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Terminale S - Nombres complexes (2) Le plan complexe est orienté et est muni d'un repère orthonormé

(O;\vec{u};\vec{v})

. 1Module et argument d'un nombre complexe 1.1Rappels Nous aurons à utiliser fréquemment dans ce chapitre les valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus.

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\sin(t)$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos(t)$	1	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	0

Il faudra également savoir les utiliser à l'intérieur du cercle trigonométrique.

0,0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

11π/6

7π/4

5π/3

π/2

4π/3

5π/4

7π/6

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Déplacer le point

M

Exemple 1 À l'aide de ce cercle nous voyons, par exemple, que :

\cos\left( \dfrac{3\pi}{4}\right) =

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\sin\left( \dfrac{3\pi}{4}\right) =

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

1.2Définition Soit

z=x+iy

un nombre complexe, et

M

le point

d'affixe

z

Pour

z\neq0

le point

M

est entièrement défini par

ses coordonnées polaires

(r,\theta)

\bullet

r =

OM

=

\sqrt{x^2+y^2}.

\bullet

\theta =

(\vec{u},\overrightarrow{OM}).

0,0

\vec{u}

\vec{v}

Déplacer le point

M

Definition 1
Soit

z

un nombre complexe non nul, et

M

son image.

$OM$

$=$

$\sqrt{x^2+y^2}$

est le

module de $z$ ,

on le note

$|z|$ .
$\theta$

$=$

$(\vec{u},\overrightarrow{OM})$

est un

argument de $z$ ,

on le note

$\arg(z)$ ,

et

$\arg(z)$

$=$

$\theta + 2k\pi$ ,

$k\in\mathbb{Z}$ ,

ou encore

$\arg(z)$

$=$

$\theta [2\pi]$ .

Remark 1

Pour tout nombre complexe $z$ ,
$|z|\geq0$ .
Pour $z=0$ ,
$|z|$

$=$

$0$ ,
mais $\arg(z)$
n'existe pas.

Exercice 1 Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

$z_1 = 2$
$z_2 = -2$
$z_3 = 3i$
$z_4 = -3i$

0,0

\vec{u}

\vec{v}

M₁

M₂

M₃

M₄

Correction

$|z_1|$

$=$

$2$

et

$\arg(z_1)$

$=$

$0$

$[2\pi]$ .
$|z_2|$

$=$

$2$

et

$\arg(z_2)$

$=$

$\pi$

$[2\pi]$ .
$|z_3|$

$=$

$3$

et

$\arg(z_3)$

$=$

$\dfrac{\pi}{2}$

$[2\pi]$ .
$|z_4|$

$=$

$3$

et

$\arg(z_4)$

$=$

$\dfrac{3\pi}{2}$

$[2\pi]$ ,

ou encore

$\arg(z_4)$

$=$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$[2\pi]$ .

Remark 2 Soit

z

un nombre complexe non nul.

$z$ est un réel si et seulement si
$\arg(z)$

$=$

$0$

$[\pi]$ .
$z$ est un imaginaire pur si et seulement si
$\arg(z)$

$=$

$\dfrac{\pi}{2}$

$[\pi]$ .

1.3Propriétés Property 1
Soit

z

un nombre complexe non nul. On a alors :

|\overline{z}|

=

|z|

\arg{\overline{z}}

=

- \arg(z)

[2\pi]

Preuve
L'égalité sur les modules a été démontrée dans le cours précédent.

Pour démontrer l'égalité concernant les arguments, observons tout d'abord la figure suivante :

0,0

\vec{u}

\vec{v}

-y

Déplacer le point

M

Le point

M'

ayant pour affixe

\overline{z}

le triangle

MOM'

est

isocèle de sommet

O

L'axe des réels est donc

un axe de symétrie

de ce triangle. Ainsi les angles

\alpha

\beta

ont même mesure.

D'après les égalités sur les angles orientés nous avons que :

(\vec{u}, \overrightarrow{OM})

=

- (\vec{u}, \overrightarrow{OM'})

[2\pi]

Ainsi, nous avons bien que :

\arg(\overline{z}) = -\arg(z) [2\pi]

Property 2
Soit

z

un nombre complexe non nul. On a alors :

\arg(-z)

=

\arg(z)+\pi

[2\pi].

