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Terminale S - Géométrie dans l'espace (1) Droites et plans de l'espace

On considère un cube $ABCDEFGH$ et $I$ le milieu de $[AB]$.

B C D A F G H E I
On illustrera diverses propriétés à partir de cette figure dans les sous-paragraphes suivants. Positions relatives Deux droites peuvent être :
Deux plans peuvent être :
La position d'une droite relativement à un plan peut être : Parallélisme
Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles. Montrer que dans notre figure $(AD)$ et $(FG)$ sont parallèles. $(AD)$ est parallèle à $(BC)$ car $ABCD$ est un carré, de plus $(BC)$ est parallèle à $(FG)$ car $CBGF$ est un carré, donc $(AD)$ est parallèle à $(FG)$.
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue par le plan. $(AD)$ est parallèle au plan $(FGI)$ puisque $(AD)$ est parallèle à $(FG)$.
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. Soit $ABCD$ est un parallélogramme et $S$ un point n'appartenant pas au plan $(ABC)$. Soient $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[SA]$, $[SB]$ et $[SC]$.
Montrer que les plans $(IJK)$ et $(ABC)$ sont parallèles. Construisons tout d'abord la figure.
A B C D S I J K

Dans le plan $(SAB)$, d'après le théorème des milieux, $(IJ)$ est parallèle à $(AB)$.
De même $(JK)$ est parallèle à $(BC)$ et d'après la propriété précédente on peut affirmer que les plans $(IJK)$ et $(ABC)$ sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles. Illustration
-- Théorème du toit
Soient $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ deux plans sécants.
Si une droite $d_1$ de $\mathscr{P}_1$ est parallèle à une droite $d_2$ de $\mathscr{P}_2$, alors la droite d'intersection de $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$. Illustration
$\mathscr{P}_1$ $\mathscr{P}_2$ $d_1$ $d_2$

Preuve
Une preuve vectorielle sera donnée plus loin dans ce cours. Orthogonalité
Deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont dites orthogonales s'il existe une droite $\mathscr{D}'_1$ parallèle à $\mathscr{D}_1$ et une droite $\mathscr{D}'_2$ parallèle à $\mathscr{D}_2$ telles que $\mathscr{D}'_1$ et $\mathscr{D}'_2$ soient perpendiculaires dans le plan qu'elles déterminent. Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sont donc sécantes.
Deux droites orthogonales peuvent ne pas être sécantes. Dans ce cas elles sont non-coplanaires.
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Illustration
Dans le cube du début de paragraphe, la droite $(FG)$ est perpendiculaire au plan $(ABE)$ puisqu'elle est orthogonale aux droites $(FB)$ et $(EF)$ (puisque les faces d'un cube sont des carrés).
B C D A F G H E I

Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan. À l'aide d'un stylo et d'une feuille de papier on peut retrouver les propriétés suivantes : Vecteurs et repérages dans l'espace
Les propriétés vues pour les vecteurs du plan restent valables pour les vecteurs de l'espace. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=$ $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{CB}.$ Repère
On considère un cube $ABCDEFGH$ dans un repère orthonormal de l'espace $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ donné ci-dessous où $\vec{i} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\vec{j} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$.
B C D A F G H E $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$
Les coordonnées des sommets du cube sont :
De même que dans le plan, on parlera de repère orthogonal lorsque les axes seront deux à deux perpendiculaires et de repère orthonormal lorsqu'il sera orthogonal et que les vecteurs unitaires, $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$, auront la même norme (longueur).
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points de l'espace. On considère deux points de l'espace $A(2;5;-4)$ et $B(4;-2;10)$.
  1. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
  2. Déterminer les coordonnées du point $C$ milieu de $[AB]$.
  3. Déterminer la longueur du segment $[AB]$.
  1. $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}x_B - x_A \ y_B-y_A \ z_B-z_A \end{array}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{c}2 \ -7 \ 14 \end{array}\right)$.

