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Terminale S - Nombres complexes (2) Le plan complexe est orienté et est muni d'un repère orthonormé (O;u⃗;v⃗)(O;\vec{u};\vec{v}). Module et argument d'un nombre complexe Rappels Nous aurons à utiliser fréquemment dans ce chapitre les valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus.
tt 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2}
sin⁡(t)\sin(t) 0 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 1
cos⁡(t)\cos(t) 1 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 12\dfrac{1}{2} 0

Il faudra également savoir les utiliser à l'intérieur du cercle trigonométrique.
0.20.40.60.811.2−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1.20.20.40.60.811.2−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1.2
M
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
11π/6
7π/4
5π/3
π/2
4π/3
5π/4
7π/6
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
Déplacer le point MM
À l'aide de ce cercle nous voyons, par exemple, que : cos⁡(3π4)=\cos\left( \dfrac{3\pi}{4}\right) = −22-\dfrac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡(3π4)=\sin\left( \dfrac{3\pi}{4}\right) = 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Définition Soit z=x+iyz=x+iy un nombre complexe, et MM le point d'affixe zz.
Pour z≠0z\neq0 le point MM est entièrement défini par ses coordonnées polaires (r,θ)(r,\theta) :

4∙\bullet r= r = OMOM == x2+y2.\sqrt{x^2+y^2}.
4∙\bullet θ=\theta = (u⃗,OM→).(\vec{u},\overrightarrow{OM}).
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
O
M
x
y
r
α
Déplacer le point MM

Soit zz un nombre complexe non nul, et MM son image.

Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
123−1−2−3123−1−2−3
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
O
M1
M2
M3
M4
Soit zz un nombre complexe non nul. Propriétés
Soit zz un nombre complexe non nul. On a alors :

∣z‾∣|\overline{z}| == ∣z∣|z| 4 et 4 arg⁡z‾\arg{\overline{z}} == −arg⁡(z)- \arg(z) [2π][2\pi].
Preuve
L'égalité sur les modules a été démontrée dans le cours précédent.

Pour démontrer l'égalité concernant les arguments, observons tout d'abord la figure suivante :
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
O
M
M'
x
y
-y
r
α
β
Déplacer le point MM Le point M′M' ayant pour affixe z‾\overline{z}, le triangle MOM′MOM' est isocèle de sommet OO.
L'axe des réels est donc un axe de symétrie de ce triangle. Ainsi les angles α\alpha et β\beta ont même mesure.
D'après les égalités sur les angles orientés nous avons que : (u⃗,OM→)(\vec{u}, \overrightarrow{OM}) == −(u⃗,OM′→)- (\vec{u}, \overrightarrow{OM'}) [2π][2\pi].
Ainsi, nous avons bien que : arg⁡(z‾)=−arg⁡(z)[2π]\arg(\overline{z}) = -\arg(z) [2\pi].

Soit zz un nombre complexe non nul. On a alors :
arg⁡(−z)\arg(-z) == arg⁡(z)+π\arg(z)+\pi [2π].[2\pi].
Cette propriété se démontre également en utilisant une configuration géométrique simple et les propriétés des angles orientés. On remarquera que (OM→,OM′→)(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'}) == π\pi [2π][2\pi].
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
O
M
M'
x
-x
y
-y
r
α
β
Déplacer le point MM Forme trigonométrique
Pour tout nombre complexe zz non nul, il existe un unique couple de réels rr et θ\theta, r>0r>0 et θ∈]−π;π]\theta\in]-\pi;\pi], tel que :
zz == r(cos⁡θ+isin⁡θ).r\left(\cos\theta + i\sin \theta\right).
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
O
M
x
y
r
rcos⁡θr\cos\theta
rsin⁡θr\sin\theta
θ\theta
Déplacer le point MM Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de zz. Soit zz un nombre complexe de module 2 et d'argument π4\dfrac{\pi}{4}. Alors :
zz == 2(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)
= =2(22+i22) 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
= =2+i2.\sqrt{2} + i\sqrt{2}.
Si on connaît l'écriture algébrique d'un nombre complexe z=x+iyz=x+iy, alors, en utilisant les formules de trigonométrie (en se plaçant dans les deux triangles rectangles de la figure précédente) on obtient : {∣z∣=x2+y2arg⁡(z)=θ o uˋθ est tel que {cos⁡(θ)=x∣z∣sin⁡(θ)=y∣z∣\left\{ \begin{array}{l} |z| = \sqrt{x^2+y^2} \\ \arg(z) = \theta \text{ où } \theta \text{ est tel que } \left\{ \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{x}{|z|} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{y}{|z|} \end{array}\right. \end{array} \right. Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : z1=1+iz_1 = 1+i et z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i. ∣z1∣|z_1| == 12+12\sqrt{ 1^2+ 1^2} == 2\sqrt{2}.
De plus, Re(z1)∣z1∣\dfrac{Re(z_1)}{|z_1|} == 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} == 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Et de même, Im(z1)∣z1∣\dfrac{Im(z_1)}{|z_1|} == 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Ainsi, arg⁡(z1)\arg(z_1) == π4 \dfrac{\pi}{4} [2π][2\pi].

