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Terminale S - Nombres complexes (2) Le plan complexe est orienté et est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$. Module et argument d'un nombre complexe Rappels Nous aurons à utiliser fréquemment dans ce chapitre les valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus.

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\sin(t)$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos(t)$	1	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	0

Il faudra également savoir les utiliser à l'intérieur du cercle trigonométrique.

Déplacer le point $M$

À l'aide de ce cercle nous voyons, par exemple, que : $\cos\left( \dfrac{3\pi}{4}\right) =$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left( \dfrac{3\pi}{4}\right) =$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Définition Soit $z=x+iy$ un nombre complexe, et $M$ le point d'affixe $z$.
Pour $z\neq0$ le point $M$ est entièrement défini par ses coordonnées polaires $(r,\theta)$ :

4$\bullet$ $ r =$ $OM$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2}.$
4$\bullet$ $\theta =$ $(\vec{u},\overrightarrow{OM}).$

Déplacer le point $M$

Soit $z$ un nombre complexe non nul, et $M$ son image.

$OM$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2}$ est le module de $z$, on le note $|z|$.
$\theta$ $=$ $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$ est un argument de $z$, on le note $\arg(z)$, et $\arg(z)$ $=$ $\theta + 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, ou encore $\arg(z)$ $=$ $\theta [2\pi]$.

Pour tout nombre complexe $z$, $|z|\geq0$.
Pour $z=0$, $|z|$ $=$ $0$, mais $\arg(z)$ n'existe pas.

Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

$z_1 = 2$
$z_2 = -2$
$z_3 = 3i$
$z_4 = -3i$

$|z_1|$ $=$ $2$ et $\arg(z_1)$ $=$ $0$ $[2\pi]$.
$|z_2|$ $=$ $2$ et $\arg(z_2)$ $=$ $\pi$ $[2\pi]$.
$|z_3|$ $=$ $3$ et $\arg(z_3)$ $=$ $\dfrac{\pi}{2}$ $[2\pi]$.
$|z_4|$ $=$ $3$ et $\arg(z_4)$ $=$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $[2\pi]$, ou encore $\arg(z_4)$ $=$ $-\dfrac{\pi}{2}$ $[2\pi]$.

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

$z$ est un réel si et seulement si $\arg(z)$ $=$ $ 0$ $[\pi]$.
$z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\arg(z)$ $=$ $\dfrac{\pi}{2}$ $ [\pi]$.

Propriétés
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On a alors :

$|\overline{z}|$ $=$ $|z|$ 4 et 4 $\arg{\overline{z}}$ $=$ $- \arg(z)$ $[2\pi]$.
Preuve
L'égalité sur les modules a été démontrée dans le cours précédent.

Pour démontrer l'égalité concernant les arguments, observons tout d'abord la figure suivante :

Déplacer le point $M$ Le point $M'$ ayant pour affixe $\overline{z}$, le triangle $MOM'$ est isocèle de sommet $O$.
L'axe des réels est donc un axe de symétrie de ce triangle. Ainsi les angles $\alpha$ et $\beta$ ont même mesure.
D'après les égalités sur les angles orientés nous avons que : $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ $=$ $- (\vec{u}, \overrightarrow{OM'})$ $[2\pi]$.
Ainsi, nous avons bien que : $\arg(\overline{z}) = -\arg(z) [2\pi]$.

Soit $z$ un nombre complexe non nul. On a alors :
$\arg(-z)$ $=$ $\arg(z)+\pi$ $[2\pi].$
Cette propriété se démontre également en utilisant une configuration géométrique simple et les propriétés des angles orientés. On remarquera que $(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'})$ $=$ $\pi$ $[2\pi]$.

