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Géométrie dans l'espace 2
Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O,→i,→j,→k) orthonormal de l'espace.
1Produit scalaire dans l'espace1.1Définition du produit scalaireDefinition 1
Soient →u(x\y\z) et →v(x′\y′\z′) deux vecteurs.
Le produit scalaire de →u et →v est le nombre réel noté
→u.→v
tel que :
→u.→v
=
xx′
+
yy′
+
zz′.
Exemple 1
Soit →u=(13−2) et →v=(5−11), alors
→u.→v=
1×5+3×(−1)+(−2)×1
=
0.
Soit →w=(−4−20), alors
→u.→w=
1×(−4)+3×(−2)+(−2)×0
=
−10.
Remark 1
Le produit scalaire apparaît dans de nombreuses situations et permettra de plus de répondre rapidement à certaines questions.
1.2Norme d'un vecteurDefinition 2
Soit →u(x\y\z) un vecteur et M un point tel que →u=→OM.
La norme du vecteur →u est le réel positif :
||→u||
=
OM
=
√x2+y2+z2
=
√→u.→u.
Exemple 2
Avec les vecteurs →u=(13−2) et →v=(5−11) de l'exemple précédent :
||→u||=
√12+32+(−2)2=
√14,
et
||→v||=
√52+(−1)2+12=
√27
=
3√3
.
Exemple 3
Étudions la sphère S(A,r) de centre A(xA;yA;zA) et de rayon r>0.
On considère un point M(x;y;z) de S(A,r). On a alors :
M(x;y;z)∈S(A,r)⟺
AM=r
⟺
AM2=r2.
Or, →AM a pour coordonnées
(x−xA\y−yA\z−zA),
ainsi :
AM2=
(x−xA)2+(y−yA)2+(z−zA)2.
En conclusion, M(x;y;z)∈S(A,r) si et seulement si :
(x−xA)2+(y−yA)2+(z−zA)2=r2.
Exemple 4
L'équation de S(O,1), sphère de centre O et de rayon 1 est :
x2+y2+z2=1.
1.3OrthogonalitéRemark 2
Considérons les deux vecteurs →u=(x\y\z) et →v=(x′\y′\z′), ainsi que les points A, B et C tels que
→u=→AB et →v=→BC.
On a alors que : →AC=→AB+→BC=
(x+x′\y+y′\z+z′).
De plus, d'après l'équivalence de Pythagore :
→u et →v sont orthogonaux
⟺
AC2=AB2+BC2
⟺
‖→AC‖2
=
‖→AB‖2+‖→BC‖2
⟺
(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2
=
x2+y2+z2+x′2+y′2+z′2
⟺
x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2+z2+2zz′+z′2
=
x2+y2+z2+x′2+y′2+z′2
⟺
2xx′+2yy′+2zz′
=
0
⟺
xx′+yy′+zz′=0
⟺
→u.→v=0.
Ainsi, le produit scalaire défini dans ce cours correspond bien à celui rencontré dans le plan, cette dernière remarque amenant à la propriété suivante.
Property 1
Soient →u et →v deux vecteurs de l'espace. →u et →v sont
orthogonaux si et seulement si
→u.→v=0.
Exemple 5
Avec les vecteurs →u=(13−2), →v=(5−11) et →w=(−4−20) des exemples précédents nous avons donc :
➤ →u et →v sont
orthogonaux
car
→u.→v=0.
➤ →u et →w
ne sont pas orthogonaux
car
→u.→w≠0.
Exercice 1
Soient A(1;2;3), B(2;2;5) et C(−1;5;4).
Montrer que ABC est rectangle en A.
Déterminer les coordonnées d'un vecteur →n≠→0 orthogonal à →AB et →AC.
Remarquons tout d'abord qu'il existe une infinité de vecteurs othogonaux à →AB et →AC. En effet dès que nous en avons trouvé un, tout vecteur colinéaire à celui-ci sera également orthogonal à →AB et →AC.
On cherche donc
Preuve
Il suffit d'écrire explicitement les calculs en utilisant la définition du produit scalaire donnée avec les coordonnées des vecteurs.
Property 3
Pour tout vecteur →u(x\y\z) :
‖→u‖2
=
→u.→u
=
x2+y2+z2.