Et, z1z_1 == 2(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right).


Pour z2=3−iz_2=\sqrt{3} - i, ∣z2∣|z_2| == (3)2+12\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} == 22.
Re(z2)∣z2∣\dfrac{Re(z_2)}{|z_2|} == 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} et Im(z2)∣z2∣\dfrac{Im(z_2)}{|z_2|} == −12-\dfrac{1}{2}.
On en déduit que : arg⁡(z2)\arg(z_2) == −π6-\dfrac{\pi}{6} [2π][2\pi].
Et donc :
z2=2(cos⁡(−π6)+isin⁡(−π6))z_2 = 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right).
Deux nombres complexes non nuls zz et z′z' sont égaux si et seulement si : ∣z∣=∣z′∣|z| = |z'| et arg⁡(z)=arg⁡(z′)\arg(z) = \arg(z') [2π].[2\pi].
Propriétés du module et de l'argument Propriétés du conjugué et de l'opposé Nous avons déjà évoqué des propriétés concernant le conjugués et l'opposé d'un nombre complexe. Nous les rappelons ici en une seule propriété, et nous en donnons une preuve plus élégante à l'aide de l'écriture sous forme trigonométrique.
Soit zz un nombre complexe non nul.
Preuve
Rappelons tout d'abord que : cos⁡(θ+π)\cos(\theta+\pi) == −cos⁡θ-\cos\theta et sin⁡(θ+π)\sin(\theta+\pi) == −sin⁡θ-\sin\theta.

Si on note rr et θ\theta le module et un argument de zz, nous avons alors que z=z = r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) et : −z-z == −r(cos⁡θ+isin⁡θ)-r(\cos\theta+i\sin\theta) == r(−cos⁡θ−isin⁡θ)r(-\cos\theta-i\sin\theta) == r(cos⁡(θ+π)+isin⁡(θ+π))r(\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi)).

Ainsi nous avons bien que : ∣−z∣|-z| == rr == ∣z∣|z| et arg⁡(−z)\arg(-z) == θ+π\theta+\pi == arg⁡(z)+π\arg(z)+\pi [2π][2\pi].

Pour les égalités sur le conjugué, nous utiliserons le fait que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.

z‾\overline{z} == r(cos⁡θ−isin⁡θ)r( \cos\theta - i\sin\theta ) == r(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta).

Ainsi nous avons bien que : ∣z‾∣|\overline{z}| == rr == ∣z∣|z| et arg⁡(z‾)\arg(\overline{z}) == −θ-\theta == −arg⁡(z)-\arg(z) [2π][2\pi]. Produit Observons tout d'abord quelques calculs, pour lesquels nous aurons besoin de rappeler les deux formules de trigonométrie suivantes.
Pour tous réels aa et bb, nous avons :
Soient zz et z′z' deux nombres complexes de formes trigonométriques z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z= r(\cos\theta+i\sin\theta) et z′=r′(cos⁡θ′+isin⁡θ′)z'= r'(\cos\theta'+i\sin\theta').
Alors :
z×z′z\times z' == r(cos⁡θ+isin⁡θ)r′(cos⁡θ′+isin⁡θ′)r(\cos\theta+i\sin\theta)r'(\cos\theta'+i\sin\theta')
== rr′(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′+i(cos⁡θsin⁡θ′+cos⁡θ′sin⁡θ))rr'( \cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta' + i ( \cos\theta\sin\theta'+\cos\theta'\sin\theta ) )
== rr′(cos⁡(θ+θ′)+isin⁡(θ+θ′))rr'(\cos(\theta+\theta') + i\sin(\theta+\theta')).