Déplacer le point $M$ Forme trigonométrique
Pour tout nombre complexe $z$ non nul, il existe un unique couple de réels $r$ et $\theta$, $r>0$ et $\theta\in]-\pi;\pi]$, tel que :
$z$ $=$ $r\left(\cos\theta + i\sin \theta\right).$

Déplacer le point $M$ Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de $z$. Soit $z$ un nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{4}$. Alors :

$z$	$=$	$2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$
	$ =$	$ 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
	$ =$	$\sqrt{2} + i\sqrt{2}.$

Si on connaît l'écriture algébrique d'un nombre complexe $z=x+iy$, alors, en utilisant les formules de trigonométrie (en se plaçant dans les deux triangles rectangles de la figure précédente) on obtient : $$\left\{ \begin{array}{l} |z| = \sqrt{x^2+y^2} \\ \arg(z) = \theta \text{ où } \theta \text{ est tel que } \left\{ \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{x}{|z|} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{y}{|z|} \end{array}\right. \end{array} \right. $$ Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : $z_1 = 1+i$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$. $|z_1|$ $=$ $\sqrt{ 1^2+ 1^2}$ $=$ $\sqrt{2}$.
De plus, $\dfrac{Re(z_1)}{|z_1|}$ $=$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Et de même, $\dfrac{Im(z_1)}{|z_1|}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Ainsi, $\arg(z_1)$ $=$ $ \dfrac{\pi}{4}$ $[2\pi]$.

Et, $z_1$ $=$ $\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$.

Pour $z_2=\sqrt{3} - i$, $|z_2|$ $=$ $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$ $=$ $2$.
$\dfrac{Re(z_2)}{|z_2|}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{Im(z_2)}{|z_2|}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$.
On en déduit que : $\arg(z_2)$ $=$ $-\dfrac{\pi}{6}$ $[2\pi]$.
Et donc :
$z_2 = 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$.
Deux nombres complexes non nuls $z$ et $z'$ sont égaux si et seulement si : $|z| = |z'|$ et $\arg(z) = \arg(z')$ $[2\pi].$
Propriétés du module et de l'argument Propriétés du conjugué et de l'opposé Nous avons déjà évoqué des propriétés concernant le conjugués et l'opposé d'un nombre complexe. Nous les rappelons ici en une seule propriété, et nous en donnons une preuve plus élégante à l'aide de l'écriture sous forme trigonométrique.
Soit $z$ un nombre complexe non nul.

$|-z|$ $=$ $|z|$ et $|\overline{z}|$ $=$ $|z|$.
$\arg(-z)$ $=$ $\arg(z) + \pi$ $[2\pi]$, et $\arg(\overline{z})$ $=$ $-\arg(z)$ $[2\pi]$.

Preuve
Rappelons tout d'abord que : $\cos(\theta+\pi)$ $=$ $-\cos\theta$ et $\sin(\theta+\pi)$ $=$ $-\sin\theta$.

Si on note $r$ et $\theta$ le module et un argument de $z$, nous avons alors que $z =$ $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et : $-z$ $=$ $-r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $=$ $r(-\cos\theta-i\sin\theta)$ $=$ $r(\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi))$.

Ainsi nous avons bien que : $|-z|$ $=$ $r$ $=$ $|z|$ et $\arg(-z)$ $=$ $\theta+\pi$ $=$ $\arg(z)+\pi$ $[2\pi]$.

Pour les égalités sur le conjugué, nous utiliserons le fait que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.

$\overline{z}$ $=$ $r( \cos\theta - i\sin\theta )$ $=$ $r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$.

Ainsi nous avons bien que : $|\overline{z}|$ $=$ $r$ $=$ $|z|$ et $\arg(\overline{z})$ $=$ $-\theta$ $=$ $-\arg(z)$ $[2\pi]$. Produit Observons tout d'abord quelques calculs, pour lesquels nous aurons besoin de rappeler les deux formules de trigonométrie suivantes.
Pour tous réels $a$ et $b$, nous avons :

$\cos(a+b)$ $=$ $\cos a\cos b - \sin a\sin a$,
$\sin(a+b)$ $=$ $\cos a\sin b + \cos b\sin a$.

