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Lois de probabilités continues 1Introduction L'histogramme ci-dessous résume la répartition, en fréquence, de la taille des individus au sein d'une population.

0,0

[120;140[

[140;150[

[150;160[

[160;165[

[165;175[

[175;195[

0,00455

0,01364

0,01818

0,05455

0,02272

0,00455

On rappelle que dans un histogramme chaque classe est représentée par un rectangle dont la largeur est proportionnelle à l'amplitude de la classe et dont la hauteur est proportionnelle à la densité de la classe.

Par exemple, la fréquence des personnes de cette population mesurant entre 150 et 160 cm est de :

10\times0,01818

\simeq

0,1818

Ainsi, c'est

l'aire

de chaque rectangle qui nous donne la fréquence pour chacune des classes.
On tire au sort un individu au sein de cette population et on note

X

la variable aléatoire qui donne sa taille.

X

peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle

[120;195]

On dit que

X

suit

une loi continue

sur l'intervalle

[120;195]

.
La probabilité

P(X\in [160;175[)

correspond à

la somme des aires

des deux rectangles correspondant aux classes

[160;165[

[165;175[

P(X\in [160;175[)

=

0,05455\times5

+

0,02272\times10

=

0,49995

Pour déterminer

P(X\in [167;178])

il faudrait un histogramme plus fin, et il en faudrait un encore plus fin pour déterminer

P(X\in [162,7;168,1])

.
La situation ne peut donc être parfaitement décrite que par la courbe représentative d'une fontion

f

qui "collerait" à l'histogramme.

Cette fonction

f

devrait être

continue

positive

sur

[120;195]

et telle que

\displaystyle{\int_{120}^{195} f(x)\mathrm{d}x}

=

1

pour que l'aire sous la courbe soit égale à 1, tout comme la somme des aires de tous les rectangles de l'histogramme, correspondant à la somme de toutes les fréquences, vaut

0,0

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Déplacer

a

b

Ainsi la probabilité que

X

soit dans l'intervalle

[\alpha;\beta]

s'écrirait :

P(X\in[\alpha;\beta])

=

\displaystyle{\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm{d}x}

La formule de l'espérance d'une variable aléatoire discrète :

E(X) = x_1.p(X=x_1) + x_2.p(X=x_2)+\cdots+x_n.p(X=x_n)

s'adapterait aussi au cas d'une variable aléatoire continue :

E(X)

=

\displaystyle{\int_{120}^{195} x.f(x)\mathrm{d}x. }

2Lois continues sur un intervalle Definition 1
On considère deux intervalles

[a;b]

[\alpha;\beta]

tels que

[\alpha;\beta]\subset [a;b]

.
Soit

X

une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'intervalle

[a;b]

. On dit que

X

suit une

loi continue

densité

f

si il existe une fonction

f

continue

positive

sur

[a;b]

et telle que :

$\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x}$

$=$

$1$ ,
$\displaystyle{P(X\in[\alpha;\beta])}$

$=$

$\displaystyle{\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm{d}x}$ .

La fonction

f

est appelée la densité de la loi de probabilité. Remark 1 Si

X

suit une loi continue de densité

f

sur

[a;b]

, alors pour tout

\alpha\in[a;b]

P(X=\alpha)

=

0

Property 1
Si

X

suit une loi continue de densité

f

sur

[a;b]

alors :

E(X)

=

\displaystyle{\int_a^b x.f(x)\mathrm{d}x}

Exercice 1 Montrer que

f(x)=3x^2

est une densité de loi de probabilité sur

[0;1]

d'une variable aléatoire

X

. Déterminer alors

P(0,1\leq X\leq 0,2)

ainsi qu'une valeur approchée à

10^{-3}

P_{\{X\geq0,2\}}(X\leq 0,9)

Correction

La fonction

f

est bien

continue

positive

sur

[0;1]

. Il nous reste à calculer

l'intégrale

sur

[0;1]

f

\displaystyle{\int_0^1f(x)\mathrm{d}x}

=

\displaystyle{\int_0^1 3x^2\mathrm{d}x}

=

\displaystyle{ \left[ x^3 \right]_0^1 }

=

1^3-0^3

=

La fonction

f

est bien une

densité

de probabilité sur

[0;1]

.