Ainsi, ∣zz′∣|zz'| == rr′ rr' == ∣z∣∣z′∣|z||z'|.
Et, arg⁡(zz′)\arg(zz') == θ+θ′\theta+\theta' == arg⁡(z)+arg⁡(z′)\arg(z) + \arg(z') [2π][2\pi].

Soient zz et z′z' deux nombres complexes non nuls et nn un entier naturel non nul.
  1. ∣zz′∣|zz'| == ∣z∣∣z′∣|z||z'|.
  2. arg⁡(zz′)\arg(zz') == arg⁡(z)+arg⁡(z′)\arg(z)+\arg(z') [2π][2\pi].
  3. ∣zn∣|z^n| == ∣z∣n|z|^n et arg⁡(zn)\arg(z^n) == narg⁡(z)n\arg(z) [2π][2\pi].
 Les points 1 et 2 ont été démontrés juste précédemment. Le point 3 se démontre par récurrence en utilisant les points 1 et 2. Quotient
Soient zz et z′z' deux nombres complexes non nuls.
  1. ∣zz′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right| == ∣z∣∣z′∣\dfrac{|z|}{|z'|}.
  2. arg⁡(zz′)\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) == arg⁡(z)−arg⁡(z′)\arg(z) - \arg(z') [2π][2\pi].
 Preuve
  1. ∣z∣|z| == ∣zz′×z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\times z'\right| == ∣zz′∣×∣z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right| \times |z'|, c'est-à-dire : ∣z∣|z| == ∣zz′∣×∣z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right| \times |z'|.
    Ainsi, à l'aide d'un produit en croix on obtient bien que : ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}.
  2. arg⁡(z)\arg(z) == arg⁡(zz′×z′)\arg\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right) == arg⁡(zz′)+arg⁡(z′)\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) + \arg(z') [2π][2\pi].

    C'est-à-dire : arg⁡(zz′)\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) == arg⁡(z)−arg⁡(z′)\arg(z) - \arg(z') [2π][2\pi].
Il n'y a pas de propriété pour la somme et la différence. En général, les formes trigonométriques sont bien adaptées aux produits et quotients de complexes, alors que les formes algébriques sont bien adaptées aux sommes et différences de complexes. Soient z1=(3−i)4z_1 = (\sqrt{3} -i)^4 et z2=1+i3−iz_2 = \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}.
Déterminer le module et un argument pour chacun de ces nombres complexes. Nous avions vu que : 3−i=\sqrt{3}-i = 2(cos⁡(−π6)+isin⁡(−π6))2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) et 1+i=1+i = 2(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right).

Donc : ∣3−i∣|\sqrt{3} - i| == 22 et arg⁡(3−i)\arg(\sqrt{3} - i) == −π6-\dfrac{\pi}{6} [2π][2\pi].
Et : ∣1+i∣=|1+i| = 2\sqrt{2} et arg⁡(1+i)=\arg(1+i) = π4\dfrac{\pi}{4} [2π][2\pi].

Pour z1z_1.
∣z1∣|z_1| == ∣(3−i)4∣|(\sqrt{3}-i)^4| == ∣3−i∣4|\sqrt{3}-i|^4 == 242^4 == 1616.
arg⁡(z1)\arg(z_1) == arg⁡((3−i)4)\arg((\sqrt{3} - i)^4) [2π][2\pi]
= = 4arg⁡(3−i)4 \arg(\sqrt{3} - i) [2π][2\pi]
= = 4×−π64\times\dfrac{-\pi}{6} [2π][2\pi]
= = −2π3\dfrac{-2\pi}{3} [2π][2\pi]
= = 4π3\dfrac{4\pi}{3} [2π][2\pi]