Cette propriété se démontre également en utilisant une configuration géométrique simple et les propriétés des angles orientés. On remarquera que

(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'})

=

\pi

[2\pi]

0,0

\vec{u}

\vec{v}

-x

-y

Déplacer le point

M

2Forme trigonométrique Property 3
Pour tout nombre complexe

z

non nul, il existe un unique couple de réels

r

\theta

r>0

\theta\in]-\pi;\pi]

tel que :

z

=

r\left(\cos\theta + i\sin \theta\right).

0,0

\vec{u}

\vec{v}

r\cos\theta

r\sin\theta

\theta

Déplacer le point

M

Remark 3 Cette écriture s'appelle

forme trigonométrique de

z

Exemple 2 Soit

z

un nombre complexe de module 2 et d'argument

\dfrac{\pi}{4}

. Alors :

$z$	$=$	$2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$
	$=$	$2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
	$=$	$\sqrt{2} + i\sqrt{2}.$

Remark 4 Si on connaît l'écriture algébrique d'un nombre complexe

z=x+iy

, alors, en utilisant les formules de trigonométrie (en se plaçant dans les deux triangles rectangles de la figure précédente) on obtient :

\left\{ \begin{array}{l} |z| = \sqrt{x^2+y^2} \\ \arg(z) = \theta \text{ où } \theta \text{ est tel que } \left\{ \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{x}{|z|} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{y}{|z|} \end{array}\right. \end{array} \right.

Exercice 2 Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

z_1 = 1+i

z_2 = \sqrt{3} - i

Correction

|z_1|

=

\sqrt{ 1^2+ 1^2}

=

\sqrt{2}

De plus,

\dfrac{Re(z_1)}{|z_1|}

=

\dfrac{1}{\sqrt{2}}

=

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Et de même,

\dfrac{Im(z_1)}{|z_1|}

=

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Ainsi,

\arg(z_1)

=

\dfrac{\pi}{4}

[2\pi]

Et,

z_1

=

\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)

Pour

z_2=\sqrt{3} - i

|z_2|

=

\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}

=

2

\dfrac{Re(z_2)}{|z_2|}

=

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{Im(z_2)}{|z_2|}

=

-\dfrac{1}{2}

On en déduit que :

\arg(z_2)

=

-\dfrac{\pi}{6}

[2\pi]

Et donc :

z_2 = 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right)

Property 4
Deux nombres complexes non nuls

z

z'

sont égaux si et seulement si :

|z| = |z'|

\arg(z) = \arg(z')

[2\pi].

3Propriétés du module et de l'argument 3.1Propriétés du conjugué et de l'opposé Nous avons déjà évoqué des propriétés concernant le conjugués et l'opposé d'un nombre complexe. Nous les rappelons ici en une seule propriété, et nous en donnons une preuve plus élégante à l'aide de l'écriture sous forme trigonométrique. Property 5
Soit

z

un nombre complexe non nul.

$|-z|$

$=$

$|z|$

et

$|\overline{z}|$

$=$

$|z|$ .
$\arg(-z)$

$=$

$\arg(z) + \pi$

$[2\pi]$ ,

et

$\arg(\overline{z})$

$=$

$-\arg(z)$

$[2\pi]$ .

Preuve
Rappelons tout d'abord que :

\cos(\theta+\pi)

=

-\cos\theta

\sin(\theta+\pi)

=

-\sin\theta

Si on note

r

\theta

le module et un argument de

z

, nous avons alors que

z =

r(\cos\theta+i\sin\theta)

et :

-z

=

-r(\cos\theta+i\sin\theta)

=

r(-\cos\theta-i\sin\theta)

=

r(\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi))

Ainsi nous avons bien que :

|-z|

=

r

=

|z|

\arg(-z)

=

\theta+\pi

=

\arg(z)+\pi

[2\pi]

Pour les égalités sur le conjugué, nous utiliserons le fait que la fonction cosinus est

paire

et la fonction sinus est

impaire.