On a alors :

P(0,1\leq X\leq 0,2)

=

\displaystyle{\int_{0,1}^{0,2}f(x)\mathrm{d}x}

=

\left[ x^3 \right]_{0,1}^{0,2}

=

0,2^3-0,1^3

=

0,007

Pour calculer

P_{\{X\geq0,2\}}(X\leq 0,9)

on remarque tout d'abord que

X\geq0,2

signifie

0,2\leq X \leq 1

X\leq 0,9

signifie

0\leq X\leq 0,9

car

X

est une variable aléatoire de

[0;1]

On a alors :

P_{\{X\geq0,2\}}(X\leq 0,9)

=

$\dfrac{P(X\geq0,2\mbox{ et }X\leq 0,9) }{P(X\geq0,2)}$

=

\dfrac{P(0,2\leq X\leq 0,9)}{P(0,2\leq X\leq 1)}

=

\dfrac{ [x^3]_{0,2}^{0,9} }{ [x^3]_{0,2}^{1} }

=

\dfrac{0,9^3-0,2^3}{1^3-0,2^3}

\simeq

0,727

Exercice 2 Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi de probabilité

f

où

f(t)=at^3

sur l'intervalle

[0;1]

Déterminer $a$ .
Calculer $\displaystyle{P\left(X\in \left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]\right)}$ .

Correction

Pour déterminer $a$ , nous allons exploiter l'égalité :
$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t = 1}$ .

On a alors :

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t = 1}$

$\Longleftrightarrow$

$\displaystyle{\int_{0}^{1}at^3\mathrm{d}t = 1}$

$\Longleftrightarrow$

$\left[ a\dfrac{t^4}{4}\right]_0^1 = 1$

$\Longleftrightarrow$

$\dfrac{a}{4} = 1$

$\Longleftrightarrow$

$a=4$ .
$\displaystyle{P\left(X\in \left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]\right)}$

$=$

$\displaystyle{\int_{1/4}^{1/2}4t^3\mathrm{d}t}$

$=$

$[ t^4 ]_{1/4}^{1/2}$

$=$

$\dfrac{1}{2^4}-\dfrac{1}{4^4}$

$=$

$\dfrac{15}{256}$ .

3 Loi uniforme sur un intervalle Si

X

est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs

x_1

x_2

\ldots

x_n

et suivant une loi uniforme alors

P(X=x_i)

=

\dfrac{1}{n}

Étendons cela au cas où

X

prend toutes les valeurs d'un intervalle

[a;b]

de manière uniforme. Definition 2
On dit qu'une variable aléatoire

X

suit

une

loi

uniforme

sur un intervalle

[a;b]

si la densité de la loi de probabilité de

X

est

une

fonction

constante.

Cette constante est alors égale à

\dfrac{1}{b-a}

Justification
On a :

\forall x \in[a;b]

f(x)

=

c

\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x}

=

1

Or,

\displaystyle{\int_a^b c\mathrm{d}x}

=

\left[cx\right]_a^b

=

c(b-a)

donc

c

=

\dfrac{1}{b-a}

Property 2
Soit

X

une variable aléatoire suivant

une loi uniforme

sur l'intervalle

[a;b]

. Pour tout intervalle

[\alpha;\beta]\subset[a;b]

on a :

P(X\in [\alpha;\beta])

=

\dfrac{\beta-\alpha}{b-a}.