Pour z2z_2.
∣z2∣|z_2| == ∣1+i3−i∣\left|\dfrac{1+i}{\sqrt{3} - i}\right| == ∣1+i∣∣3−i∣\dfrac{|1+i|}{|\sqrt{3} - i|} == 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

arg⁡(z2)\arg(z_2) == arg⁡(1+i3−i)\arg\left( \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i} \right) [2π][2\pi]
= = arg⁡(1+i)−arg⁡(3−i)\arg(1+i) - \arg(\sqrt{3} - i) [2π][2\pi]
= = π4−(−π6)\dfrac{\pi}{4} - (-\dfrac{\pi}{6}) [2π][2\pi] [2π][2\pi]
= = 5π12\dfrac{5\pi}{12} [2π].[2\pi].


On peut poursuivre les calculs avec z2z_2 pour arriver à une formule intéressante.
z2z_2 == 1+i3−i\dfrac{1+i}{\sqrt{3} - i} == (1+i)(3+i)(3−i)(3+i)\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)} == (1+i)(3+i)4\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{4}.
En développant cette dernière écriture nous obtenons la forme algébrique suivante :
z2=3−14+i3+14z_2 = \dfrac{\sqrt{3}-1}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}.
En mettant le module en facteur, on obtient :
z2z_2 == 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} (6−24+i6+24)\left( \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right).
On reconnaît, la forme trigonométrique de z2z_2, donc :
cos⁡(5π12)\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) == 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},
sin⁡(5π12)\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) == 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. Inégalité triangulaire
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
O
M
M'
M1
|z|
|z‘|
|z‘|
|z+z‘|
|z|

Pour tous nombres complexes zz et z′z' : ∣z+z′∣|z+z'| ≤\leq ∣z∣+∣z′∣.|z|+|z'|. La preuve de cette propriété n'est pas exigible en terminale, nous la donnons en annexe à la fin de ce cours pour les plus curieux.
Dans le graphique précédent, cette inégalité triangulaire se traduit par le fait que : OM1OM_1 ≤\leq OM+MM1OM + MM_1.
Applications à la géométrie Affixe d'un vecteur et distance On se place dans le plan complexe munit d'un repère orthonormé (O;u⃗;v⃗)(O;\vec{u};\vec{v}).
Soit V→\overrightarrow{V} un vecteur tel que V→=xu⃗+yv⃗\overrightarrow{V} = x\vec{u}+y\vec{v}.
On dit alors que le vecteur V→\overrightarrow{V} a pour affixe zV→z_{\overrightarrow{V}} == x+iyx+iy.
Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B. Alors :
  1. zB−zAz_B - z_A est l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
  2. ABAB == ∣zB−zA∣|z_B - z_A|.
 Preuve
  1. AB→\overrightarrow{AB} == (xB−xA)u⃗+(yB−yA)v⃗(x_B-x_A)\vec{u} + (y_B-y_A)\vec{v}.
    Donc :
    zAB→z_{\overrightarrow{AB}} == (xB−xA)+i(yB−yA)(x_B-x_A)+i(y_B-y_A) == xB+iyB−(xA+iyA)x_B+iy_B - (x_A+iy_A) == zB−zAz_B - z_A.
  2. ABAB == (xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}.
    ∣zAB→∣|z_{\overrightarrow{AB}}| == ∣zB−zA∣|z_B - z_A| == ∣(xB−xA)+i(yB−yA)∣| (x_B-x_A) + i(y_B - y_A) | == (xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}.
Soient AA et BB deux points d'affixe respectives : zA=1+2iz_A = 1+2i et zB=3−iz_B = 3-i.
ABAB == ∣zB−zA∣|z_B - z_A| == ∣1+2i−3+i∣|1+2i - 3 +i| == ∣−2+3i∣|-2+3i| == 13\sqrt{13}. Déterminer dans le plan complexe les solutions de l'équation : ∣z−2i∣=3|z-2i| = 3. On pose MM le point d'affixe zz, et AA le point d'affixe 2i2i.
L'équation est alors équivalente à : AM=3AM = 3.
Les solutions sont donc les affixes des points situés sur le cercle de centre AA et de rayon 3. Déterminer dans le plan complexe les solutions de l'équation : ∣z+1∣=∣z−i∣|z+1| = |z-i|. On définit le point MM d'affixe zz, le point AA d'affixe −1-1 et le point BB d'affixe ii.
L'équation est alors équivalente à : AM=BMAM = BM.
Les solutions sont donc les affixes des points situés sur la médiatrice du segment [AB][AB].
  1. Soit C\mathcal{C} un cercle de centre Ω\Omega d'affixe ω\omega et de rayon RR.
    z∈Cz\in\mathcal{C} ⟺\Longleftrightarrow ∣z−ω∣=R.|z-\omega| = R.
  2. La médiatrice de [AB][AB], où AA et BB sont d'affixes respectives zAz_A et zBz_B, est l'ensemble des points MM d'affixe zz tel que :
    ∣z−zA∣|z-z_A| == ∣z−zB∣.|z-z_B|.