\overline{z}

=

r( \cos\theta - i\sin\theta )

=

r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)

Ainsi nous avons bien que :

|\overline{z}|

=

r

=

|z|

\arg(\overline{z})

=

-\theta

=

-\arg(z)

[2\pi]

3.2Produit Observons tout d'abord quelques calculs, pour lesquels nous aurons besoin de rappeler les deux formules de trigonométrie suivantes.
Pour tous réels

a

b

, nous avons :

$\cos(a+b)$ $=$
$\cos a\cos b - \sin a\sin a$ ,
$\sin(a+b)$ $=$
$\cos a\sin b + \cos b\sin a$ .

Soient

z

z'

deux nombres complexes de formes trigonométriques

z= r(\cos\theta+i\sin\theta)

z'= r'(\cos\theta'+i\sin\theta')

Alors :

$z\times z'$	$=$	$r(\cos\theta+i\sin\theta)r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$
	$=$	$rr'( \cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta' + i ( \cos\theta\sin\theta'+\cos\theta'\sin\theta ) )$
	$=$	$rr'(\cos(\theta+\theta') + i\sin(\theta+\theta'))$ .

Ainsi,

|zz'|

=

rr'

=

|z||z'|

Et,

\arg(zz')

=

\theta+\theta'

=

\arg(z) + \arg(z')

[2\pi]

Property 6
Soient

z

z'

deux nombres complexes non nuls et

n

un entier naturel non nul.

$|zz'|$

$=$

$|z||z'|$ .
$\arg(zz')$

$=$

$\arg(z)+\arg(z')$

$[2\pi]$ .
$|z^n|$

$=$

$|z|^n$

et

$\arg(z^n)$

$=$

$n\arg(z)$ $[2\pi]$ .

Remark 5 Les points 1 et 2 ont été démontrés juste précédemment. Le point 3 se démontre par récurrence en utilisant les points 1 et 2. 3.3Quotient Property 7
Soient

z

z'

deux nombres complexes non nuls.

$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$

$=$

$\dfrac{|z|}{|z'|}$ .
$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)$

$=$

$\arg(z) - \arg(z')$

$[2\pi]$ .

Preuve

$|z|$

$=$

$\left|\dfrac{z}{z'}\times z'\right|$

$=$

$\left|\dfrac{z}{z'}\right| \times |z'|$ ,

c'est-à-dire :

$|z|$

$=$

$\left|\dfrac{z}{z'}\right| \times |z'|$ .

Ainsi, à l'aide d'un produit en croix on obtient bien que :
$\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ .
$\arg(z)$

$=$

$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right)$

$=$

$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) + \arg(z')$

$[2\pi]$ .

C'est-à-dire : $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)$ $=$ $\arg(z) - \arg(z')$ $[2\pi]$ .

Remark 6 Il n'y a pas de propriété pour la somme et la différence. En général, les formes trigonométriques sont bien adaptées aux

produits

quotients

de complexes, alors que les formes algébriques sont bien adaptées aux

sommes et différences

de complexes. Exercice 3 Soient

z_1 = (\sqrt{3} -i)^4

z_2 = \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}

.
Déterminer le module et un argument pour chacun de ces nombres complexes.

Correction

Nous avions vu que :

\sqrt{3}-i =

2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right)

1+i =

\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)

Donc :

|\sqrt{3} - i|

=

2

\arg(\sqrt{3} - i)

=

-\dfrac{\pi}{6}

[2\pi]

Et :

|1+i| =

\sqrt{2}

\arg(1+i) =

\dfrac{\pi}{4}

[2\pi]

Pour

z_1

|z_1|

=

|(\sqrt{3}-i)^4|

=

|\sqrt{3}-i|^4

=

2^4

=

16

$\arg(z_1)$	$=$	$\arg((\sqrt{3} - i)^4)$ $[2\pi]$
	$=$	$4 \arg(\sqrt{3} - i)$ $[2\pi]$
	$=$	$4\times\dfrac{-\pi}{6}$ $[2\pi]$
	$=$	$\dfrac{-2\pi}{3}$ $[2\pi]$
	$=$	$\dfrac{4\pi}{3}$ $[2\pi]$

