérivable sur un intervalle $I$, alors elle est continue sur $I$. La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$, mais n'est pas dérivable en $0$.
On observe un "pic" en 0. Il n'existe aucune tangente en ce point. En effet, le taux d'accroissement en $0$ vaut : $\dfrac{|x|-|0|}{x-0}$ $=$ $\dfrac{|x|}{x}$ et on a :
$\displaystyle{\lim_{x \stackrel{\leq}{\rightarrow}0 }\dfrac{|x|}{x}}$ $=$ $-1$, alors que : $\displaystyle{\lim_{x \stackrel{\geq}{\rightarrow}0}\dfrac{|x|}{x}}$ $=$ $1$.
Ainsi, le taux d'accroissement de la fonction valeur absolue ne possède pas de limite en $0$ (puisqu'on obtient deux résultats différents en s'approchant de $0$ de deux manières différentes), elle n'est donc pas dérivable en $0$ (cf définition 2).