  1. Pour tout M≠OM\neq O, (u⃗,OM→)(\vec{u},\overrightarrow{OM}) == arg⁡(z)\arg(z) [2π][2\pi].
  2. Pour tout A(zA)A(z_A) et B(zB)B(z_B) avec A≠BA\neq B : (u⃗,AB→)(\vec{u},\overrightarrow{AB}) == arg⁡(zB−zA)\arg(z_B - z_A) [2π][2\pi].
  3. Soient zAz_A, zBz_B et zCz_C les affixes des points AA, BB et CC tels que A≠BA\neq B et B≠CB\neq C. Alors :
    (AB→,AC→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) == arg⁡(zC−zAzB−zA)\arg\left( \dfrac{z_C - z_A}{ z_B - z_A} \right) [2π].[2\pi].
  4. Soient zAz_A, zBz_B, zCz_C et zDz_D les affixes des points AA, BB, CC et DD tels que A≠BA\neq B et C≠DC\neq D. Alors :
    (AB→,CD→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) == arg⁡(zD−zCzB−zA)\arg\left( \dfrac{z_D - z_C}{ z_B - z_A} \right) [2π].[2\pi].
Preuve du point 1
Par définition.

Preuve du point 2
(u⃗,AB→)(\vec{u},\overrightarrow{AB}) [2π][2\pi] == arg⁡(zAB→)\arg(z_{\overrightarrow{AB}}) [2π][2\pi] == arg⁡(zB−zA)\arg(z_B - z_A) [2π][2\pi].

Preuve du point 3
On s'appuiera sur la figure suivante pour justifier la première égalité angulaire ci-dessous.
AA
B
C
u⃗\vec{u}
En effet, nous avons d'après la relation de Chasles angulaire :
(AB→,u→)+(u→,AC→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}) == (AB→,AC→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).

Et puisque (AB→,u→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}) == −(u→,AB→)[2π]-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}) [2\pi] nous obtenons :

(AB→,AC→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) == (u⃗,AC→)−(u⃗,AB→)(\vec{u},\overrightarrow{AC}) - (\vec{u},\overrightarrow{AB}) [2π][2\pi]
= = arg⁡(zAC→)−arg⁡(zAB→)\arg(z_{\overrightarrow{AC}}) - \arg(z_{\overrightarrow{AB}}) [2π][2\pi]
= = arg⁡(zC−zA)−arg⁡(zB−zA)\arg(z_C-z_A) - \arg(z_B - z_A) [2π][2\pi]
= = arg⁡(zC−zAzB−zA) \arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) [2π].[2\pi].


Preuve du point 4
arg⁡(zD−zCzB−zA)\arg\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) == arg⁡(zD−zC)−arg⁡(zB−zA)\arg(z_D - z_C) - \arg(z_B-z_A) [2π][2\pi]
== (u⃗,CD→)−(u⃗,AB→)(\vec{u},\overrightarrow{CD}) - (\vec{u},\overrightarrow{AB}) [2π][2\pi]
== (AB→,CD→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) [2π][2\pi].