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de formes trigonométriques $z= r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'= r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$.
Alors :

$z\times z'$	$=$	$r(\cos\theta+i\sin\theta)r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$
	$=$	$rr'( \cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta' + i ( \cos\theta\sin\theta'+\cos\theta'\sin\theta ) )$
	$=$	$rr'(\cos(\theta+\theta') + i\sin(\theta+\theta'))$.

Ainsi, $|zz'|$ $=$ $ rr'$ $=$ $|z||z'|$.
Et, $\arg(zz')$ $=$ $\theta+\theta'$ $=$ $\arg(z) + \arg(z')$ $[2\pi]$.

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls et $n$ un entier naturel non nul.

$|zz'|$ $=$ $|z||z'|$.
$\arg(zz')$ $=$ $\arg(z)+\arg(z')$ $[2\pi]$.
$|z^n|$ $=$ $|z|^n$ et $\arg(z^n)$ $=$ $n\arg(z)$ $[2\pi]$.

Les points 1 et 2 ont été démontrés juste précédemment. Le point 3 se démontre par récurrence en utilisant les points 1 et 2. Quotient
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.

$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ $=$ $\dfrac{|z|}{|z'|}$.
$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)$ $=$ $\arg(z) - \arg(z')$ $[2\pi]$.

Preuve

$|z|$ $=$ $\left|\dfrac{z}{z'}\times z'\right|$ $=$ $\left|\dfrac{z}{z'}\right| \times |z'|$, c'est-à-dire : $|z|$ $=$ $\left|\dfrac{z}{z'}\right| \times |z'|$.
Ainsi, à l'aide d'un produit en croix on obtient bien que : $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.
$\arg(z)$ $=$ $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right)$ $=$ $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) + \arg(z')$ $[2\pi]$.

C'est-à-dire : $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)$ $=$ $\arg(z) - \arg(z')$ $[2\pi]$.

Il n'y a pas de propriété pour la somme et la différence. En général, les formes trigonométriques sont bien adaptées aux produits et quotients de complexes, alors que les formes algébriques sont bien adaptées aux sommes et différences de complexes. Soient $z_1 = (\sqrt{3} -i)^4$ et $z_2 = \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}$.
Déterminer le module et un argument pour chacun de ces nombres complexes. Nous avions vu que : $\sqrt{3}-i =$ $2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$ et $1+i = $ $\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$.

Donc : $|\sqrt{3} - i|$ $=$ $2$ et $\arg(\sqrt{3} - i)$ $=$ $-\dfrac{\pi}{6}$ $[2\pi]$.
Et : $|1+i| =$ $\sqrt{2}$ et $\arg(1+i) =$ $\dfrac{\pi}{4}$ $[2\pi]$.

Pour $z_1$.
$|z_1|$ $=$ $|(\sqrt{3}-i)^4|$ $=$ $|\sqrt{3}-i|^4$ $=$ $2^4$ $=$ $16$.

$\arg(z_1)$	$=$	$\arg((\sqrt{3} - i)^4)$ $[2\pi]$
	$ = $	$4 \arg(\sqrt{3} - i)$ $[2\pi]$
	$ = $	$4\times\dfrac{-\pi}{6}$ $[2\pi]$
	$ = $	$\dfrac{-2\pi}{3}$ $[2\pi]$
	$ = $	$\dfrac{4\pi}{3}$ $[2\pi]$

Pour $z_2$.
$|z_2|$ $=$ $\left|\dfrac{1+i}{\sqrt{3} - i}\right|$ $=$ $\dfrac{|1+i|}{|\sqrt{3} - i|}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\arg(z_2)$	$=$	$\arg\left( \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i} \right)$ $[2\pi]$
	$ = $	$\arg(1+i) - \arg(\sqrt{3} - i)$ $[2\pi]$
	$ = $	$\dfrac{\pi}{4} - (-\dfrac{\pi}{6})$ $[2\pi]$ $[2\pi]$
	$ = $	$\dfrac{5\pi}{12}$ $[2\pi].$