Preuve

P(X\in [\alpha;\beta])

=

\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\mathrm{d}x}

=

\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{\mathrm{d}x}{b-a}}

=

\left[ \dfrac{x}{b-a} \right]_{\alpha}^{\beta}

=

\dfrac{\beta-\alpha}{b-a}

Exercice 3 À partir de 7heures du matin, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée, représentée par le nombre de minutes après 7h, est une variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle

[0;30]

. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus? Qu'il l'attende plus de dix minutes?

Correction

L'usager attendra moins de cinq minutes si son heure d'arrivée est comprise entre

7h10 et 7h15,

entre 7h25 et 7h30.

Si on note

X

la variable aléatoire définie par l'énoncé, ceci revient à

X

appartient à

[10;15]

X

appartient à

[25;30]

La probabilité recherchée est donc :

P(X\in[10;15])

+

P(X\in[25;30])

=

\dfrac{5}{30}

+

\dfrac{5}{30}

=

\dfrac{1}{3}

Le raisonnement est identique pour déterminer la probabilité qu'il attende plus de dix minutes. Dans ce cas, l'heure d'arrivée doit être comprise entre

7h et 7h05

entre

7h15 et 7h20.

P(X\in[0;5])+P(X\in[15;20])

=

\dfrac{5}{30}+\dfrac{5}{30}

=

\dfrac{1}{3}

Exemple 1 Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle

[0;2]

.
On a alors:

P(X=1)

=

0

mais

P(0,999 < X < 1,001)

=

\dfrac{0,002}{1}

=

0,002

De plus, pour tout entier

n\geq1

P\left(1-\dfrac{1}{n} < X < 1+\dfrac{1}{n}\right)

=

\dfrac{2}{n}

Property 3
Si

X

est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur

[a;b]

de fonction de densité

f

, alors

l'espérance

mathématique

X

est :

E(X)

=

\dfrac{a+b}{2}.

Preuve

$E(X)$	$=$	$\displaystyle{\int_a^b xf(x) \mathrm{d}x }$
	$=$	$\displaystyle{\int_a^b \frac{x}{b-a} \mathrm{d}x }$
	$=$	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^b x \mathrm{d}x}$
	$=$	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2}\right]}$
	$=$	$\dfrac{b^2-a^2}{2(b-a)}$
	$=$	$\dfrac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}$
	$=$	$\dfrac{a+b}{2}.$

Exemple 2 Le tableau ci-dessous fournit 30 valeurs "aléatoires" générées par le langage Javascript, ainsi que la moyenne des résultats.

Moyenne :

La moyenne que nous pouvons espérer obtenir est de

\dfrac{1}{2}

. Les moyennes que nous obtenons sont-elles trop éloignées de

\dfrac{1}{2}

? Pour vérifier la qualité du générateur de nombres pseudo-aléatoires de Javascript on peut dans un premier temps calculer un

intervalle de fluctuation d'échantillonnage

comme en classe de 2^nde, les conditions d'application de la formule étant réunies : taille de l'échantillon supérieur à

et probabilité comprise entre

0,2

0,8.

L'intervalle de fluctuation est donc :

\left[ 0,5-\dfrac{1}{\sqrt{30}} ; 0,5+\dfrac{1}{\sqrt{30}} \right]

soit :

[0,317;0,683]

Les résultats que nous voyons apparaître sont

quasiment tous dans cet intervalle

, donc ce test

ne permet pas de conclure

que le générateur de nombres pseudo-aléatoires de Javascript s'éloigne trop d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur

[0;1]

.

Il existe de nombreuses méthodes pour tester la qualité des générateurs de nombres pseudo-aléatoires, mais cela ne fait pas l'objet de ce cours. Le lecteur curieux trouvera une littérature riche sur le sujet. 4Loi exponentielle Definition 3
Une variable aléatoire continue

X

suit

une loi exponentielle

de paramètre

\lambda>0

si sa densité est la fonction

f

définie sur

[0;+\infty[

par :

f(x)

=

\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}.