Pour

z_2

|z_2|

=

\left|\dfrac{1+i}{\sqrt{3} - i}\right|

=

\dfrac{|1+i|}{|\sqrt{3} - i|}

=

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

$\arg(z_2)$	$=$	$\arg\left( \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i} \right)$ $[2\pi]$
	$=$	$\arg(1+i) - \arg(\sqrt{3} - i)$ $[2\pi]$
	$=$	$\dfrac{\pi}{4} - (-\dfrac{\pi}{6})$ $[2\pi]$ $[2\pi]$
	$=$	$\dfrac{5\pi}{12}$ $[2\pi].$

On peut poursuivre les calculs avec

z_2

pour arriver à une formule intéressante.

z_2

=

\dfrac{1+i}{\sqrt{3} - i}

=

\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)}

=

\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{4}

.
En développant cette dernière écriture nous obtenons la forme algébrique suivante :

z_2 = \dfrac{\sqrt{3}-1}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}

En mettant le module en facteur, on obtient :

z_2

=

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\left( \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)

On reconnaît, la forme trigonométrique de

z_2

, donc :

\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)

=

\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)

=

\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

3.4Inégalité triangulaire

0,0

\vec{u}

\vec{v}

M₁

|z|

|z‘|

|z+z‘|

|z|

Property 8
Pour tous nombres complexes

z

z'

|z+z'|

\leq

|z|+|z'|.

Remark 7 La preuve de cette propriété n'est pas exigible en terminale, nous la donnons en annexe à la fin de ce cours pour les plus curieux.
Remark 8 Dans le graphique précédent, cette inégalité triangulaire se traduit par le fait que :

OM_1

\leq

OM + MM_1

4Applications à la géométrie 4.1Affixe d'un vecteur et distance On se place dans le plan complexe munit d'un repère orthonormé

(O;\vec{u};\vec{v})

. Definition 2
Soit

\overrightarrow{V}

un vecteur tel que

\overrightarrow{V} = x\vec{u}+y\vec{v}

On dit alors que le vecteur

\overrightarrow{V}

a pour

affixe

z_{\overrightarrow{V}}

=

x+iy

Property 9
Soient

A

B

deux points d'affixes respectives

z_A

z_B

Alors :

$z_B - z_A$

est

l'affixe

du vecteur

$\overrightarrow{AB}$ .
$AB$

$=$

$|z_B - z_A|$ .

Preuve

$\overrightarrow{AB}$

$=$

$(x_B-x_A)\vec{u} + (y_B-y_A)\vec{v}$ .

Donc :

$z_{\overrightarrow{AB}}$

$=$

$(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$

$=$

$x_B+iy_B - (x_A+iy_A)$

$=$

$z_B - z_A$ .
$AB$

$=$

$\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}$ .

$|z_{\overrightarrow{AB}}|$

$=$

$|z_B - z_A|$

$=$

$| (x_B-x_A) + i(y_B - y_A) |$

$=$

$\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}$ .

Exemple 3 Soient

A

B

deux points d'affixe respectives :

z_A = 1+2i

z_B = 3-i

AB

=

|z_B - z_A|

=

|1+2i - 3 +i|

=

|-2+3i|

=

\sqrt{13}

Exercice 4 Déterminer dans le plan complexe les solutions de l'équation :

|z-2i| = 3

Correction

On pose

M

le point d'affixe

z

A

le point d'affixe

2i

L'équation est alors équivalente à :

AM = 3

Les solutions sont donc les affixes des points situés

sur le cercle

de centre

A

et de rayon

Exercice 5 Déterminer dans le plan complexe les solutions de l'équation :

|z+1| = |z-i|

Correction

On définit le point

M

d'affixe

z

le point

A

d'affixe

-1

et le point

B

d'affixe

i

L'équation est alors équivalente à :

AM = BM

Les solutions sont donc les affixes des points situés

sur la médiatrice du segment

[AB]

Property 10

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rayon $R$ .

