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Terminale S - Fonction exponentielle 1Définition de la fonction exponentielle On cherche les fonctions ff dérivables sur R\mathbb{R} telles que :
{f(0)=1f′=f \left\{ \begin{array}{rcl} f(0) & = & 1 \\ f' & = & f \\ \end{array} \right.

C'est-à-dire, que l'on cherche les fonctions ff définies et
dérivables
sur R\mathbb{R}, telles que pour tout réel xx,
f(x)=f′(x)f(x)=f'(x) :
les fonctions qui sont donc
identiques
à leur dérivée
et
qui valent 1
en 0.
1.1Théorème et définition  Théorème
Il existe
une unique fonction ff
définie et dérivable
sur R\mathbb{R}
telle que
f(0)=1f(0) = 1
et
f′=ff' = f.

Cette fonction est appelée fonction
exponentielle
et est notée
exp⁡\exp.
Démonstration

Deux points à montrer : Pour démontrer l'unicité d'une telle fonction, nous allons avoir besoin d'un résultat intermédiaire.  Lemme
Si ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que f(0)=1f(0)=1 et f′=ff' = f, alors :
Preuve

Preuve de l'unicité de la fonction exponentielle

On suppose qu'il existe
deux
fonctions
ff et gg
telles que :
f(0)=1f(0)=1, f′=ff' = f
et
g(0)=1g(0)=1, g′=gg' = g.

On cherche à démontrer qu'elles sont
égales.

Le lemme précédent, nous dit que gg
ne s'annule pas,
on peut donc définir sur R\mathbb{R}, la fonction hh, par
h=fgh=\dfrac{f}{g}.
Calculons, pour tout xx réel
h′(x)h'(x) :
h′(x)h'(x)
==
f′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x))2\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
==
f(x)g(x)−f(x)g(x)(g(x)2\dfrac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{(g(x)^2}
==
0.0.
La fonction hh est donc
constante,
et pour tout xx, h(x)=h(x)=
f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}
==
h(0)h(0)
==
f(0)g(0)\dfrac{f(0)}{g(0)}
==
11.

C'est-à-dire, pour tout x∈Rx\in\mathbb{R},
f(x)=g(x)f(x)=g(x).
□_\square
1.2Propriétés de la fonction exponentielle Property 1
  1. La fonction exponentielle est
    dérivable
    sur R\mathbb{R}, et pour tout x∈Rx\in\mathbb{R},
    exp⁡′(x)=exp⁡(x)\exp'(x) = \exp(x).
  2. exp⁡(0)\exp(0)
    ==
    11.
  3. Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R},
    exp⁡(−x)\exp(-x)
    ==
    1exp⁡(x)\dfrac{1}{\exp(x)}.
  4. Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R},
    exp⁡(x)>0\exp(x) >0.
  5. Pour tous réels xx et yy,
    exp⁡(x+y)\exp(x+y)
    ==
    exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x)\exp(y).
  6. Pour tous réels xx et yy,
    exp⁡(x−y)\exp(x-y)
    ==
    exp⁡(x)exp⁡(y)\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}.
  7. Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R},
    n∈Zn\in\mathbb{Z},
    exp⁡(nx)\exp(nx)
    ==
    (exp⁡(x))n(\exp(x))^n.
Preuve
Les points 1 et 2 viennent directement de la définition de la fonction exponentielle.
Les points 3 et 4 ont été démontrés dans le lemme 1.

Preuve du point 5
Soit y∈Ry\in\mathbb{R}.

On définit pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} la fonction hh par
h(x)=exp⁡(x+y)exp⁡(x)h(x)=\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)},
et calculons
h′(x)h'(x).
h′(x)h'(x)
==
exp⁡′(x+y)exp⁡(x)−exp⁡(x+y)exp⁡′(x)(exp⁡(x))2\dfrac{\exp'(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp'(x)}{(\exp(x))^2}
==
exp⁡(x+y)exp⁡(x)−exp⁡(x+y)exp⁡(x)(exp⁡(x))2\dfrac{\exp(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp(x)}{(\exp(x))^2}
==
00.
La fonction hh est donc
constante,
et pour tout réel xx :
h(x)h(x)
==
h(0)h(0)
==
exp⁡(y)exp⁡(0)\dfrac{\exp(y)}{\exp(0)}
==
exp⁡(y)\exp(y).