  1. Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si arg⁡(zC−zAzB−zA)\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) == 00 [π][\pi].
  2. Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont perpendiculaires si et seulement si arg⁡(zD−zCzB−zA)\arg\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) == π2\dfrac{\pi}{2} [π][\pi].
 Preuve
Il suffit de traduire les conditions en égalités angulaires. Exponentielle complexe Définition
On définit une fonction ff de R\mathbb{R} dans C\mathbb{C} par :
pour tout θ∈R\theta\in\mathbb{R}, f(θ)=f(\theta) = cos⁡(θ)+isin⁡(θ)\cos(\theta)+i\sin(\theta).
f(0)f(0) == cos⁡0+isin⁡0\cos 0+i\sin 0 == 11.

f(5π6)=f\left( \dfrac{5\pi}{6}\right) = −32+12i-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i.

Pour tout réel θ\theta, f(θ)=f(\theta) = 1(cos⁡θ+isin⁡θ)1(\cos\theta+i\sin\theta), ce qui nous amène à la propriété suivante.

Pour tout nombre réel θ\theta, ∣f(θ)∣|f(\theta)| == 11 et arg(f(θ))arg(f(\theta)) == θ\theta [2π][2\pi].
Pour tous nombres réels θ\theta et θ′\theta', f(θ+θ′)f(\theta+\theta') == f(θ)f(θ′)f(\theta)f(\theta'). Preuve
D'après la propriété 6 concernant le produit des écritures trigonométriques :

f(θ)f(θ′)f(\theta)f(\theta') == ∣f(θ)∣∣f(θ′)∣(cos⁡(θ+θ′)+isin⁡(θ+θ′))|f(\theta)||f(\theta')|(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')).
f(θ)f(θ′)\color{white}{f(\theta)f(\theta')} == f(θ+θ′)f(\theta+\theta'). Les fonctions cos⁡\cos et sin⁡\sin sont dérivables sur R\mathbb{R}. On admet que la fonction ff est également dérivable sur R\mathbb{R} et que : f′(θ)f'(\theta) == cos⁡′(θ)+isin⁡′(θ)\cos'(\theta)+i\sin'(\theta).
Ainsi : f′(θ)=f'(\theta)= −sin⁡(θ)+icos⁡(θ)-\sin(\theta)+i\cos(\theta) == i2sin⁡(θ)+icos⁡(θ)i^2\sin(\theta)+i\cos(\theta) == i(isin⁡(θ)+cos⁡(θ))i(i\sin(\theta)+\cos(\theta)), donc f′(θ)=f'(\theta)= if(θ)if(\theta).

Cette égalité est à rapprocher du fait que si g(x)=ekxg(x)=e^{kx} alors g′(x)=g'(x)= kekxke^{kx} == kg(x)kg(x).

La propriété précédente et cette remarque permettent de faire l'analogie entre la fonction ff ainsi définie et la fonction exponentielle. Euler introduit l'écriture suivante en 1748 :

Pour tout nombre réel θ\theta, eiθe^{i\theta} == cos⁡(θ)+isin⁡(θ)\cos(\theta)+i\sin(\theta). Ainsi, eiθe^{i\theta} désigne le nombre complexe de module 1 dont un argument est θ\theta.
Le cercle trigonométrique est donc l'ensemble des points d'affixes eiθe^{i\theta} avec θ\theta parcourant R\mathbb{R}.