$z\in\mathcal{C}$

$\Longleftrightarrow$

$|z-\omega| = R.$
La médiatrice de $[AB]$ , où $A$ et $B$ sont d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ , est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que :

$|z-z_A|$

$=$

$|z-z_B|.$

Property 11

Pour tout $M\neq O$ ,
$(\vec{u},\overrightarrow{OM})$

$=$

$\arg(z)$

$[2\pi]$ .
Pour tout $A(z_A)$ et $B(z_B)$ avec $A\neq B$ :
$(\vec{u},\overrightarrow{AB})$

$=$

$\arg(z_B - z_A)$

$[2\pi]$ .
Soient $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ les affixes des points $A$ , $B$ et $C$ tels que $A\neq B$ et $B\neq C$ . Alors :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

$=$

$\arg\left( \dfrac{z_C - z_A}{ z_B - z_A} \right)$

$[2\pi].$
Soient $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ et $z_D$ les affixes des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ tels que $A\neq B$ et $C\neq D$ . Alors :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$

$=$

$\arg\left( \dfrac{z_D - z_C}{ z_B - z_A} \right)$

$[2\pi].$

Preuve du point 1
Par définition.

Preuve du point 2

(\vec{u},\overrightarrow{AB})

[2\pi]

=

\arg(z_{\overrightarrow{AB}})

[2\pi]

=

\arg(z_B - z_A)

[2\pi]

Preuve du point 3
On s'appuiera sur la figure suivante pour justifier la première égalité angulaire ci-dessous.

0,0

A

\vec{u}

En effet, nous avons d'après la relation de Chasles angulaire :

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC})

=

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})

Et puisque

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u})

=

-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}) [2\pi]

nous obtenons :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$	$=$	$(\vec{u},\overrightarrow{AC}) - (\vec{u},\overrightarrow{AB})$ $[2\pi]$
	$=$	$\arg(z_{\overrightarrow{AC}}) - \arg(z_{\overrightarrow{AB}})$ $[2\pi]$
	$=$	$\arg(z_C-z_A) - \arg(z_B - z_A)$ $[2\pi]$
	$=$	$\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ $[2\pi].$

Preuve du point 4

$\arg\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$	$=$	$\arg(z_D - z_C) - \arg(z_B-z_A)$ $[2\pi]$
	$=$	$(\vec{u},\overrightarrow{CD}) - (\vec{u},\overrightarrow{AB})$ $[2\pi]$
	$=$	$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ $[2\pi]$ .

Property 12

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si
$\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$

$=$

$0$

$[\pi]$ .
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si
$\arg\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$

$=$

$\dfrac{\pi}{2}$

$[\pi]$ .

Preuve
Il suffit de traduire les conditions en égalités angulaires. 5 Exponentielle complexe 5.1Définition Definition 3
On définit une fonction

f

\mathbb{R}

dans

\mathbb{C}

par :

pour tout

\theta\in\mathbb{R}

f(\theta) =

\cos(\theta)+i\sin(\theta)

Exemple 4

f(0)

=

\cos 0+i\sin 0

=

1

f\left( \dfrac{5\pi}{6}\right) =

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i

Pour tout réel

\theta

f(\theta) =

1(\cos\theta+i\sin\theta)

ce qui nous amène à la propriété suivante.
Property 13
Pour tout nombre réel

\theta

|f(\theta)|

=

1

arg(f(\theta))

=

\theta

[2\pi]

Property 14
Pour tous nombres réels

\theta

\theta'

f(\theta+\theta')

=

f(\theta)f(\theta')

Preuve
D'après la propriété

concernant le

produit

des écritures trigonométriques :

f(\theta)f(\theta')

=

|f(\theta)||f(\theta')|(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))

\color{white}{f(\theta)f(\theta')}

=

f(\theta+\theta')

Remark 9 Les fonctions

\cos

\sin

sont dérivables sur

\mathbb{R}

. On admet que la fonction

f

est également dérivable sur

\mathbb{R}

et que :

f'(\theta)

=

\cos'(\theta)+i\sin'(\theta)

Ainsi :

f'(\theta)=

-\sin(\theta)+i\cos(\theta)

=

i^2\sin(\theta)+i\cos(\theta)

=

i(i\sin(\theta)+\cos(\theta))

donc

f'(\theta)=

if(\theta)

Cette égalité est à rapprocher du fait que si

g(x)=e^{kx}

alors

g'(x)=

ke^{kx}

=

kg(x)

La propriété précédente et cette remarque permettent de faire l'analogie entre la fonction

f

ainsi définie et la fonction

exponentielle.