Ainsi, pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} :
exp⁡(x+y)exp⁡(x)\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}
==
exp⁡(y)\exp(y)
⟺\Longleftrightarrow
exp⁡(x+y)\exp(x+y)
==
exp⁡(y)exp⁡(x).\exp(y)\exp(x).
□_\square


Preuve du point 6
Pour tous xx et yy réels :
exp⁡(x−y)\exp(x-y)
==
exp⁡(x+(−y))\exp(x + (-y) )
==
exp⁡(x)exp⁡(−y)\exp(x)\exp(-y)
==
exp⁡(x)×1exp⁡(y)\exp(x)\times\dfrac{1}{\exp(y)}
==
exp⁡(x)exp⁡(y)\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}

Preuve du point 7
On démontre tout d'abord, par
récurrence
la propriété:
Pour tout entier n∈Nn\in\mathbb{N},
exp⁡(nx)\exp(nx)
==
(exp⁡(x))n(\exp(x))^n.


Initialisation.
Pour n=0n=0 :

D'une part,
exp⁡(0×x)\exp(0\times x)
==
exp⁡(0)\exp(0)
==
11.
D'autre part,
(exp⁡(x))0(\exp(x))^0
==
11.

Ainsi, la propriété est bien
vérifiée
pour
n=0n=0.


Hérédité.
On suppose,
que pour un certain entier nn,
exp⁡(nx)=(exp⁡(x))n\exp(nx) = (\exp(x))^n,
et on cherche à montrer que
exp⁡((n+1)x)\exp((n+1)x)
==
(exp⁡(x))n+1(\exp(x))^{n+1}.

Pour tout réel xx on a :
exp⁡((n+1)x)\exp((n+1)x)
==
exp⁡(nx+x)\exp(nx+x)
= =
exp⁡(nx)exp⁡(x)\exp(nx)\exp(x)
= =
(exp⁡(x))nexp⁡(x)(\exp(x))^n\exp(x)
= =
(exp⁡(x))n+1.(\exp(x))^{n+1}.
□_\square


Conclusion.
Pour tout réel xx,
pour tout entier naturel nn
:
exp⁡(nx)=(exp⁡(x))n\exp(nx) = (\exp(x))^n.


Preuve de la propriété pour nn entier
relatif.
Soit nn un entier
relatif
négatif.
Alors, pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} :
exp⁡(nx)\exp(nx)
==
exp⁡(−(−n)x)\exp(- (-n)x)
= =
1exp⁡((−n)x)\dfrac{1}{\exp((-n)x)}
= =
1(exp⁡(x))−n\dfrac{1}{(\exp(x))^{-n}}
= =
(exp⁡(x))n.{(\exp(x))^n.}
□_\square

La propriété est donc bien démontrée pour tout entier
relatif.
Exemple 1 ∙\bullet exp⁡(−2)\exp(-2) ==
1exp⁡(2)\dfrac{1}{\exp(2)}.

∙\bullet Pour a∈Ra\in\mathbb{R}, exp⁡(a+2)=\exp(a+2) =
exp⁡(a)exp⁡(2)\exp(a)\exp(2).

∙\bullet Pour b∈R+b\in\mathbb{R}^+, exp⁡(b−2)=\exp(\sqrt{b}-2) =
exp⁡(b)exp⁡(2)\dfrac{\exp(\sqrt{b})}{\exp(2)}.

∙\bullet Pour y∈Ry\in\mathbb{R}, exp⁡(4y)=\exp(4y) =
exp⁡(y)4\exp(y)^4.


1.3Le nombre e\text{e} et la notation puissance Definition 1
On note
e\text{e}
le nombre
exp⁡(1)\exp(1).

e=exp⁡(1).\text{e} = \exp(1).
 Remark 1 À l'aide de la méthode d'Euler, on peut trouver une valeur approchée de e\text{e}.

e≃2,718.\text{e} \simeq 2,718.
Pour tout entier naturel nn :

exp⁡(n)\exp(n) ==
exp⁡(1×n)\exp(1\times n)
==
exp⁡(1)n\exp(1)^n
==
en\text{e}^n.

exp⁡(−n)=\exp(-n) =
1exp⁡(n)\dfrac{1}{\exp(n)}
==
1en\dfrac{1}{\text{e}^n}
==
e−n\text{e}^{-n}.


On peut généraliser cette notation à tout nombre
réel.
Definition 2
Pour tout nombre réel xx, on note :
exp⁡(x)=ex.\exp(x) = \text{e}^x.
 2Étude de la fonction exponentielle 2.1Sens de variation Property 2
La fonction exponentielle est
strictement croissante
sur R\mathbb{R}.
Preuve
D'après les propriétés précédentes, nous avons que pour tout réel xx :
exp⁡′(x)\exp'(x)
==
exp⁡(x)\exp(x)
>0>0.

La fonction exponentielle est bien
strictement croissante
sur R\mathbb{R}.


