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Terminale S - Fonction exponentielle Définition de la fonction exponentielle On cherche les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que : $ \left\{ \begin{array}{rcl} f(0) & = & 1 \\ f' & = & f \\ \end{array} \right. $
C'est-à-dire, que l'on cherche les fonctions $f$ définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, telles que pour tout réel $x$, $f(x)=f'(x)$ : les fonctions qui sont donc identiques à leur dérivée et qui valent 1 en 0. Théorème et définition 1Théorème
Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0) = 1$ et $f' = f$.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée $\exp$.
Démonstration

Deux points à montrer : Pour démontrer l'unicité d'une telle fonction, nous allons avoir besoin d'un résultat intermédiaire. 1Lemme
Si $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0)=1$ et $f' = f$, alors :
Preuve

Preuve de l'unicité de la fonction exponentielle

On suppose qu'il existe deux fonctions $f$ et $g$ telles que : $f(0)=1$, $f' = f$ et $g(0)=1$, $g' = g$.
On cherche à démontrer qu'elles sont égales.
Le lemme précédent, nous dit que $g$ ne s'annule pas, on peut donc définir sur $\mathbb{R}$, la fonction $h$, par $h=\dfrac{f}{g}$. Calculons, pour tout $x$ réel $h'(x)$ :
$h'(x)$ $=$ $\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
$=$ $\dfrac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{(g(x)^2}$
$=$ $0.$
La fonction $h$ est donc constante, et pour tout $x$, $h(x)=$ $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $h(0)$ $=$ $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ $=$ $1$.
C'est-à-dire, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=g(x)$. $_\square$ Propriétés de la fonction exponentielle
  1. La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
  2. $\exp(0)$ $=$ $1$.
  3. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\exp(-x)$ $=$ $\dfrac{1}{\exp(x)}$.
  4. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\exp(x) >0$.
  5. Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x+y)$ $=$ $\exp(x)\exp(y)$.
  6. Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x-y)$ $=$ $\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
  7. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Z}$, $\exp(nx)$ $=$ $(\exp(x))^n$.
Preuve
Les points 1 et 2 viennent directement de la définition de la fonction exponentielle.
Les points 3 et 4 ont été démontrés dans le lemme 1.

Preuve du point 5
Soit $y\in\mathbb{R}$.
On définit pour tout $x\in\mathbb{R}$ la fonction $h$ par $h(x)=\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$, et calculons $h'(x)$.
$h'(x)$ $=$ $\dfrac{\exp'(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp'(x)}{(\exp(x))^2}$
$=$ $\dfrac{\exp(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp(x)}{(\exp(x))^2}$
$=$ $0$.
La fonction $h$ est donc constante, et pour tout réel $x$ :
$h(x)$ $=$ $h(0)$ $=$ $\dfrac{\exp(y)}{\exp(0)}$ $=$ $\exp(y)$.

Ainsi, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$ $=$ $\exp(y)$
$\Longleftrightarrow$ $\exp(x+y)$ $=$ $\exp(y)\exp(x).$ $_\square$


Preuve du point 6
Pour tous $x$ et $y$ réels :
$\exp(x-y)$ $=$ $\exp(x + (-y) )$
$=$ $\exp(x)\exp(-y)$
$=$ $\exp(x)\times\dfrac{1}{\exp(y)}$
$=$ $\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$

Preuve du point 7
On démontre tout d'abord, par récurrence la propriété:
Pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $\exp(nx)$ $=$ $(\exp(x))^n$.

Initialisation.
Pour $n=0$ :
D'une part, $\exp(0\times x)$ $=$ $\exp(0)$ $=$ $1$. D'autre part, $(\exp(x))^0$ $=$ $1$.
Ainsi, la propriété est bien vérifiée pour $n=0$.

Hérédité.
On suppose, que pour un certain entier $n$, $\exp(nx) = (\exp(x))^n$, et on cherche à montrer que $\exp((n+1)x)$ $=$ $(\exp(x))^{n+1}$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\exp((n+1)x)$ $= $ $\exp(nx+x)$
$ = $ $\exp(nx)\exp(x)$
$ = $ $(\exp(x))^n\exp(x)$
$ = $ $(\exp(x))^{n+1}.$$_\square$


Conclusion.
Pour tout réel $x$, pour tout entier naturel $n$ : $\exp(nx) = (\exp(x))^n$.