On peut poursuivre les calculs avec $z_2$ pour arriver à une formule intéressante.
$z_2$ $=$ $\dfrac{1+i}{\sqrt{3} - i}$ $=$ $\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)}$ $=$ $\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{4}$.
En développant cette dernière écriture nous obtenons la forme algébrique suivante :
$z_2 = \dfrac{\sqrt{3}-1}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}$.
En mettant le module en facteur, on obtient :
$z_2$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left( \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)$.
On reconnaît, la forme trigonométrique de $z_2$, donc :
$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ $=$ $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,
$\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ $=$ $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Inégalité triangulaire

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : $|z+z'|$ $\leq$ $|z|+|z'|.$ La preuve de cette propriété n'est pas exigible en terminale, nous la donnons en annexe à la fin de ce cours pour les plus curieux.
Dans le graphique précédent, cette inégalité triangulaire se traduit par le fait que : $OM_1$ $\leq$ $OM + MM_1$.
Applications à la géométrie Affixe d'un vecteur et distance On se place dans le plan complexe munit d'un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$.
Soit $\overrightarrow{V}$ un vecteur tel que $\overrightarrow{V} = x\vec{u}+y\vec{v}$.
On dit alors que le vecteur $\overrightarrow{V}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{V}}$ $=$ $x+iy$.
Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors :

$z_B - z_A$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$AB$ $=$ $|z_B - z_A|$.

Preuve

$\overrightarrow{AB}$ $=$ $(x_B-x_A)\vec{u} + (y_B-y_A)\vec{v}$.
Donc :
$z_{\overrightarrow{AB}}$ $=$ $(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$ $=$ $x_B+iy_B - (x_A+iy_A)$ $=$ $z_B - z_A$.
$AB$ $=$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}$.
$|z_{\overrightarrow{AB}}|$ $=$ $|z_B - z_A|$ $=$ $| (x_B-x_A) + i(y_B - y_A) |$ $=$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}$.

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixe respectives : $z_A = 1+2i$ et $z_B = 3-i$.
$AB$ $=$ $|z_B - z_A|$ $=$ $|1+2i - 3 +i|$ $=$ $|-2+3i|$ $=$ $\sqrt{13}$. Déterminer dans le plan complexe les solutions de l'équation : $|z-2i| = 3$. On pose $M$ le point d'affixe $z$, et $A$ le point d'affixe $2i$.
L'équation est alors équivalente à : $AM = 3$.
Les solutions sont donc les affixes des points situés sur le cercle de centre $A$ et de rayon 3. Déterminer dans le plan complexe les solutions de l'équation : $|z+1| = |z-i|$. On définit le point $M$ d'affixe $z$, le point $A$ d'affixe $-1$ et le point $B$ d'affixe $i$.
L'équation est alors équivalente à : $AM = BM$.
Les solutions sont donc les affixes des points situés sur la médiatrice du segment $[AB]$.

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rayon $R$.
$z\in\mathcal{C}$ $\Longleftrightarrow$ $|z-\omega| = R.$
La médiatrice de $[AB]$, où $A$ et $B$ sont d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que :
$|z-z_A|$ $=$ $|z-z_B|.$

Pour tout $M\neq O$, $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$ $=$ $\arg(z)$ $[2\pi]$.
Pour tout $A(z_A)$ et $B(z_B)$ avec $A\neq B$ : $(\vec{u},\overrightarrow{AB})$ $=$ $\arg(z_B - z_A)$ $[2\pi]$.
Soient $z_A$, $z_B$ et $z_C$ les affixes des points $A$, $B$ et $C$ tels que $A\neq B$ et $B\neq C$. Alors :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=$ $\arg\left( \dfrac{z_C - z_A}{ z_B - z_A} \right)$ $[2\pi]. $
Soient $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$ les affixes des points $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que $A\neq B$ et $C\neq D$. Alors :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ $=$ $\arg\left( \dfrac{z_D - z_C}{ z_B - z_A} \right)$ $[2\pi]. $

Preuve du point 1
Par définition.