Exercice 4 Vérifier que

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_0^t f(x)\mathrm{d}x}=1

Correction

La dérivée de

x\mapsto \text{e}^{-\lambda x}

est

x\mapsto-\lambda\text{e}^{-\lambda x}

. Ainsi, on peut trouver une primitive pour la fonction que nous cherchons à intégrer.

Pour tout réel

t>0

, on a :

\displaystyle{\int_0^t f(x)\mathrm{d}x}

=

\displaystyle{\int_0^t \lambda\text{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x}

=

\left[ -\text{e}^{-\lambda x} \right]_0^t

=

-\text{e}^{-\lambda t}-(-1)

=

1-\text{e}^{-\lambda t}

Ainsi :

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_0^t f(x)\mathrm{d}x}

=

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}1-\text{e}^{-\lambda t} }

=

1-0

=

1

En effet, puisque

\lambda>0

, on a :

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}\text{e}^{-\lambda t} }

=

0

Property 4
Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi

exponentielle

de paramètre

\lambda>0

Pour tout réel $t>0$ :
$P(X < t)$

$=$

$1-\text{e}^{-\lambda t}$

et

$P(X>t)$

$=$

$\text{e}^{-\lambda t}.$
Pour tous réels strictement positifs $t_1$ et $t_2$ :
$P(t_1\leq X\leq t_2)$

$=$

$\text{e}^{-\lambda t_1}-\text{e}^{-\lambda t_2}.$

Preuve du point 1
Pour tout réel

t>0

, on a :

P(X < t)

=

\displaystyle{\int_0^t f(x)\mathrm{d}x}

=

\displaystyle{\int_0^t \lambda\text{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x}

=

\left[ -\text{e}^{-\lambda x} \right]_0^t

=

-\text{e}^{-\lambda t}-(-1)

=

1-\text{e}^{-\lambda t}

De plus,

X

étant

continue

P(X \geq t)

=

P(\{X=t\}\cup\{ X>t\})

=

P(X = t)+P(X > t)

=

0+P(X > t)

=

P(X > t)

Nous avons alors :

P(X > t)

=

P(X \geq t)

=

1-P( X < t)

=

1 - (1-\text{e}^{-\lambda t})

=

\text{e}^{-\lambda t}

Preuve du point 2
Pour tous réels strictement positifs

t_1

t_2

, par définition on a :

P(t_1\leq X\leq t_2)

=

\displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}\lambda\text{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x}

=

\left[ -\text{e}^{-\lambda x} \right]_{t_1}^{t_2}

=

-\text{e}^{-\lambda t_2}-(-\text{e}^{-\lambda t_1})

=

\text{e}^{-\lambda t_1}-\text{e}^{-\lambda t_2}

Property 5
Si

X

est une variable aléatoire

exponentielle

de paramètre

\lambda>0

alors son

espérance

est :

E(X)

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_0^x tf(t)\mathrm{d}t}

=

\dfrac{1}{\lambda}.

Preuve
Remarquons tout d'abord que la fonction

F

définie sur

\mathbb{R}

par

\displaystyle{F(t)=-\left(t+\frac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda t}}

a pour dérivée

tf(t)

En effet, en utilisant la dérivée d'un produit, on a :

F'(t)

=

-1\times\text{e}^{-\lambda t}-\left(t+\dfrac{1}{\lambda}\right)\times(-\lambda) \text{e}^{-\lambda t}

=

-\text{e}^{-\lambda t}+\lambda\left(t+\dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda t}

=

-\text{e}^{-\lambda t}+\lambda t\text{e}^{-\lambda t}+\text{e}^{-\lambda t}

=

\lambda t\text{e}^{-\lambda t}

=

tf(t)

Nous pouvons donc calculer l'espérance de

X

$E(x)$	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_0^x tf(t)\mathrm{d}t}$
	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[-\left(t+\dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda t}\right]_0^x}$		$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}-\left(x+\dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}}$ .

