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--> Géométrie dans l'espace 2 Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O,i,j,k) orthonormal de l'espace. 1Produit scalaire dans l'espace 1.1Définition du produit scalaire Definition 1
Soient u(x\y\z) et v(x\y\z) deux vecteurs. Le produit scalaire de u et v est le nombre réel noté
u.v
tel que :
u.v
=
xx
+
yy
+
zz.
Exemple 1
  1. Soit u=(1 3 2) et v=(5 1 1), alors u.v=
    1×5+3×(1)+(2)×1
    =
    0.

  2. Soit w=(4 2 0), alors u.w=
    1×(4)+3×(2)+(2)×0
    =
    10.
Remark 1 Le produit scalaire apparaît dans de nombreuses situations et permettra de plus de répondre rapidement à certaines questions. 1.2Norme d'un vecteur Definition 2
Soit u(x\y\z) un vecteur et M un point tel que u=OM. La norme du vecteur u est le réel positif :
||u||
=
OM
=
x2+y2+z2
=
u.u.
Exemple 2 Avec les vecteurs u=(1 3 2) et v=(5 1 1) de l'exemple précédent :

||u||=
12+32+(2)2=
14,
et
||v||=
52+(1)2+12=
27
=
33
. Exemple 3 Étudions la sphère S(A,r) de centre A(xA;yA;zA) et de rayon r>0.
On considère un point M(x;y;z) de S(A,r). On a alors :
M(x;y;z) S(A,r)
AM=r
AM2=r2.

Or, AM a pour coordonnées
(xxA\yyA\zzA),
ainsi :
AM2=
(xxA)2+(yyA)2+(zzA)2.


En conclusion, M(x;y;z)S(A,r) si et seulement si :
(xxA)2+(yyA)2+(zzA)2 = r2.
Exemple 4 L'équation de S(O,1), sphère de centre O et de rayon 1 est :
x2+y2+z2=1.
1.3Orthogonalité Remark 2 Considérons les deux vecteurs u=(x\y\z) et v=(x\y\z), ainsi que les points A, B et C tels que u=AB et v=BC.
On a alors que : AC=AB+BC =
(x+x\y+y\z+z).


De plus, d'après l'équivalence de Pythagore :

u et v sont orthogonaux 
AC2=AB2+BC2
AC2
=
AB2+BC2
(x+x)2+(y+y)2+(z+z)2
=
x2+y2+z2+x2+y2+z2
x2+2xx+x2+y2+2yy+y2+z2+2zz+z2
=
x2+y2+z2+x2+y2+z2
2xx+2yy+2zz
=
0
xx+yy+zz=0
u.v=0.
Ainsi, le produit scalaire défini dans ce cours correspond bien à celui rencontré dans le plan, cette dernière remarque amenant à la propriété suivante. Property 1
Soient u et v deux vecteurs de l'espace. u et v sont orthogonaux si et seulement si
u.v=0.
Exemple 5 Avec les vecteurs u=(1 3 2), v=(5 1 1) et w=(4 2 0) des exemples précédents nous avons donc :
u et v sont
orthogonaux
car
u.v=0.

u et w
ne sont pas orthogonaux
car
u.w0.
Exercice 1 Soient A(1;2;3), B(2;2;5) et C(1;5;4).
  1. Montrer que ABC est rectangle en A.
  2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur n0 orthogonal à AB et AC.
Correction
  1. AB.AC
    =
    (21\22\53).(11\52\43)
    =
    (1\0\2).(2\3\1)
    =
    2+2
    =
    0.

    Les vecteurs AB et AC sont donc
    orthogonaux
    et le triangle ABC est bien
    rectangle en A.
  2. Remarquons tout d'abord qu'il existe une infinité de vecteurs othogonaux à AB et AC. En effet dès que nous en avons trouvé un, tout vecteur colinéaire à celui-ci sera également orthogonal à AB et AC.
    On cherche donc
    n
    (x\y\z),
    x, y et z R
    tel que :
    {n.AB=0 n.AC=0.