  2. $x_C$ $=$ $\dfrac{x_A+x_B}{2}$ = $3$.
    $y_C$ $=$ $\dfrac{y_A+y_B}{2}$ = $\dfrac{3}{2}$.
    $z_C$ $=$ $\dfrac{z_A+z_B}{2}$ = $3$.
    Le point $C$ a donc pour coordonnées : $C\left( 3;\dfrac{3}{2};3\right)$.

  3. $AB$ $= $ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2)}$ $=$ $\sqrt{249}$.
Vecteurs colinéaires La définition suivante est encore proche de celle donnée dans le plan.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si il existe une constante réelle $\lambda$ telle que $\vec{v}$ $=$ $\lambda\vec{u}$. On considère trois vecteurs de l'espace $\vec{u} \pmatrix{1\-2\7}$, $\vec{v} \pmatrix{-2\4\-14}$ et $\vec{w} \pmatrix{-9\2\0}$
On considère trois points de l'espace $A(3;3;2)$, $B(-7;3;22)$ et $C(1;3;6)$. Montrer que $C$ appartient à la droite $(AB)$. Montrons pour cela que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
$\overrightarrow{AB}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}x_B - x_A \ y_B-y_A \ z_B-z_A \end{array}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{c}-10 \ 0 \ 20 \end{array}\right)$.
$\overrightarrow{AC}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}x_C - x_A \ y_C-y_A \ z_C-z_A \end{array}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{c}-2 \ 0 \ 4 \end{array}\right)$.
Nous avons alors que : $\overrightarrow{AB}$ $=$ $5\overrightarrow{AC}$, ainsi les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés. Vecteurs coplanaires
Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leurs représentants de même origine $A$ ont leurs extrémités dans un même plan passant par $A$.
B C D A F G H E
Dans le cube ci-dessus : Les trois vecteurs de base d'un repère de l'espace ne sont pas coplanaires.
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ non tous nuls tels que :

$ \vec{w}$ $=$ $\lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$ Les vecteurs $\vec{u} \pmatrix{1\1\1}$, $\vec{v} \pmatrix{1\3\2}$ et $\vec{w} \pmatrix{2\0\1}$ sont coplanaires car $\vec{w}=3\vec{u}-\vec{v}$. Lorsque trois vecteurs seront connus par leurs coordonnées il ne sera pas toujours aussi aisé de montrer qu'ils sont coplanaires.
De manière générale on sera obligé de résoudre un système d'équations en posant $\lambda$ et $\mu$ (de l'écriture de la propriété précédente) en inconnues.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires. Montrer que les points $A(1;0;1)$, $B(2;2;4)$, $C(3;0;5 )$ et $D(5;4;11)$ sont coplanaires. Déterminons tout d'abord les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AB}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}x_B - x_A \ y_B-y_A \ z_B-z_A \end{array}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{c}1 \ 2 \ 3 \end{array}\right)$.

$\overrightarrow{AC}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}x_C - x_A \ y_C-y_A \ z_C-z_A \end{array}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{c}2 \ 0 \ 4 \end{array}\right)$.

$\overrightarrow{AD}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}x_D - x_A \ y_D-y_A \ z_D-z_A \end{array}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{c}4 \ 4 \ 10 \end{array}\right)$.

Nous remarquons que : $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ $=$ $\overrightarrow{AD}$.