Preuve du point 2
$(\vec{u},\overrightarrow{AB})$ $[2\pi]$ $=$ $\arg(z_{\overrightarrow{AB}})$ $[2\pi]$ $=$ $\arg(z_B - z_A)$ $[2\pi]$.

Preuve du point 3
On s'appuiera sur la figure suivante pour justifier la première égalité angulaire ci-dessous.

En effet, nous avons d'après la relation de Chasles angulaire :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC})$ $=$ $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.

Et puisque $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u})$ $=$ $-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}) [2\pi]$ nous obtenons :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$	$=$	$(\vec{u},\overrightarrow{AC}) - (\vec{u},\overrightarrow{AB})$ $[2\pi]$
	$ = $	$\arg(z_{\overrightarrow{AC}}) - \arg(z_{\overrightarrow{AB}})$ $[2\pi]$
	$ = $	$\arg(z_C-z_A) - \arg(z_B - z_A)$ $[2\pi]$
	$ = $	$ \arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ $[2\pi].$

Preuve du point 4

$\arg\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$	$=$	$\arg(z_D - z_C) - \arg(z_B-z_A)$ $[2\pi]$
	$=$	$(\vec{u},\overrightarrow{CD}) - (\vec{u},\overrightarrow{AB})$ $[2\pi]$
	$=$	$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) $ $[2\pi]$.

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ $=$ $0$ $[\pi]$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\arg\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$ $=$ $\dfrac{\pi}{2}$ $[\pi]$.

Preuve
Il suffit de traduire les conditions en égalités angulaires. Exponentielle complexe Définition
On définit une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ par :

pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, $f(\theta) =$ $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

$f(0)$ $=$ $\cos 0+i\sin 0$ $=$ $1$.

$f\left( \dfrac{5\pi}{6}\right) =$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$.

Pour tout réel $\theta$, $f(\theta) =$ $1(\cos\theta+i\sin\theta)$, ce qui nous amène à la propriété suivante.

Pour tout nombre réel $\theta$, $|f(\theta)|$ $=$ $1$ et $arg(f(\theta))$ $=$ $\theta$ $[2\pi]$.
Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta'$, $f(\theta+\theta')$ $=$ $f(\theta)f(\theta')$. Preuve
D'après la propriété 6 concernant le produit des écritures trigonométriques :

$f(\theta)f(\theta')$ $=$ $|f(\theta)||f(\theta')|(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$.
$\color{white}{f(\theta)f(\theta')}$ $=$ $f(\theta+\theta')$. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$. On admet que la fonction $f$ est également dérivable sur $\mathbb{R}$ et que : $f'(\theta)$ $=$ $\cos'(\theta)+i\sin'(\theta)$.
Ainsi : $f'(\theta)=$ $-\sin(\theta)+i\cos(\theta)$ $=$ $i^2\sin(\theta)+i\cos(\theta)$ $=$ $i(i\sin(\theta)+\cos(\theta))$, donc $f'(\theta)=$ $if(\theta)$.

Cette égalité est à rapprocher du fait que si $g(x)=e^{kx}$ alors $g'(x)=$ $ke^{kx}$ $=$ $kg(x)$.

La propriété précédente et cette remarque permettent de faire l'analogie entre la fonction $f$ ainsi définie et la fonction exponentielle. Euler introduit l'écriture suivante en 1748 :

Pour tout nombre réel $\theta$, $e^{i\theta}$ $=$ $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. Ainsi, $e^{i\theta}$ désigne le nombre complexe de module 1 dont un argument est $\theta$.
Le cercle trigonométrique est donc l'ensemble des points d'affixes $e^{i\theta}$ avec $\theta$ parcourant $\mathbb{R}$.