Tableau de variation
xx −∞-\infty +∞+\infty +∞+\infty exp⁡(x)\exp(x) croissante 00
xx−∞-\infty+∞+\infty
+∞+\infty
exp⁡(x)\exp(x)
00
Les limites aux bornes seront démontrées plus loin. 2.2Propriétés On note C\mathcal{C} la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé. Property 3
  1. La droite d'équation
    y=0y=0
    est
    asymptote horizontale
    à C\mathcal{C}
    en −∞-\infty.
  2. L'équation de la tangente à C\mathcal{C} en x=0x=0, est
    y=x+1y=x+1.
  3. La courbe C\mathcal{C} est
    au dessus
    de sa tangente en x=0x=0.
  4. L'équation de la tangente à C\mathcal{C} en x=1x=1, est
    y=exy=\text{e} x.
Preuve

Le point 1 sera démontré plus loin.

Preuve du point 2
L'équation de la tangente à C\mathcal{C}, au point d'abscisse 00 est donnée par :
y=exp⁡′(0)(x−0)+exp⁡(0)y= \exp'(0)(x-0) + \exp(0)
⟺\Longleftrightarrow
y=exp⁡(0)x+exp⁡(0)y = \exp(0)x+\exp(0)
⟺\Longleftrightarrow
y=x+1.y = x+1.
□_\square


Preuve du point 3
Pour déterminer la position relative entre ses deux courbes, étudions pour tout réel xx, le signe de :
δ(x)\delta(x)
==
ex−(x+1)\text{e}^x - (x+1).

Pour cela, calculons
δ′(x)\delta'(x)
pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}.
δ′(x)\delta'(x)
==
 ex−1\text{ e}^x - 1.

Or, la fonction exponentielle est
strictement croissante
sur R\mathbb{R}, et vaut
11
pour x=0x=0.

Donc
δ′\delta' est négative
sur ]−∞;0]]-\infty;0],
et positive
sur [0;+∞[[0;+\infty[.

La fonction δ\delta présente donc un
minimum
pour x=0x=0, qui vaut
δ(0)=1\delta(0) = 1.

Ainsi, pour tout réel xx,
δ(x)>0\delta(x) >0,
et donc la courbe de la fonction exponentielle est bien toujours
au dessus
de sa tangente en 00.

Preuve du point 4
L'équation de la tangente à C\mathcal{C}, au point d'abscisse 11 est donnée par :
y=exp⁡′(1)(x−1)+exp⁡(1)y= \exp'(1)(x-1) + \exp(1)
==
e(x−1)+e\text{e}(x-1)+\text{e}
==
ex.\text{e} x.
□ _\square


Property 4
lim⁡x→0ex−1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^x-1}{x}}
==
1.1.
Preuve
lim⁡x→0ex−1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^x-1}{x}}
==
lim⁡x→0ex−e0x−0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^0}{x-0}}
==
exp⁡′(0)\exp'(0)
==
11.


Représentation graphique
À l'aide des propriétés précédentes (tangentes, positions relatives, asymptote), et de la méthode d'Euler on obtient le graphique suivant :
2468−2−4−6−8123456789
y = x+1
y = ex
y = exp(x)
2.3Résolution d'équations et d'inéquations Property 5
Pour tous réels aa et bb :
ea=eb\text{e}^a = \text{e}^b
⟺\Longleftrightarrow
a=b.a = b.
ea>eb\text{e}^a > \text{e}^b
⟺\Longleftrightarrow
a>b.a > b.
Preuve
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
2.4Limites en l'infini Property 6
  1. lim⁡x→+∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x}
    ==
    +∞+\infty.
  2. lim⁡x→−∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}
    ==
    00.
Preuve du point 1
Nous avons vu, que pour tout réel xx,
ex≥x+1\text{e}^x\geq x+1.

Or :
lim⁡x→+∞x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x+1}
==
+∞+\infty.

Ainsi, d'après le théorème de
comparaison
des limites :
lim⁡x→+∞ex=+∞.\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x = +\infty.}

Preuve du point 2
On procède par
changement de variable.

Pour tout réel xx, on pose
X=−xX=-x.


On a :
x→+∞x\rightarrow+\infty,
si et seulement si
X→−∞X\rightarrow -\infty.


De plus,
ex\text{e}^x
==
e−X\text{e}^{-X}
==
1eX\dfrac{1}{\text{e}^X}.

Ainsi,
lim⁡x→−∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}
==
lim⁡X→+∞1eX\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^X}}
==
0.0.
□_\square
3Applications 3.1 Fonctions composées du type eu\text{e}^u Property 7
Soit uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
(eu)′(\text{e}^u)'
==
u′eu.u'\text{e}^u.
 Exercice 1 Étudier les variations de la fonction ff définie pour tout xx réel par f(x)=ex3f(x)=\text{e}^{x^3}.
Correction
La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} comme
composée
de fonctions dérivables.
De plus la fonction ff est de la forme
eu\text{e}^u
avec, pour tout réel xx :
u(x)=x3u(x)=x^3
et
u′(x)=3x2u'(x)=3x^2.