    On a alors :
    {x+y=0 2x+3y+z=0.


    À partir de la première égalité,
    on choisit
    x=1
    et
    y=1.

    La deuxième égalité nous donne alors :
    z=2(3)
    =
    5.

    Ainsi le vecteur
    n(1\-1\5)
    convient.
1.4Propriétés algébriques Property 2
  1. Pour tous vecteurs u, v :    
    u.v
    =
    v.u.
  2. Pour tous vecteurs u, u et v :    
    (u+u).v
    =
    u.v+u.v.
  3. Pour tous vecteurs u, v et tout kR :    
    (ku).v
    =
    k×u.v.
  4. Pour tout vecteur u :    
    0.u
    =
    u.0
    =
    0.
Preuve
Il suffit d'écrire explicitement les calculs en utilisant la définition du produit scalaire donnée avec les coordonnées des vecteurs. Property 3
  1. Pour tout vecteur u(x\y\z) :
    u2
    =
    u.u
    =
    x2+y2+z2.
  2. Pour tout vecteur u et tout kR :
    ku
    =
    |k|u.
  3. Pour tous vecteurs u, v :
    u+v2
    =
    u2+2u.v+v2.
Preuve
Pour le point 1 nous utilisons la définition du produit scalaire et pour les points 2 et 3 la propriété précédente.
  1. u2
    =
    u.u
    =
    (x\y\z).(x\y\z)
    =
    x2+y2+z2.

  2. ku2
    =
    (ku).(ku)
    =
    k(u)(ku)
    =
    k2u.u
    =
    k2u2.

    Ainsi :
    ku
    =
    ku2
    =
    k2u2
    =
    k2u
    =
    |k|u.

  3. u+v2
    =
    (u+v).(u+v)
    =
    u.u+u.v+v.u+v.v
    =
    u2+u.v+u.v+v2
    =
    u2+2u.v+v2.
Property 4
Soient u et v deux vecteurs colinéaires. On a alors :
u.v={u×v si u et v sont de même sens u×v si u et v sont de sens opposé
Preuve
Si u=0 le résultat est évident car alors u.v
=
0
et u
=
0.

On peut alors supposer u0 et on pose
v=k×u
kR
($\vec u$ et $\vec v$ étant
colinéaires
).

On a donc :
v=
ku=
|k|u
et
u.v=
u.(ku)=
ku.u=
ku2=
ku×u.

Si k>0,
alors
k=
|k|
et
u.v=
|k|u×u=
v×u.

Si k>0,
alors
k=
|k|
et
u.v=
|k|u×u=
v×u.
1.5Autre expression du produit scalaire Deux vecteurs plusunpoint définissent un plan si$u$et$v$nesontpascolinéaires, ou une droite si$u$et$v$sontcolinéaires. Donc pour calculer le produit scalaire u.v on peut se placer dans un plan contenant u et v. On se retrouve alors à faire de la géométrie plane.

On considère trois points distincts, A, B et C de l'espace. On note H le projeté orthogonal de C sur (AB). A B C H

AB.AC=
AB.
(AH
+
HC)
=
AB.AH
+
AB.HC
=
AB.AH
+
0
car AB et HC sont
orthogonaux.
=
±
ABAH
d'aprés la propriété précédente.
=
±
AB×AH
selon le sens de AB et AH

Or
AH
=
AC×
cos(AB,AC)
(le
cosinus
donnera le signe "+" ou "-" désiré), on obtient donc la propriété suivante : Property 5
Soient A, B et C trois points de l'espace.
AB.AC
=
cos(AB,AC)
×
AB
× AC.

Exercice 2 Toujours avec les points A(1;2;3), B(2;2;5) et C(1;5;4), déterminer en degré la mesure de ^ABC.
Correction
On calcule les coordonnées des vecteurs BA
(1\0\-2)
et BC
(3\3\-1)
. On a alors :
BA.BC =
cos(AB,AC)×AB×AC
cos(AB,AC)
=
BA.BCAB×AC
cos(AB,AC)
=
1×3+0×3+2×11+0+4×9+9+2
cos(AB,AC)
=
5520
cos(AB,AC)
=
555×25
cos(AB,AC)
=
12.