Donner les formes algébriques des nombres complexes ci-dessous :

$e^{i0}$	$e^{2i\pi}$	$e^{i\pi}$	$e^{i\pi/2}$
$e^{-i\pi/2}$	$e^{3i\pi/2}$	$e^{i\pi/3}$	$e^{2i\pi/3}$

$e^{i0}=$ $1$	$e^{2i\pi}=$ $1$	$e^{i\pi}=$ $-1$	$e^{i\pi/2}=$ $i$
$e^{-i\pi/2}=$ $-i$	$e^{3i\pi/2}=$ $-i$	$e^{i\pi/3}=$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$	$e^{2i\pi/3}=$ $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

Propriétés
Pour tout nombre complexe $z$ non nul, il existe un unique couple de réels $r$ et $\theta$, $r>0$ et $\theta\in$ $]-\pi;\pi[$ tel que :

$z$ $=$ $re^{i\theta}$.

Preuve
Cette propriété est une réécriture de la propriété affirmant l'existence de la forme trigonométrique pour tout nombre complexe.
Une forme exponentielle d'un nombre complexe $z$ non nul dont un argument est $\theta$, est l'écriture $z=|z|e^{i\theta}$.
Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta'$, pour tout entier naturel $n$ :

$|e^{i\theta}|=$ $1$ et $\arg(e^{i\theta})=$ $\theta$ $[2\pi]$
$\dfrac{1}{e^{i\theta}}=$ $e^{-i\theta}$
$\overline{e^{i\theta}}=$ $e^{-i\theta}$
$e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=$ $e^{i(\theta+\theta')}$
$\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} =$ $e^{i(\theta-\theta')}$
$(e^{i\theta})^n =$ $e^{ni\theta}$
$e^{i\theta} = e^{i\theta'}$ si, et seulement si $\theta = \theta'$ $[2\pi]$

Preuve
Ces égalités s'obtiennent pour l'essentiel à l'aide des propriétés de la forme trigonométrique.
La dernière égalité provient du fait que :
$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta = \cos\theta' & \Longleftrightarrow & \theta = \theta' \text{ ou } \theta = -\theta' [2\pi] \\ \sin\theta = \sin\theta' & \Longleftrightarrow & \theta = \theta' \text{ ou } \theta = \pi-\theta' [2\pi] \\ \end{array}\right.$
La seule possibilité est donc que : $\theta = \theta'$. Soit $z=1+i$. Calculer la forme algébrique de $z^8$. On a $z$ $=$ $\sqrt{2}e^{i\pi/4}$, donc $z^8$ $=$ $\sqrt{2}^8e^{8i\pi/4}$ $=$ $16e^{2i\pi}$ $=$ $16$. Le nombre complexe $z=-2e^{i\pi/3}$ est-il écrit avec une forme exponentielle ? Le nombre $z$ n'est pas écrit sous forme exponentielle car $-2$ n'est pas strictement positif.

$z=$ $2e^{i\pi}e^{i\pi/3}$ $=$ $\displaystyle{2e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)}}$ $=$ $2e^{4i\pi/3}$.
Une forme exponentielle de $z$ est donc $2e^{4i\pi/3}$.
Pour tout réel $\theta$ :

$\cos\theta$ $=$ $\dfrac{ \text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta} }{2}$
$\sin\theta$ $=$ $\dfrac{ \text{e}^{i\theta} - \text{e}^{-i\theta} }{2i}$

Preuve
Nous utilisons ici la définition de $\text{e}^{i\theta}$ et de $\text{e}^{-i\theta}$, ainsi que la parité des fonctions sinus et cosinus.
$\left\{ \begin{array}{rclc} \text{e}^{i\theta} & = & \cos\theta + i\sin\theta & (1)\\ \text{e}^{-i\theta} & = & \cos\theta - i\sin\theta & (2) \\ \end{array}\right.$
En effectuant $(1)+(2)$ nous obtenons : $\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}$ $=$ $2\cos\theta$ et donc : $\cos\theta = \dfrac{ \text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta} }{2}$.