Preuve de la propriété pour $n$ entier relatif.
Soit $n$ un entier relatif négatif. Alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$\exp(nx)$ $= $ $\exp(- (-n)x)$
$ = $ $\dfrac{1}{\exp((-n)x)}$
$ = $ $\dfrac{1}{(\exp(x))^{-n}}$
$ = $ ${(\exp(x))^n.}$ $_\square$

La propriété est donc bien démontrée pour tout entier relatif. $\bullet$ $\exp(-2)$ $=$ $\dfrac{1}{\exp(2)}$.
$\bullet$ Pour $a\in\mathbb{R}$, $\exp(a+2) =$ $\exp(a)\exp(2)$.
$\bullet$ Pour $b\in\mathbb{R}^+$, $\exp(\sqrt{b}-2) =$ $\dfrac{\exp(\sqrt{b})}{\exp(2)}$.
$\bullet$ Pour $y\in\mathbb{R}$, $\exp(4y) =$ $\exp(y)^4$.

Le nombre $\text{e}$ et la notation puissance
On note $\text{e}$ le nombre $\exp(1)$.
$\text{e} = \exp(1).$ À l'aide de la méthode d'Euler, on peut trouver une valeur approchée de $\text{e}$.

$\text{e} \simeq 2,718.$
Pour tout entier naturel $n$ :

$\exp(n)$ $=$ $\exp(1\times n)$ $=$ $\exp(1)^n$ $=$ $\text{e}^n$.
$\exp(-n) =$ $\dfrac{1}{\exp(n)}$ $=$ $\dfrac{1}{\text{e}^n}$ $=$ $\text{e}^{-n}$.

On peut généraliser cette notation à tout nombre réel.
Pour tout nombre réel $x$, on note :
$\exp(x) = \text{e}^x.$ Étude de la fonction exponentielle Sens de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Preuve
D'après les propriétés précédentes, nous avons que pour tout réel $x$ : $\exp'(x)$ $=$ $\exp(x)$ $>0$.
La fonction exponentielle est bien strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Tableau de variation
$x$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $\exp(x)$ croissante $0$
Les limites aux bornes seront démontrées plus loin. Propriétés On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé.
  1. La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $-\infty$.
  2. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en $x=0$, est $y=x+1$.
  3. La courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de sa tangente en $x=0$.
  4. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en $x=1$, est $y=\text{e} x$.
Preuve

Le point 1 sera démontré plus loin.

Preuve du point 2
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$, au point d'abscisse $0$ est donnée par :
$y= \exp'(0)(x-0) + \exp(0)$ $\Longleftrightarrow$ $y = \exp(0)x+\exp(0) $ $\Longleftrightarrow$ $y = x+1.$ $_\square$

Preuve du point 3
Pour déterminer la position relative entre ses deux courbes, étudions pour tout réel $x$, le signe de :
$\delta(x)$ $=$ $\text{e}^x - (x+1)$.
Pour cela, calculons $\delta'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
$\delta'(x)$ $=$ $\text{ e}^x - 1$.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et vaut $1$ pour $x=0$.
Donc $\delta'$ est négative sur $]-\infty;0]$, et positive sur $[0;+\infty[$.
La fonction $\delta$ présente donc un minimum pour $x=0$, qui vaut $\delta(0) = 1$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $\delta(x) >0$, et donc la courbe de la fonction exponentielle est bien toujours au dessus de sa tangente en $0$.

Preuve du point 4
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$, au point d'abscisse $1$ est donnée par :
$y= \exp'(1)(x-1) + \exp(1)$ $=$ $\text{e}(x-1)+\text{e}$ $=$ $\text{e} x.$ $ _\square$


$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^x-1}{x}}$ $=$ $1.$
Preuve
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^x-1}{x}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^0}{x-0}}$ $=$ $\exp'(0)$ $=$ $1$.

Représentation graphique
À l'aide des propriétés précédentes (tangentes, positions relatives, asymptote), et de la méthode d'Euler on obtient le graphique suivant :
Résolution d'équations et d'inéquations
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$\text{e}^a = \text{e}^b$ $\Longleftrightarrow$ $a = b.$
$\text{e}^a > \text{e}^b$ $\Longleftrightarrow$ $a > b.$
Preuve
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Limites en l'infini
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x}$ $=$ $+\infty$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Preuve du point 1
Nous avons vu, que pour tout réel $x$, $\text{e}^x\geq x+1$.
Or : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x+1}$ $=$ $+\infty$.
Ainsi, d'après le théorème de comparaison des limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^x = +\infty.}$

Preuve du point 2
On procède par changement de variable.
Pour tout réel $x$, on pose $X=-x$.