L'énoncé nous demande la mesure en degré de ^ABC, cela veut dire que ce n'est pas une valeur sur un intervalle de longueur 2π, mais une mesure algébrique comme au collège. Ici, on peut donc répondre en connaissant seulement le cosinus de l'angle :
^ABC
=
30°.

2Plans et orthogonalité 2.1Vecteur normal à un plan de l'espace Definition 3
Soit n un vecteur non nul et P un plan de l'espace. On dit que n est
normal
à P ssi toute droite de vecteur directeur n est
perpendiculaire
à P.
Property 6
Soit A un point d'un plan P et n un vecteur
normal
à P. Alors le plan P est l'ensemble des points M de l'espace tels que
AM.n
=
0.
n A M Definition 4
Soit P un plan de vecteur normal n et A un point de l'espace.
Supposons AP et posons
D
=
<A,n>,
la droite engendrée par
A et le vecteur n.

Alors le
projeté orthogonal
de A sur P est :
H=DP.
n D A H Remark 3 Si AP, alors le projeté de A dans P est
lui-même.
Property 7
Une droite d est orthogonale à toute droite d'un plan P si, et seulement si,
elle est
orthogonale
à
deux droites
sécantes
d1 et d2 de ce plan.
Preuve
Un sens de l'équivalence est évident :
Si d est orthogonale à toute droite du plan P
alors
elle est orthogonale à d1 et d2.


Réciproquement, si
u,
v1
et
v2
sont
des vecteurs directeurs,
respectivement
des droites
d, d1, d2,
alors :


u.v1
=
0
et
u.v2
=
0
puisque
d est orthogonale à d1 et à d2.


Soit Δ une droite du plan P
et
w un vecteur directeur de Δ.

Les droites d1 et d2 étant sécantes,
les vecteurs v1 et v2
ne sont pas colinéaires
et
constituent donc
des vecteurs dirigeant P ,
et il existe alors deux réels x et y tels que
w=xv1+yv2.


On a ainsi :
u.w=
u.(xv1+y.v2)=
xu.v1+yu.v2=
0.


On en déduit que les vecteurs u et w
sont orthogonaux,
donc
que la droite d est orthogonale à la droite Δ.
Property 8
Soit P un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires u et v. Soit n un vecteur de l'espace.
Si n est
orthogonal
à u et v alors n est
normal
à P.
Exemple 6 Pour les points des exercices précédents A(1;2;3), B(2;2;5) et C(1;5;4), nous avions trouver que le vecteur n(1\-1\5) était orthogonal à AB et AC. Puisque AB et AC ne sont pas colinéaires, le vecteur n(1\-1\5) est
normal
à P. 2.2Équation cartésienne d'un plan de l'espace Property 9
  1. Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal n
    (a\b\c)
    a une équation cartésienne de la forme :
    ax+by+cz+d=0
    dR
    fixé.
  2. Réciproquement, si a, b, c ne sont pas tous les trois nuls, l'ensemble (E) des points M(x;y;z) tels que
    ax+by+cz+d=0
    est un plan de vecteur
    normal
    n(a\b\c).
Preuve
Soit A(x0;y0;z0) un point du plan P et M(x;y;z) un point de l'espace.
On a :
AM
(xx0;yy0;zz0)
et
AM.n=
a(xx0)+b(yy0)+c(zz0) .

Ainsi :
MP
équivaut à
AM.n=0,
soit à :


a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0
c'est-à-dire :
ax+by+czax0by0cz0=0
soit en posant
d=ax0by0cz0,
à :
ax+by+cz+d=0.


Réciproquement,
puisque a,b et c ne sont pas tous nuls,
on peut supposer par exemple
que
a est différent de 0.

On peut vérifier que le point A(da;0;0)
appartient à
l'ensemble (E)
et
l'équation
ax+by+cz+d=0
équivaut à
a(xda)+by+cz=0,
c'est-à-dire à
AM.n
=
0
n(a;b;c).