Ainsi, pour tout réel xx,
f′(x)f'(x)
==
u′(x)eu(x)u'(x)\text{e}^{u(x)}
==
3x2ex33x^2\text{e}^{x^3}.

Or pour tout xx,
2x2≥02x^2\geq0
et
ex3>0e^{x^3}>0,
donc
f′(x)≥0f'(x)\geq0.

La fonction ff est
croissante
sur R\mathbb{R}.
✕
3.2Croissance comparée Property 8
  1. lim⁡x→+∞exx\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}
    ==
    +∞+\infty.
  2. lim⁡x→−∞xex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\text{e}^x}
    ==
    00.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord que pour tout réel x≥0x\geq 0, :
ex≥12x2+x+1\text{e}^x\geq \dfrac{1}{2}x^2+x+1.


On définit pour tout réel xx la fonction
ϕ\phi
par :
ϕ(x)=ex−12x2−x−1\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1.

Le but étant de montrer que ϕ\phi est
positive
sur [0;+∞[[0;+\infty[.


Pour tout réel xx, on a
ϕ′(x)\phi'(x)
==
ex−x−1\text{e}^x - x - 1.

D'après ce qui précède, nous avons que
ϕ′≥0\phi'\geq 0.


Ainsi, la fonction ϕ\phi est
croissante
sur [0;+∞[[0;+\infty[.


Or,
ϕ(0)\phi(0)
==
e0−1\text{e}^0 - 1
==
00,
donc, pour tout x≥0x\geq0,
ϕ(x)≥0.\phi(x)\geq 0.

C'est-à-dire, que pour tout réel x≥0x\geq0,
ex\text{e}^x
≥\geq
12x2+x+1\dfrac{1}{2}x^2+x+1.

Pour tout x>0x>0, on obtient alors :
exx\dfrac{\text{e}^x}{x}
≥\geq
12x+1+1x\dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{1}{x}.

Or,
lim⁡x→+∞12x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x}
==
+∞+\infty,
et
lim⁡x→+∞1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}}
==
00,
donc
lim⁡x→+∞12x+1+1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{1}{x}}
==
+∞+\infty.

Par comparaison de limites,
on a :
lim⁡x→+∞exx\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}
==
+∞+\infty.


Preuve du point 2
Il suffit d'appliquer à nouveau le changement de variable
X=−xX=-x.

En effet,
x→−∞x\rightarrow-\infty,
si et seulement si
X→+∞X\rightarrow +\infty,
et
ex\text{e}^x
==
1eX\dfrac{1}{\text{e}^X}.

lim⁡x→−∞xex\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} x\text{e}^x}
==
lim⁡X→+∞−XeX\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} -\dfrac{X}{\text{e}^X}}
==
00
d'après le point 1.
Property 9
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} :
  1. lim⁡x→+∞exxn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}}
    ==
    +∞+\infty,

  2. lim⁡x→−∞xnex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n\text{e}^x}
    ==
    00.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord, par récurrence, que : pour tout entier nn, pour tout réel x>0x>0,
ex≥xn+1(n+1)!\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}.


Initialisation.
Pour n=0n=0,
x0+1(0+1)!\dfrac{x^{0+1}}{(0+1)!}
==
xx,
et nous savons que
ex\text{e}^x
≥\geq
x+1x+1
≥\geq
xx.

La propriété est bien vérifiée pour
n=0n=0.


Hérédité.
Supposons que pour un certain entier nn,
ex≥xn+1(n+1)!\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!},
et montrons alors que :
ex≥xn+2(n+2)!\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}.

Pour cela, posons, pour tout xx,
ϕ(x)=ex−xn+2(n+2)!\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!},
et montrons que la fonction ϕ\phi ainsi définie est
positive pour x>0x>0.


On a :
ϕ′(x)\phi'(x)
==
ex−(n+2)xn+1(n+2)!\text{e}^x - (n+2)\dfrac{x^{n+1}}{(n+2)!}
==
ex−xn+1(n+1)!\text{e}^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}
≥\geq
00
par hypothèse de récurrence.
Ce qui démontre bien l'hérédité.


Conclusion.
On a donc
pour tout entier nn,
pour tout réel xx,
ex≥xn+1(n+1)!\text{e}^x\geq\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}.

Ainsi, pour tout entier nn, pour tout x>0x>0,
exxn≥x(n+1)!\dfrac{\text{e}^x}{x^n}\geq\dfrac{x}{(n+1)!},
et puisque
lim⁡x→+∞x(n+1)!\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{(n+1)!}}
==
+∞+\infty,
par
comparaison
de limites, nous avons bien que
lim⁡x→+∞exxn=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n} = +\infty}.


Preuve du point 2
On procède à nouveau à l'aide du changement de variable X=−xX=-x.