On a : $x\rightarrow+\infty$, si et seulement si $X\rightarrow -\infty$.

De plus, $\text{e}^x$ $=$ $\text{e}^{-X}$ $=$ $\dfrac{1}{\text{e}^X}$.
Ainsi,
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^x}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^X}}$ $=$ $0.$ $_\square$ Applications Fonctions composées du type $\text{e}^u$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
$(\text{e}^u)'$ $=$ $u'\text{e}^u.$ Étudier les variations de la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par $f(x)=\text{e}^{x^3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions dérivables.
De plus la fonction $f$ est de la forme $\text{e}^u$ avec, pour tout réel $x$ : $u(x)=x^3$ et $u'(x)=3x^2$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)$ $=$ $u'(x)\text{e}^{u(x)}$ $=$ $3x^2\text{e}^{x^3}$.
Or pour tout $x$, $2x^2\geq0$ et $e^{x^3}>0$, donc $f'(x)\geq0$.
La fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Croissance comparée
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}$ $=$ $+\infty$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord que pour tout réel $x\geq 0$, : $\text{e}^x\geq \dfrac{1}{2}x^2+x+1$.

On définit pour tout réel $x$ la fonction $\phi$ par : $\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1$.
Le but étant de montrer que $\phi$ est positive sur $[0;+\infty[$.

Pour tout réel $x$, on a $\phi'(x)$ $=$ $\text{e}^x - x - 1$.
D'après ce qui précède, nous avons que $\phi'\geq 0$.

Ainsi, la fonction $\phi$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

Or, $\phi(0)$ $=$ $\text{e}^0 - 1$ $=$ $0$, donc, pour tout $x\geq0$, $\phi(x)\geq 0.$
C'est-à-dire, que pour tout réel $x\geq0$, $\text{e}^x$ $\geq$ $\dfrac{1}{2}x^2+x+1$.
Pour tout $x>0$, on obtient alors :
$\dfrac{\text{e}^x}{x}$ $\geq$ $\dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{1}{x}$.
Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x}$ $=$ $+\infty$, et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $0$, donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{1}{x}}$ $=$ $+\infty$.
Par comparaison de limites, on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}}$ $=$ $+\infty$.

Preuve du point 2
Il suffit d'appliquer à nouveau le changement de variable $X=-x$.
En effet, $x\rightarrow-\infty$, si et seulement si $X\rightarrow +\infty$, et $\text{e}^x$ $=$ $\dfrac{1}{\text{e}^X}$.
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty} x\text{e}^x}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} -\dfrac{X}{\text{e}^X}}$ $=$ $0$ d'après le point 1.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}}$ $=$ $+\infty$,

  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n\text{e}^x}$ $=$ $0$.
Preuve du point 1
Montrons tout d'abord, par récurrence, que : pour tout entier $n$, pour tout réel $x>0$, $\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.

Initialisation.
Pour $n=0$, $\dfrac{x^{0+1}}{(0+1)!}$ $=$ $x$, et nous savons que $\text{e}^x$ $\geq$ $x+1$ $\geq$ $x$.
La propriété est bien vérifiée pour $n=0$.

Hérédité.
Supposons que pour un certain entier $n$, $\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$, et montrons alors que : $\text{e}^x\geq \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}$.
Pour cela, posons, pour tout $x$, $\phi(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}$, et montrons que la fonction $\phi$ ainsi définie est positive pour $x>0$.

On a : $\phi'(x)$ $=$ $\text{e}^x - (n+2)\dfrac{x^{n+1}}{(n+2)!}$ $=$ $\text{e}^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ $\geq$ $0$ par hypothèse de récurrence. Ce qui démontre bien l'hérédité.

Conclusion.
On a donc pour tout entier $n$, pour tout réel $x$, $\text{e}^x\geq\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.
Ainsi, pour tout entier $n$, pour tout $x>0$, $\dfrac{\text{e}^x}{x^n}\geq\dfrac{x}{(n+1)!}$, et puisque $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{(n+1)!}}$ $=$ $+\infty$, par comparaison de limites, nous avons bien que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n} = +\infty}$.

Preuve du point 2
On procède à nouveau à l'aide du changement de variable $X=-x$.