Donner les formes algébriques des nombres complexes ci-dessous :
ei0e^{i0} e2iπe^{2i\pi} eiπe^{i\pi} eiπ/2e^{i\pi/2}
e−iπ/2e^{-i\pi/2} e3iπ/2e^{3i\pi/2} eiπ/3e^{i\pi/3} e2iπ/3e^{2i\pi/3}
ei0=e^{i0}= 11 e2iπ=e^{2i\pi}= 11 eiπ=e^{i\pi}= −1-1 eiπ/2=e^{i\pi/2}= ii
e−iπ/2=e^{-i\pi/2}= −i-i e3iπ/2=e^{3i\pi/2}= −i-i eiπ/3=e^{i\pi/3}= 12+32i\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i e2iπ/3=e^{2i\pi/3}= −12+32i-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
Propriétés
Pour tout nombre complexe zz non nul, il existe un unique couple de réels rr et θ\theta, r>0r>0 et θ∈\theta\in ]−π;π[]-\pi;\pi[ tel que :
zz == reiθre^{i\theta}.
Preuve
Cette propriété est une réécriture de la propriété affirmant l'existence de la forme trigonométrique pour tout nombre complexe.
Une forme exponentielle d'un nombre complexe zz non nul dont un argument est θ\theta, est l'écriture z=∣z∣eiθz=|z|e^{i\theta}.
Pour tous nombres réels θ\theta et θ′\theta', pour tout entier naturel nn : Preuve
Ces égalités s'obtiennent pour l'essentiel à l'aide des propriétés de la forme trigonométrique.
La dernière égalité provient du fait que :
{cos⁡θ=cos⁡θ′⟺θ=θ′ ou θ=−θ′[2π]sin⁡θ=sin⁡θ′⟺θ=θ′ ou θ=π−θ′[2π]\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta = \cos\theta' & \Longleftrightarrow & \theta = \theta' \text{ ou } \theta = -\theta' [2\pi] \\ \sin\theta = \sin\theta' & \Longleftrightarrow & \theta = \theta' \text{ ou } \theta = \pi-\theta' [2\pi] \\ \end{array}\right.
La seule possibilité est donc que : θ=θ′\theta = \theta'. Soit z=1+iz=1+i. Calculer la forme algébrique de z8z^8. On a zz == 2eiπ/4\sqrt{2}e^{i\pi/4}, donc z8z^8 == 28e8iπ/4\sqrt{2}^8e^{8i\pi/4} == 16e2iπ16e^{2i\pi} == 1616. Le nombre complexe z=−2eiπ/3z=-2e^{i\pi/3} est-il écrit avec une forme exponentielle ? Le nombre zz n'est pas écrit sous forme exponentielle car −2-2 n'est pas strictement positif.

z=z= 2eiπeiπ/32e^{i\pi}e^{i\pi/3} == 2ei(π+π3)\displaystyle{2e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)}} == 2e4iπ/32e^{4i\pi/3}.
Une forme exponentielle de zz est donc 2e4iπ/32e^{4i\pi/3}.
Pour tout réel θ\theta :
  1. cos⁡θ\cos\theta == eiθ+e−iθ2\dfrac{ \text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta} }{2}
  2. sin⁡θ\sin\theta == eiθ−e−iθ2i\dfrac{ \text{e}^{i\theta} - \text{e}^{-i\theta} }{2i}
 Preuve
Nous utilisons ici la définition de eiθ\text{e}^{i\theta} et de e−iθ\text{e}^{-i\theta}, ainsi que la parité des fonctions sinus et cosinus.
{eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ(1)e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ(2)\left\{ \begin{array}{rclc} \text{e}^{i\theta} & = & \cos\theta + i\sin\theta & (1)\\ \text{e}^{-i\theta} & = & \cos\theta - i\sin\theta & (2) \\ \end{array}\right.
En effectuant (1)+(2)(1)+(2) nous obtenons : eiθ+e−iθ\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta} == 2cos⁡θ2\cos\theta et donc : cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \dfrac{ \text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta} }{2}.

De même (1)−(2)(1)-(2) nous donne : eiθ−e−iθ\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta} == 2isin⁡θ2i\sin\theta, et : sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \dfrac{ \text{e}^{i\theta} - \text{e}^{-i\theta} }{2i}. En classe de première nous avons vu la formule, pour tout réel xx : cos⁡2x\cos^2 x == 12+12cos⁡(2x)\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2x).
Cette formule s'appelle une formule de linéarisation, c'est-à-dire que l'on transforme une puissance d'un cosinus (ou d'un sinus) en une écriture sans exposant ou produit de fonctions trigonométriques.