\lambda>0

, donc :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{-\lambda x}}

=

0

De plus,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x+\dfrac{1}{\lambda}}

=

+\infty

, nous sommes donc en présence d'une

forme indéterminée

, mais d'après les formules de

croissances comparées

, nous avons :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}-\left(x+\dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda x}}

=

0

Ainsi, nous obtenons bien :

E(X)

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_0^x tf(t)\mathrm{d}t}

=

\dfrac{1}{\lambda}

Exercice 5 Un composant électronique a une durée de vie

X

(en heures) modélisée par une loi exponentielle de paramètre

\lambda = 5\times10^{-5}

Déterminer $P(X \leq t)$ et $P(X>t)$ . En déduire $P(X>1000)$ .
Déterminer $m$ tel que $P(X>m)=\dfrac{1}{2}$ .
Calculer $E(X)$ . Interpréter le résultat.
Comparer $P_{\{X\geq t\}}(X \geq t+h)$ et $P(X\geq h)$ . Interpréter le résultat.

Correction

D'après la propriété 4, on a :
$P(X \leq t)$

$=$

$1-\text{e}^{-\lambda t}$

$=$

$1-\text{e}^{-0,00001t}$
et
$P(X > t)$

$=$
$\text{e}^{-\lambda t}$

$=$

$\text{e}^{-0,00005t}$ .

Ainsi :
$P(X>1000)$

$=$

$\text{e}^{-0,00005\times1000}$

$=$

$\text{e}^{-0,05}$

$\simeq$

$0,9512$ .
$P(X>m)=\dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow$

$\text{e}^{-\lambda m} = \dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow$

$-\lambda m = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$

$\Longleftrightarrow$

$-\lambda m = -\ln(2)$

$\Longleftrightarrow$

$m=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}$

$\Longleftrightarrow$

$m = \dfrac{10^5\ln(2)}{5}$

$\simeq$

$13862,94$ .

Le nombre $m$ représente la
médiane
de $X$ . C'est-à-dire que la durée de vie du composant électronique a la même probabilité de durée
moins de $m$ ,

que plus de $m$ .
$E(X)$

$=$

$\dfrac{1}{\lambda}$

$=$

$\dfrac{1}{5\times10^{-5}}$

$=$

$\dfrac{10^5}{5}$

$=$

$20000$ .

On peut donc espérer que le composant électronique ait une durée de vie de 20 000 heures.
$P_{\{X\geq t\}}(X \geq t+h)$

$=$

$\dfrac{P(\{X\geq t\}\cap\{ X \geq t+h \}) }{P(X\geq t)}$ .

Or, si
$X\geq t+h$
alors nécessairement
$X\geq t$
, car $t$ et $h$ sont positifs. Ainsi :
$P(\{X\geq t\}\cap\{ X \geq t+h \})$

$=$

$P(X\geq t+h)$
et :

$P_{\{X\geq t\}}(X \geq t+h)$

$=$

$\dfrac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq t)}$

$=$

$\dfrac{ \text{e}^{-\lambda(t+h)} }{\text{e}^{-\lambda t}}$

$=$

$\text{e}^{-\lambda(t+h)-(-\lambda t)}$

$=$

$\text{e}^{-\lambda h}$

$=$

$P(X\geq h)$ .

On peut interpréter ce résultat en disant que quelle que soit
la durée de vie déjà écoulée
pour le composant électronique, la probabilité que celle-ci dure
encore $h$ heures de plus est toujours la même.