Euler introduit l'écriture suivante en 1748 :
Definition 4
Pour tout nombre réel

\theta

e^{i\theta}

=

\cos(\theta)+i\sin(\theta)

Remark 10 Ainsi,

e^{i\theta}

désigne le nombre complexe de module

dont

argument est

\theta

Le cercle trigonométrique est donc l'ensemble des points d'affixes

e^{i\theta}

avec

\theta

parcourant

\mathbb{R}

Exercice 6 Donner les formes algébriques des nombres complexes ci-dessous :

$e^{i0}$	$e^{2i\pi}$	$e^{i\pi}$	$e^{i\pi/2}$
$e^{-i\pi/2}$	$e^{3i\pi/2}$	$e^{i\pi/3}$	$e^{2i\pi/3}$

Correction

$e^{i0}=$ $1$	$e^{2i\pi}=$ $1$	$e^{i\pi}=$ $-1$	$e^{i\pi/2}=$ $i$
$e^{-i\pi/2}=$ $-i$	$e^{3i\pi/2}=$ $-i$	$e^{i\pi/3}=$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$	$e^{2i\pi/3}=$ $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

5.2Propriétés Property 15
Pour tout nombre complexe

z

non nul, il existe un

unique

couple de réels

r

\theta

r>0

\theta\in

]-\pi;\pi[

tel que :

z

=

re^{i\theta}

Preuve
Cette propriété est une réécriture de la propriété affirmant l'existence de la

forme trigonométrique

pour tout nombre complexe. Definition 5
Une forme

exponentielle

d'un nombre complexe

z

non nul dont un argument est

\theta

, est l'écriture

z=|z|e^{i\theta}

Property 16
Pour tous nombres réels

\theta

\theta'

, pour tout entier naturel

n

$|e^{i\theta}|=$

$1$

et

$\arg(e^{i\theta})=$

$\theta$

$[2\pi]$
$\dfrac{1}{e^{i\theta}}=$

$e^{-i\theta}$
$\overline{e^{i\theta}}=$

$e^{-i\theta}$
$e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=$

$e^{i(\theta+\theta')}$
$\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} =$

$e^{i(\theta-\theta')}$
$(e^{i\theta})^n =$

$e^{ni\theta}$
$e^{i\theta} = e^{i\theta'}$

si, et seulement si

$\theta = \theta'$

$[2\pi]$

Preuve
Ces égalités s'obtiennent pour l'essentiel à l'aide des propriétés de la forme trigonométrique.
La dernière égalité provient du fait que :

\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta = \cos\theta' & \Longleftrightarrow & \theta = \theta' \text{ ou } \theta = -\theta' [2\pi] \\ \sin\theta = \sin\theta' & \Longleftrightarrow & \theta = \theta' \text{ ou } \theta = \pi-\theta' [2\pi] \\ \end{array}\right.

La seule possibilité est donc que :

\theta = \theta'

Exercice 7 Soit

z=1+i

. Calculer la forme algébrique de

z^8

Correction

On a

z

=

\sqrt{2}e^{i\pi/4}

donc

z^8

=

\sqrt{2}^8e^{8i\pi/4}

=

16e^{2i\pi}

=

16

Exercice 8 Le nombre complexe

z=-2e^{i\pi/3}

est-il écrit avec une forme exponentielle ?

Correction

Le nombre

z

n'est pas

écrit sous forme exponentielle car

-2

n'est pas strictement positif.

z=

2e^{i\pi}e^{i\pi/3}

=

\displaystyle{2e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)}}

=

2e^{4i\pi/3}

Une forme exponentielle de

z

est donc

2e^{4i\pi/3}

Property 17
Pour tout réel

\theta

$\cos\theta$

$=$

$\dfrac{ \text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta} }{2}$
$\sin\theta$

$=$

$\dfrac{ \text{e}^{i\theta} - \text{e}^{-i\theta} }{2i}$

Preuve
Nous utilisons ici la définition de

\text{e}^{i\theta}

et de

\text{e}^{-i\theta}

, ainsi que la parité des fonctions sinus et cosinus.