Pour tout vecteur →u et tout k∈R :
‖k→u‖
=
|k|‖→u‖.
Pour tous vecteurs →u, →v :
‖→u+→v‖2
=
‖→u‖2+2→u.→v+‖→v‖2.
Preuve
Pour le point 1 nous utilisons la définition du produit scalaire et pour les points 2 et 3 la propriété précédente.
‖→u‖2
=
→u.→u
=
(x\y\z).(x\y\z)
=
x2+y2+z2.
‖k→u‖2
=
(k→u).(k→u)
=
k(→u)(k→u)
=
k2→u.→u
=
k2‖u‖2.
Ainsi :
‖ku‖
=
√‖k→u‖2
=
√k2‖u‖2
=
√k2‖u‖
=
|k|‖u‖.
‖→u+→v‖2
=
(→u+→v).(→u+→v)
=
→u.→u+→u.→v+→v.→u+→v.→v
=
‖u‖2+→u.→v+→u.→v+‖v‖2
=
‖→u‖2+2→u.→v+‖→v‖2.
Property 4
Soient →u et →v deux vecteurs colinéaires. On a alors :
→u.→v={‖→u‖×‖→v‖ si →u et →v sont de même sens−‖→u‖×‖→v‖ si →u et →v sont de sens opposé
Preuve
Si →u=→0 le résultat est évident car alors →u.→v
=
0
et ‖→u‖
=
0.
On peut alors supposer →u≠→0 et on pose
→v=k×→u
où
k∈R
($\vec u$ et $\vec v$ étant
colinéaires
).
On a donc :
‖→v‖=
‖k→u‖=
|k|‖→u‖
et
→u.→v=
→u.(k→u)=
k→u.→u=
k‖→u‖2=
k‖→u‖×‖→u‖.
Si k>0,
alors
k=
|k|
et
→u.→v=
|k|‖→u‖×‖→u‖=
‖→v‖×‖→u‖.
Si k>0,
alors
k=
−|k|
et
→u.→v=
−|k|‖→u‖×‖→u‖=
−‖→v‖×‖→u‖.
1.5Autre expression du produit scalaire
Deux vecteurs plusunpoint définissent un plan si$→u$et$→v$nesontpascolinéaires, ou une droite si$→u$et$→v$sontcolinéaires. Donc pour calculer le produit scalaire →u.→v on peut se placer dans un plan contenant →u et →v. On se retrouve alors à faire de la géométrie plane.
On considère trois points distincts, A, B et C de l'espace. On note H
le projeté orthogonal de C sur (AB).
→AB.→AC=
→AB.
(→AH
+
→HC)
=
→AB.→AH
+
→AB.→HC
=
→AB.→AH
+
0
car →AB et →HC sont
orthogonaux.
=
±
‖→AB‖‖→AH‖
d'aprés la propriété précédente.
=
±
AB×AH
selon le sens de →AB et →AH
Or
AH
=
AC×
cos(→AB,→AC)
(le
cosinus
donnera le signe "+" ou "-" désiré), on obtient donc la propriété suivante :
Property 5
Soient A, B et C trois points de l'espace.
→AB.→AC
=
cos(→AB,→AC)
×
AB
×AC.
Exercice 2
Toujours avec les points A(1;2;3), B(2;2;5) et C(−1;5;4), déterminer en degré la mesure de ^ABC.
L'énoncé nous demande la mesure en degré de ^ABC, cela veut dire que ce n'est pas une valeur sur un intervalle de longueur 2π, mais une mesure algébrique comme au collège. Ici, on peut donc répondre en connaissant seulement le cosinus de l'angle :
2Plans et orthogonalité2.1Vecteur normal à un plan de l'espaceDefinition 3
Soit →n un vecteur non nul et P un plan de l'espace. On dit que
→n est
normal
à P ssi toute droite de vecteur directeur
→n est
perpendiculaire
à P.
Property 6
Soit A un point d'un plan P et →n un vecteur
normal
à
P. Alors le plan P est l'ensemble des points M de l'espace tels que
→AM.→n
=
0.
Definition 4
Soit P un plan de vecteur normal →n et A un point de l'espace.
Supposons A∉P et posons
D
=
<A,→n>,
la droite engendrée par
A et le vecteur →n.