Remark 2 La dernière question de l'exercice précédent nous fait dire qu'une loi exponentielle est une loi de durée

sans vieillissement

. C'est une question qui revient souvent dans les exercices de baccalauréat, sa connaissance est donc fortement recommandée. 5Loi normale 5.1Théorème de Moivre-Laplace Soit

n\in\mathbb{N}^*

. On dit qu'une variable aléatoire

X_n

suit la loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

lorsque

X_n

compte le nombre de succès lors de

n

répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernouilli de paramètre

p

0,0

100

150

n = 2.00

p = 0.50

Déplacer

n

p

On a alors :

$E(X_n)$ $=$
$np$ ,
$\sigma (X)$ $=$
$\sqrt{np(1-p)}$ .

Théorème de Moivre-Laplace
Soit pour tout entier

n

, une variable aléatoire

X_n

qui suit la loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

et soit

Z_n

=

\displaystyle{\dfrac{X_n -np}{\sqrt{np(1-p)}}}

la variable

centrée réduite

associée à

X_n

.
Alors pour tous réels

a

b

, tels que

a < b

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} P(a \leq Z_n \leq b)}

=

\displaystyle{\int_a^b \dfrac{1}{2\pi}\text{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x.}

Remark 3 On peut interpréter ce théorème en disant que lorsque

n

est de plus en plus grand, le diagramme bâton représentant la variable aléatoire

X_n

est de plus en plus proche de la courbe d'une fonction particulière.
Cela est à rapprocher de l'histogramme représentant la répartition des tailles des individus d'une population que l'on avait remplacé par la courbe d'une fonction. Le calcul des probabilités se faisant en calculant des aires, l'intégrale de cette fonction avait donc été introduite de manière naturelle.
Par ailleurs, ces fonctions qui apparaissent nous amènent à effectuer les études des paragraphes suivants. 5.2Loi normale centrée réduite Definition 4
Une variable aléatoire continue

X

suit

la loi normale

\mathcal{N}(0;1)

si sa densité est la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par :

f(x)

=

\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e} ^{-\frac{x^2}{2}}

0,0

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

P(a< X < b)

P( a < X < b ) = 0.7262750758654439

Remark 4 On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut

1

et qu'ainsi f est bien une densité. Remark 5 La fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}

est

paire

(pour tout réel

x

f(-x)

=

f(x)

) et sa courbe représentative est donc

symétrique

par rapport à

l'axe des ordonnées.

On peut alors déduire graphiquement quelques propriétés pour

X

suivant une loi

\mathcal{N}(0;1)

: Property 6
Soit

X

une variable aléatoire continue suivant la loi

\mathcal{N}(0;1)

. On a alors :

$P(X \leq 0 )$

$=$

$P(X \geq 0)$

$=$

$0,5$ ,
pour tout réel $t\geq 0$ :
$P(X \leq -t )$

$=$

$P(X \geq t)$ ,
pour tout réel $t\geq 0$ :
$P(-t \leq X \leq t)$

$=$

$1-2P(X \geq t)$ .

0,0

t = 1.00

1-2P( X > t ) = 1-2x0.15866 = 0.68269

P( -t < X < t )=0.68269

P( X > t )= P( X < -t ) =0.158656

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

Remark 6 Nous ne connaissons

aucune primitive

à la fonction

x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}

, ainsi, si

X

suit une loi normale centrée réduite, afin de déterminer

P(\alpha < X < \beta)

on n'aura d'autre choix que celui d'utiliser la calculatrice :

la fonction normalFRep( $\alpha$ , $\beta$ ) surTexas,
la fonction NormCD( $\alpha$ , $\beta$ ) sur Casio.

Exercice 6 Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. À l'aide de votre calculatrice donner une valeur approchée à

10^{-4}

des probabilités suivantes :

$P(-1,5 \leq X \leq 2,2)$
$P(X < 1,3)$
$P(0,2 < X)$
$P(X=1)$
$P_{\{X>-0,38\}}(X<1,02)$

Correction

Quel que soit le modèle de calculatrice nous avons besoin d'entrer les valeurs des deux bornes.
On pourra tout de même vérifier les résultats en modifiant les valeurs de

a

b

du graphique ci-dessous.