Les points $A(1;0;1)$, $B(2;2;4)$, $C(3;0;5 )$ et $D(5;4;11)$ sont bien coplanaires. Caractérisation vectorielle dans l'espace
Concernant les droites

Pour définir une droite nous avons besoin : Caractérisation vectorielle d'une droite
On considère une droite $\mathscr{D}$ passant par un point $A$ et dirigée par un vecteur $\vec{u}$. Pour tout point $M$ de l'espace on a:
$M\in\mathscr{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
Concernant les plans

Pour définir un plan nous avons besoin : Caractérisation vectorielle d'un plan
On considère un plan $\mathscr{P}$ passant par un point $A$ et dirigée par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Pour tout point $M$ de l'espace on a:
$M\in\mathscr{P}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont coplanaires.
Quand on voudra vérifier que trois points de l'espace définissent un plan, il suffira de s'assurer que ceux-ci ne sont pas alignés, et donc que deux des vecteurs qu'ils définissent ne sont pas colinéaires.
Une droite $\mathscr{D}$ est parallèle à un plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est un vecteur de $\mathscr{P}$ (au sens "coplanaire à deux vecteurs non colinéaires de $\mathscr{P}$"). Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.
Démonstration du théorème du toit
Soit $\Delta$ la droite d'intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ et $\vec{w}$ un de ses vecteurs directeurs.
Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur de $d_1$. Puisque $d_1$ et $d_2$ sont parallèles, $\vec{u}$ est également un vecteur directeur de $d_2$.
Les droites $d_1$ et $d_2$ étant incluses dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$, $\vec{u}$ est également un vecteur de $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
Raisonnons par l'absurde :
Supposons que les droites ne soient pas parallèles, c'est-à-dire que $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne soient pas colinéaires. On aurait alors un même couple de vecteurs non colinéaires $(\vec{u};\vec{w})$ qui dirigerait les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
D'après la remarque précédente, $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ seraient donc parallèles, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse. $\Box$ Représentations paramétriques Paramétrisation d'une droite On considère une droite $\mathscr{D}$ passant par un point $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}=\pmatrix{a\b\c}\neq\vec{0}$.
En reprenant la caractérisation vectorielle d'une droite, nous avons les équivalences suivantes :
$M(x;y;z) \in \mathscr{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u}$ sont colinéaires
$\Longleftrightarrow$ $\text{ Il existe } t\in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t \vec{u}$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x-x_A & = & t\times a \ y-y_A & = & t\times b \ z-z_A & = & t\times c \end{array} \right. \text{ où } t\in\mathbb{R}$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & t\times a +x_A \ y & = & t\times b +y_A\ z & = & t\times c +z_A \end{array} \right. \text{ où } t\in\mathbb{R}$




Si $\mathscr{D}$ est la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur $\vec{u} \pmatrix{a\b\c}$. Alors :
$M(x;y;z) \in \mathscr{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & x_A + t\times a \ y & = & y_A + t\times b \ z & = & z_A + t\times c \end{array} \right.$ $\text{ pour } t\in \mathbb{R}.$
La réciproque est vraie. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A(31;1;29)$ et $B(12;-2;25)$ est :
$M(x;y;z) \in \mathscr{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & 31 + 19t \ y & = & 1 + 3t \ z & = & 29 + 4t \end{array} \right.$ $\text{ pour } t\in \mathbb{R}$
Nous avons ici utilisé les coordonnées du point $A$ et celles du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Nous aurions pu également utiliser les cordonnées du point $B$, celles du vecteur $\overrightarrow{BA}$ ou encore celles de $3\overrightarrow{AB}$, ou tout autre vecteur directeur de $(AB)$.
La paramétrisation aurait été différente, mais aurait bien définit la même droite.
Ceci nous conduit à faire la remarque suivante. Il n'y a pas d'unicité de la représentation paramétrique d'une droite. Paramétrisation d'un plan On considère un plan $\mathscr{P}$ passant par un point $A$ et dirigée par les vecteurs non colinéaires $\vec{u}=\pmatrix{a\b\c}$ et $\vec{v}=\pmatrix{a'\b'\c'}$.
En reprenant la caractérisation vectorielle d'un plan, nous avons les équivalences suivantes :
$M(x;y;z) \in \mathscr{P}$$\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}, \text{ }\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont coplanaires}$
$\Longleftrightarrow$ $\text{ Il existe } t, \text{ } t'\in \mathbb{R} \text{ tels que } \overrightarrow{AM} = t \vec{u} + t'\vec{v}$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x-x_A & = & t\times a + t'\times a'\ y-y_A & = & t\times b + t'\times b'\ z-z_A & = & t\times c + t'\times c' \end{array} \right. \text{ où } t,t'\in\mathbb{R}$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & t\times a + t'\times a'+x_A \ y & = & t\times b + t'\times b'+y_A\ z & = & t\times c + t'\times c'+z_A \end{array} \right. \text{ où } t,t'\in\mathbb{R}$.