Alors le
projeté orthogonal
de A sur P est :
H=D∩P.
Remark 3
Si A∈P, alors le projeté de A dans P est
lui-même.
Property 7
Une droite d est orthogonale à toute droite d'un plan P si, et seulement si,
elle est
orthogonale
à
deux droites
sécantes
d1 et d2 de ce plan.
Preuve
Un sens de l'équivalence est évident :
Si d est orthogonale à toute droite du plan P
alors
elle est orthogonale à d1 et d2.
Réciproquement, si
→u,
→v1
et
→v2
sont
des vecteurs directeurs,
respectivement
des droites
d, d1, d2,
alors :
→u.→v1
=
0
et
→u.→v2
=
0
puisque
d est orthogonale à d1 et à d2.
Soit Δ une droite du plan P
et
→w un vecteur directeur de Δ.
Les droites d1 et d2 étant sécantes,
les vecteurs →v1 et →v2
ne sont pas colinéaires
et
constituent donc
des vecteurs dirigeant P ,
et il existe alors deux réels x et y tels que
→w=x→v1+y→v2.
On a ainsi :
→u.→w=
→u.(x→v1+y.→v2)=
x→u.→v1+y→u.→v2=
0.
On en déduit que les vecteurs →u et →w
sont orthogonaux,
donc
que la droite d est orthogonale à la droite Δ.
Property 8
Soit P un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires →u et →v. Soit →n un vecteur de l'espace.
Si →n est
orthogonal
à →u et →v alors →n est
normal
à P.
Exemple 6
Pour les points des exercices précédents A(1;2;3), B(2;2;5) et C(−1;5;4), nous avions trouver que le vecteur →n(1\-1\5) était orthogonal à →AB et →AC. Puisque →AB et →AC ne sont pas colinéaires, le vecteur →n(1\-1\5) est
normal
à P.
2.2Équation cartésienne d'un plan de l'espaceProperty 9
Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal →n
(a\b\c)
a une équation cartésienne de la forme :
ax+by+cz+d=0
où
d∈R
fixé.
Réciproquement, si a, b, c ne sont pas tous les trois nuls, l'ensemble (E) des points M(x;y;z) tels que
ax+by+cz+d=0
est un plan de vecteur
normal
→n(a\b\c).
Preuve
Soit A(x0;y0;z0) un point du plan P et M(x;y;z) un point de l'espace.
On a :
→AM
(x−x0;y−y0;z−z0)
et
→AM.→n=
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0) .
Ainsi :
M∈P
équivaut à
→AM.→n=0,
soit à :
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
c'est-à-dire :
ax+by+cz−ax0−by0−cz0=0
soit en posant
d=−ax0−by0−cz0,
à :
ax+by+cz+d=0.
Réciproquement,
puisque a,b et c ne sont pas tous nuls,
on peut supposer par exemple
que
a est différent de 0.
On peut vérifier que le point A(−da;0;0)
appartient à
l'ensemble (E)
et
l'équation
ax+by+cz+d=0
équivaut à
a(x−da)+by+cz=0,
c'est-à-dire à
→AM.→n
=
0
où
→n(a;b;c).
(E) est donc
le plan passant par
A
et de vecteur normal
→n(a;b;c).
Exercice 3
Avec les points A(1;2;3), B(2;2;5) et C(−1;5;4), déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Property 10
Soient A et B deux points distincts de l'espace. Le plan
médiateur
de [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que
AM=BM.
2.4Position relative de deux plans
Observons quelques figures.
Les vecteurs normaux sont colinéaires et les plans sont parallèlesLes vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et les plans ne sont pas parallèlesLes vecteurs normaux sont orthogonaux et les plans sont perpendiculairesProperty 11
Soient P1 et P2 deux plans ayant pour vecteurs normaux respectifs
→n1
et
→n2.
Alors :
P1//P2
⟺
→n1 et →n2 sont
colinéaires.
P1 et P2 ne sont pas parallèles
⟺
→n1 et →n2
ne sont pas colinéaires.
Exercice 5
Soient P1, P2 et P3 trois plans d'équations respectives :
15x+6y+3z=0,
21x+7y−z=−4,
−5x−2y−z=21.
Déterminer les positions relatives de P1, P2 et P3.