0,0

a = -1.00

b = 1.00

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

P( a < X < b )=0.68269

P(a< X < b)

$P(-1,5 \leq X \leq 2,2)$

$\simeq$

$0,9193$ .
Pour calculer $P(X < 1,3)$ il nous manque
la borne inférieur
. En fonction des calculatrice on la remplacera par $-\infty$ ou par un nombre "très" éloigné de $0$ , par exemple $-10^{99}$ . On obtient alors :

$P(X < 1,3)$

$\simeq$

$0,9032$ .
Ici, nous rencontrons le même problème mais avec la
borne supérieur
. On la remplacera en fonction des calculatrices par $+\infty$ ou $10^{99}$ . On a ainsi :
$P(0,2 < X)$

$\simeq$

$0,4207$ .
De manière triviale, nous avons
$P(X=1)$

$=$

$0$
, car $X$ est une variable aléatoire
continue.
$P_{\{X>-0,38\}}(X<1,02)$

$=$

$\dfrac{ P(\{ X<1,02 \}\cap\{ X>-0,38 \}) }{P(X>-0,38)}$

$=$

$\dfrac{P( -0,38 < X < 1,02)}{P(X>-0,38)}$

$=$

$\dfrac{0,494163}{0,648027}$

$\simeq$
$0,7626$ .

Remark 7 Si

X

suit une loi normale centrée réduite, afin de déterminer le nombre réel

\gamma

tel que

P(X<\gamma) = k

on n'aura d'autre choix que celui d'utiliser la calculatrice :

la fonction FracNormale( $k$ ) sur Texas,
la fonction InvNormCD( $k$ ) sur Casio.

Exercice 7 Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. À l'aide de la calculatrice résoudre les équations suivantes en arrondissant les résultats à

10^{-5}

$P(X \leq a) = 0,1256$
$P(X > b) = 0,2347$
$P(0 < X < c) = 0,4988$

Correction

On pourra ici aussi vérifier les résultats de la calculatrice à l'aide du graphique ci-dessous. Dans le cas où il n'y a pas de borne inférieur, on mettra

a

complétement à gauche, et réciproquement lorsqu'il n'y a pas de borne supérieur

n

sera complétement à droite.

0,0

a = -1.00

b = 1.00

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

P( a < X < b )=0.76986

P(a< X < b)

Pour $P(X \leq a) = 0,1256$ nous trouvons
$a\simeq-1,14744$ .
Pour $P(X > b) = 0,2347$ les calculatrices ne donnent pas directement de résultats. On doit modifier tout d'abord l'expression.

$P(X > b) = 0,2347$

$\Longleftrightarrow$

$P(X \leq b) = 1 - 0,2347$

$\Longleftrightarrow$

$P(X \leq b) = 0,7653$ .

La calculatrice nous donne alors :
$b\simeq0,72346$ .
Pour $P(0 < X < c) = 0,4988$ la calculatrice ne peut également fournir immédiatement de résultat.

$P(0 < X < c) = 0,4988$

$\Longleftrightarrow$

$P(X\leq0)+P(0 < X < c) = P(X\leq0)+0,4988$

$\Longleftrightarrow$

$P(X < c) = 0,5+0,4988$

$\Longleftrightarrow$

$P(X < c) = 0,9988$ .

La calculatrice nous donne :
$c\simeq 3,03567$ .

Property 7
Si une variable

X

suit une loi normale

\mathcal{N}(0;1)

alors :

son espérance est
$E(X)$

$=$

$0$ ,
sa variance est
$V(X)$

$=$

$1$
et son écart type est
$1$ .

Preuve
Le résultat sur la variance est admis. Nous démontrons celui concernant l'espérance.