Si $\mathscr{P}$ est le plan passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeurs $\vec{u} \pmatrix{a\b\c}$ et $\vec{v} \pmatrix{a'\b'\c'}$. Alors :
$M(x;y;z) \in \mathscr{P}$ $\Longleftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & t\times a + t'\times a' +x_A \ y & = & t\times b + t'\times b' +y_A\ z & = & t\times c + t'\times c' +z_A \end{array} \right.$ $\text{ où } t,t'\in\mathbb{R}$.

La réciproque est vraie. Soit $\mathscr{P}$ le plan et $\mathscr{D}$ la droite de représentation respectives :
$\left\{ \begin{array}{rrl} x & = & 1 + t \ y & = & 3 + t' \ z & = & 4 + t + 2t' \end{array} \right. \text{ pour } t,t'\in \mathbb{R} $
et
$\left\{ \begin{array}{rrl} x & = & 6 -k \ y & = & -4 + 2k \ z & = & 1 + k \end{array} \right. \text{ pour } k\in \mathbb{R} $
  1. Le point $A$ de $\mathscr{D}$ de paramètre $0$ appartient-il au plan $\mathscr{P}$ ?
  2. Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ est sécante au plan $\mathscr{P}$.
  1. Déterminons tout d'abord les coordonnées de $A$ en remplaçant $k$ par $0$ dans la paramétrisation de $\mathscr{D}$ : $A($$6$$;$$-4$$;$$1)$.
    En observant la paramétrisation de $\mathscr{P}$, si jamais $A\in\mathscr{P}$ il faut :
    $1+t=6$ et $3+t'=-4$, c'est-à-dire $t=5$ et $t'=-7$.
    Vérifions dans la paramétrisation de la cote : $z$ $=$ $4+t+2t'$ $=$ $4+5+2\times(-7)$ $=$ $-9$ $\neq$ $z_A$.
    Ainsi : $A\notin\mathscr{P}$.
  2. Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace. On a : $M(x;y;z)$ $\in$ $\mathscr{D}\cap\mathscr{P}$ si et seulement si :

    $\left\{\begin{array}{rcl} 1+t & = & 6 - k \ 3+t'& = & -4+2k \ 4+t+2t' & = & 1+k \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl} t+k & = & 5 \ t'-2k & = & -7 \ t+2t'-k & = & -3 \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} t+2t'-k & = & -3 & (1) \ t+k & = & 5 & (2) \ t'-2k & = & -7 & (3) \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} t+2t'-k & = & -3 & (1) \ t+k & = & 5 & (2) \ t+3k & = & 11 & (1)-2\times(3)=(3') \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} t+2t'-k & = & -3 & (1) \ t+k & = & 5 & (2) \ 2k & = & 6 & (3')-(2) \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} t+2t'-k & = & -3 & \ t+k & = & 5 & \ k & = & 3 & \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} t+2t'-k & = & -3 & \ t & = & 2 & \ k & = & 3 & \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} 2t' & = & -2 & \ t & = & 2 & \ k & = & 3 & \ \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcll} t' & = & -1 & \ t & = & 2 & \ k & = & 3 & \ \end{array}\right.$

    Ce système possède donc une unique solution, ce qui signifie que $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}$ sont sécants.
    Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection on remplace $k$ par 3 dans la paramétrisation de $\mathscr{D}$ et on obtient : $(3;2;4)$.