De même $(1)-(2)$ nous donne : $\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}$ $=$ $2i\sin\theta$, et : $\sin\theta = \dfrac{ \text{e}^{i\theta} - \text{e}^{-i\theta} }{2i}$. En classe de première nous avons vu la formule, pour tout réel $x$ : $\cos^2 x$ $=$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2x)$.
Cette formule s'appelle une formule de linéarisation, c'est-à-dire que l'on transforme une puissance d'un cosinus (ou d'un sinus) en une écriture sans exposant ou produit de fonctions trigonométriques.

Pour tout réel $x$, déterminer une formule de linéarisation pour $\cos^3(x)$. Rappelons tout d'abord la formule suivante, pour touts réels $a$ et $b$ :
$(a+b)^3$ $=$ $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Par ailleurs, pour tout réel $x$, nous avons :

$\cos^3 x$	$ = $	$\left( \dfrac{\text{e}^{ix} + \text{e}^{-ix}}{2} \right)^3$
	$ = $	$ \dfrac{ \left(\text{e}^{ix} + \text{e}^{-ix} \right)^3}{8}$
	$ = $	$\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + 3\text{e}^{2ix}\text{e}^{-ix}+3\text{e}^{ix}\text{e}^{-2ix}+\text{e}^{-3ix}\right)$
	$ = $	$\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + 3\text{e}^{ix}+3\text{e}^{-ix}+\text{e}^{-3ix}\right)$
	$ = $	$\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + \text{e}^{-3ix} + 3\left(\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}\right) \right)$
	$ = $	$\dfrac{1}{8}\left( 2\cos(3x) + 6\cos x \right)$
	$ = $	$\dfrac{1}{4}\cos(3x)+\dfrac{3}{4}\cos x.$

Cette dernière égalité est bien une formule de linéarisation pour $\cos^3 x$. La méthode vue dans la correction du précédent exercice est à connaître, les formules de linéarisation en trigonométrie étant utiles dans de nombreuses situations. Annexe Nous démontrons ici l'inégalité triangulaire.
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : $$|z+z'| \leq |z|+|z'|.$$ Nous rappelons que la preuve de cette propriété n'est pas exigible en terminale.

Preuve
Soient $\rho_1$, $\rho_2$, $\theta_1$ et $\theta_2$ des nombres réels tels que : $z = \rho_1 \text{e}^{i \theta_1}$ et $z'=\rho_2 \text{e}^{i \theta_2}$. Nous avons alors :

$|z+z'| = \left|\rho_1 \text{e}^{i \theta_1} +\rho_2 \text{e}^{i \theta_2}\right|$ $ = $ $\left|\text{e}^{i \theta_1}\right|\left|\rho_1 + \rho_2 \text{e}^{i (\theta_2 - \theta_1)}\right|$ $=$ $\left|\rho_1 + \rho_2 \text{e}^{i (\theta_2 - \theta_1)}\right|$.

Pour simplifier l'écriture, posons $\alpha = \theta_2 - \theta_1$ et nous obtenons :

$\|z+z'\|^2$	$=$	$(\rho_1 + \rho_2 \cdot \cos(\alpha))^2 + (\rho_2 \cdot \sin(\alpha))^2$
	$=$	$\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2\cdot (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + 2 \cdot \cos(\alpha) \rho_1 \rho_2$
	$=$	$\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 + 2 \cos(\alpha) \rho_1 \rho_2$.

car $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$. De plus, comme $2\cos(\alpha)\rho_1 \rho_2 \leq 2 \rho_1 \rho_2 $, nous avons :

$$|z+z'|^2 \leq\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 +2 \rho_1 \rho_2 = (\rho_1+\rho_2)^2 = (|z|+|z'|)^2$$

Par croissance de la fonction racine carrée sur $\mathbb{R}^+$ : $$|z+z'| \leq |z| + |z'|.$$