\left\{ \begin{array}{rclc} \text{e}^{i\theta} & = & \cos\theta + i\sin\theta & (1)\\ \text{e}^{-i\theta} & = & \cos\theta - i\sin\theta & (2) \\ \end{array}\right.

En effectuant

(1)+(2)

nous obtenons :

\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}

=

2\cos\theta

et donc :

\cos\theta = \dfrac{ \text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta} }{2}

De même

(1)-(2)

nous donne :

\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}

=

2i\sin\theta

et :

\sin\theta = \dfrac{ \text{e}^{i\theta} - \text{e}^{-i\theta} }{2i}

Exercice 9 En classe de première nous avons vu la formule, pour tout réel

x

\cos^2 x

=

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2x)

Cette formule s'appelle une formule de

linéarisation,

c'est-à-dire que l'on transforme une puissance d'un cosinus (ou d'un sinus) en une écriture sans exposant ou produit de fonctions trigonométriques.

Pour tout réel

x

, déterminer une formule de linéarisation pour

\cos^3(x)

Correction

Rappelons tout d'abord la formule suivante, pour touts réels

a

b

(a+b)^3

=

a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Par ailleurs, pour tout réel

x

, nous avons :

$\cos^3 x$	$=$	$\left( \dfrac{\text{e}^{ix} + \text{e}^{-ix}}{2} \right)^3$
	$=$	$\dfrac{ \left(\text{e}^{ix} + \text{e}^{-ix} \right)^3}{8}$
	$=$	$\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + 3\text{e}^{2ix}\text{e}^{-ix}+3\text{e}^{ix}\text{e}^{-2ix}+\text{e}^{-3ix}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + 3\text{e}^{ix}+3\text{e}^{-ix}+\text{e}^{-3ix}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{8}\left( \text{e}^{3ix} + \text{e}^{-3ix} + 3\left(\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}\right) \right)$
	$=$	$\dfrac{1}{8}\left( 2\cos(3x) + 6\cos x \right)$
	$=$	$\dfrac{1}{4}\cos(3x)+\dfrac{3}{4}\cos x.$

Cette dernière égalité est bien une formule de

linéarisation

pour

\cos^3 x

Remark 11 La méthode vue dans la correction du précédent exercice est à connaître, les formules de linéarisation en trigonométrie étant utiles dans de nombreuses situations. 6Annexe Nous démontrons ici l'inégalité triangulaire. Property 18
Pour tous nombres complexes

z

z'

|z+z'| \leq |z|+|z'|.

Remark 12 Nous rappelons que la preuve de cette propriété n'est pas exigible en terminale.

Preuve
Soient

\rho_1

\rho_2

\theta_1

\theta_2

des nombres réels tels que :

z = \rho_1 \text{e}^{i \theta_1}

z'=\rho_2 \text{e}^{i \theta_2}

. Nous avons alors :

|z+z'| = \left|\rho_1 \text{e}^{i \theta_1} +\rho_2 \text{e}^{i \theta_2}\right|

=

\left|\text{e}^{i \theta_1}\right|\left|\rho_1 + \rho_2 \text{e}^{i (\theta_2 - \theta_1)}\right|

=

\left|\rho_1 + \rho_2 \text{e}^{i (\theta_2 - \theta_1)}\right|

.

Pour simplifier l'écriture, posons

\alpha = \theta_2 - \theta_1

et nous obtenons :

$\|z+z'\|^2$	$=$	$(\rho_1 + \rho_2 \cdot \cos(\alpha))^2 + (\rho_2 \cdot \sin(\alpha))^2$
	$=$	$\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2\cdot (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + 2 \cdot \cos(\alpha) \rho_1 \rho_2$
	$=$	$\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 + 2 \cos(\alpha) \rho_1 \rho_2$ .

car

\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1

. De plus, comme

2\cos(\alpha)\rho_1 \rho_2 \leq 2 \rho_1 \rho_2

, nous avons :

|z+z'|^2 \leq\rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 +2 \rho_1 \rho_2 = (\rho_1+\rho_2)^2 = (|z|+|z'|)^2

Par croissance de la fonction racine carrée sur

\mathbb{R}^+

|z+z'| \leq |z| + |z'|.