Pour tout réel xx, déterminer une formule de linéarisation pour cos⁡3(x)\cos^3(x). Rappelons tout d'abord la formule suivante, pour touts réels aa et bb :
(a+b)3(a+b)^3 == a3+3a2b+3ab2+b3.a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. Par ailleurs, pour tout réel xx, nous avons :
cos⁡3x\cos^3 x = = (eix+e−ix2)3\left( \dfrac{\text{e}^{ix} + \text{e}^{-ix}}{2} \right)^3
= = (eix+e−ix)38 \dfrac{ \left(\text{e}^{ix} + \text{e}^{-ix} \right)^3}{8}
= = 18(e3ix+3e2ixe−ix+3eixe−2ix+e−3ix)\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + 3\text{e}^{2ix}\text{e}^{-ix}+3\text{e}^{ix}\text{e}^{-2ix}+\text{e}^{-3ix}\right)
= = 18(e3ix+3eix+3e−ix+e−3ix)\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + 3\text{e}^{ix}+3\text{e}^{-ix}+\text{e}^{-3ix}\right)
= = 18(e3ix+e−3ix+3(eix+e−ix))\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + \text{e}^{-3ix} + 3\left(\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}\right) \right)
= = 18(2cos⁡(3x)+6cos⁡x)\dfrac{1}{8}\left( 2\cos(3x) + 6\cos x \right)
= = 14cos⁡(3x)+34cos⁡x.\dfrac{1}{4}\cos(3x)+\dfrac{3}{4}\cos x.

Cette dernière égalité est bien une formule de linéarisation pour cos⁡3x\cos^3 x. La méthode vue dans la correction du précédent exercice est à connaître, les formules de linéarisation en trigonométrie étant utiles dans de nombreuses situations. Annexe Nous démontrons ici l'inégalité triangulaire.
Pour tous nombres complexes zz et z′z' : ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣.|z+z'| \leq |z|+|z'|. Nous rappelons que la preuve de cette propriété n'est pas exigible en terminale.

Preuve
Soient ρ1\rho_1, ρ2\rho_2, θ1\theta_1 et θ2\theta_2 des nombres réels tels que : z=ρ1eiθ1z = \rho_1 \text{e}^{i \theta_1} et z′=ρ2eiθ2z'=\rho_2 \text{e}^{i \theta_2}. Nous avons alors :

∣z+z′∣=∣ρ1eiθ1+ρ2eiθ2∣|z+z'| = \left|\rho_1 \text{e}^{i \theta_1} +\rho_2 \text{e}^{i \theta_2}\right| = = ∣eiθ1∣∣ρ1+ρ2ei(θ2−θ1)∣\left|\text{e}^{i \theta_1}\right|\left|\rho_1 + \rho_2 \text{e}^{i (\theta_2 - \theta_1)}\right| == ∣ρ1+ρ2ei(θ2−θ1)∣\left|\rho_1 + \rho_2 \text{e}^{i (\theta_2 - \theta_1)}\right|.

Pour simplifier l'écriture, posons α=θ2−θ1\alpha = \theta_2 - \theta_1 et nous obtenons :
∣z+z′∣2|z+z'|^2 == (ρ1+ρ2⋅cos⁡(α))2+(ρ2⋅sin⁡(α))2(\rho_1 + \rho_2 \cdot \cos(\alpha))^2 + (\rho_2 \cdot \sin(\alpha))^2
== ρ12+ρ22⋅(cos⁡2(α)+sin⁡2(α))+2⋅cos⁡(α)ρ1ρ2\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2\cdot (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + 2 \cdot \cos(\alpha) \rho_1 \rho_2
== ρ12+ρ22+2cos⁡(α)ρ1ρ2\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 + 2 \cos(\alpha) \rho_1 \rho_2.
car cos⁡2(α)+sin⁡2(α)=1\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1. De plus, comme 2cos⁡(α)ρ1ρ2≤2ρ1ρ22\cos(\alpha)\rho_1 \rho_2 \leq 2 \rho_1 \rho_2 , nous avons :
∣z+z′∣2≤ρ12+ρ22+2ρ1ρ2=(ρ1+ρ2)2=(∣z∣+∣z′∣)2|z+z'|^2 \leq\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 +2 \rho_1 \rho_2 = (\rho_1+\rho_2)^2 = (|z|+|z'|)^2
Par croissance de la fonction racine carrée sur R+\mathbb{R}^+ : ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣.|z+z'| \leq |z| + |z'|.