(E) est donc
le plan passant par
A
et de vecteur normal
n(a;b;c).
Exercice 3 Avec les points A(1;2;3), B(2;2;5) et C(1;5;4), déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Correction
Nous avions que vu que n(1\-1\5) est un vecteur normal à (ABC). Ainsi il existe un réel d tel qu'une équation cartésienne du plan soit :
xy+5z+d=0.
Il reste à déterminer la valeur de d.
Pour cela nous allons utiliser les coordonnées d'un point du plan (ABC), par exemple A.

xAyA+5zA+d=0
12+15+d=0
d=14.

Le plan (ABC) possède donc pour équation cartésienne :
xy+5z14=0.
2.3Plan médiateur d'un segment Definition 5
Soient A et B deux points distincts de l'espace et soit M le
milieu
du segment [AB].
Le plan médiateur
de [AB] est le plan
perpendiculaire
à (AB) passant par
M.
Remark 4 Cette définition rappelle la définition, en géométrie plane, de
la médiatrice
d'un segment. A M B Exercice 4 Déterminer une équation du plan médiateur de [AB] avec A(0;1;1) et B(4;1;5).
Correction
Nous savons que le vecteur AB
(4\0\4)
est
normal
au plan médiateur de [AB], ainsi une équation cartésienne du plan médiateur est de la forme :
4x+4z+d=0,
avec dR à déterminer.

Le milieu de [AB] de coordonnées
(2;1;3)
appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient
l'équation du plan,
et nous obtenons alors :
4×2+4×3+d=0
d=20.

Nous trouvons donc que le plan médiateur de [AB] a pour équation cartésienne :
4x+4z20=0,
que l'on réduit à :
x+z5=0.
Property 10
Soient A et B deux points distincts de l'espace. Le plan
médiateur
de [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que
AM=BM.
2.4Position relative de deux plans Observons quelques figures. P1 n1 P2 n2 Les vecteurs normaux sont colinéaires et les plans sont parallèles P1 n1 P2 n2 Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et les plans ne sont pas parallèles P1 n1 P2 n2 Les vecteurs normaux sont orthogonaux et les plans sont perpendiculaires Property 11
Soient P1 et P2 deux plans ayant pour vecteurs normaux respectifs
n1
et
n2.
Alors :
  1. P1//P2
    n1 et n2 sont
    colinéaires.
  2. P1 et P2 ne sont pas parallèles
    n1 et n2
    ne sont pas colinéaires.
Exercice 5 Soient P1, P2 et P3 trois plans d'équations respectives : Déterminer les positions relatives de P1, P2 et P3.
Correction
Soient n1
(15\6\3),
n2
(21\7\-1)
et n3
(5\-2\-1)
des vecteurs normaux des plans respectifs P1, P2 et P3 obtenus à l'aide des
coefficients
des équations cartésiennes.

Nous remarquons que n1 =
3n3,
ainsi n1 et n3
sont colinéaires
et les plans P1 et P3
sont parallèles.


Par ailleurs zn1 =
3zn2
mais xn1
3xn2.
Les vecteurs n1 et n2
ne sont donc pas colinéaires,
et les plans P1 et P2
ne sont pas parallèles.


Puisque P1 et P3
sont parallèles,
et que P1 et P2
ne sont pas parallèles,
alors P2 et P3
ne sont non plus pas parallèles.
Property 12
Soient P1 et P2 deux plans de vecteurs normaux respectifs
n1
et
n2.

les plans P1 et P2 sont
perpendiculaires
si et seulement si les vecteurs n1 et n2 sont
orthogonaux.
Exercice 6 Avec les mêmes notations qu'à l'exercice précédent, les plans P1 et P2 sont-ils perpendiculaires ?
Correction
Les plans P1 et P2 ont pour vecteurs normaux respectifs n1(15\6\3) et n2(21\7\-1).
Calculons leur produit scalaire :
n1.n2
=
15×21+6×73×1
=
354.

On peut alors affirmer que les plans P1 et P2
ne sont pas perpendiculaires.