$E(X)$	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \int_x^0 tf(t)\mathrm{d}t + \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_0^x tf(t)\mathrm{d}t }$
	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \int_x^0 \frac{t}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t + \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_0^x \frac{t}{\sqrt{2\pi}} \text{e} ^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t }$
	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \left[ -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{t^2}{2}} \right]_x^0 + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{t^2}{2}} \right]_0^x }$
	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \left( -1 +\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}} \right) +}$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \left( -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}} + 1\right) }$
	$=$	$\displaystyle{-1+0-0+1}$ par limite de la fonction exponentielle
	$=$	$0$ .

5.3Loi normale Definition 5
Soient

\mu\in\mathbb{R}

\sigma>0

Une variable aléatoire

X

suit

la loi normale

\mathcal{N}(\mu;\sigma ^2)

si la variable aléatoire

\dfrac{X-\mu}{\sigma}

suit

la loi normale

centrée réduite

\mathcal{N}(0;1)

Exemple 3 Faire varier les valeurs de

\mu

\sigma

pour observer leur influence sur la courbe.

0,0

μ = 1.00

σ = 1.00

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Modifier le paramètre

\mu

déplace

l'axe de symétrie

de la courbe et modifier

\sigma

fait varier

l'aplatissement

de la courbe. Property 8
Si une variable

X

suit une loi normale

\mathcal{N}(\mu;\sigma ^2)

alors :

son espérance est
$E(X)$

$=$

$\mu$
,
sa variance est
$V(X)$

$=$

$\sigma ^2$
et son écart-type est
$\sigma$ .

Preuve
Ces résultats s'obtiennent à l'aide des opérations sur les variables aléatoires.

À, savoir que si

X

est une variable aléatoire et

a

un réel alors, en notant

E

l'espérance et

s

l'écart-type :

E(X+a)

=

E(X)+a

s(X+a)

=

s(X)

E(aX)

=

aE(X)

s(aX)

=

|a|S(X)

On pourra revoir le cours se rapportant à ses notions.

Nous avons que

\dfrac{X-\mu}{\sigma}

suit

la loi normale

centrée réduite,

donc :

E\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right)=0

\Longleftrightarrow

\dfrac{1}{\sigma}E(X-\mu) = 0

\Longleftrightarrow

E(X-\mu) = 0

\Longleftrightarrow

E(X)-\mu=0

\Longleftrightarrow

E(X)=\mu

De plus, en notant

s

l'écart-type d'une variable aléatoire, nous avons :

s\left( \dfrac{X-\mu}{\sigma} \right)=1

\Longleftrightarrow

\dfrac{1}{\sigma}s(X-\mu)=1

\Longleftrightarrow

s\left( X-\mu \right) = \sigma

\Longleftrightarrow

s(X)=\sigma

Remark 8 Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si X suit une loi normale

\mathcal{N}(\mu;\sigma ^2)

on ne pourra calculer

P(\alpha < X < \beta)

qu'à l'aide de la calculatrice :

la fonction normalFRep( $\alpha$ , $\beta$ , $\mu$ , $\sigma$ ) sur Texas,
la fonction NormCD( $\alpha$ , $\beta$ , $\mu$ , $\sigma$ ) sur Casio.

Exercice 8 Le périmètre crânien en cm d'un enfant de 3 ans suit la loi normale d'espérance

49

cm et d'écart-type

1,6

cm.

Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d'un enfant de 3 ans soit compris entre $45,8$ et $52,2$ cm ?
Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d'un enfant de 3 ans soit inférieure à $48$ cm ?

Correction

Notons

X

la variable aléatoire donnant le périmètre crânien. Nous avons alors que

X

suit

\mathcal{N}(49;1,6^2)

Nous cherchons dans cette question
$P( 45,8 < X < 52,2)$
. Nous obtenons à la calculatrice, en arrondissant à $10^{-4}$ :
$0,95450$ .
Ici, nous voulons :
$P( X < 48)$
. Toujours à la calculatrice, en arrondissant à $10^{-4}$ , on obtient :
$0,26599$ .

Remark 9 Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si X suit une loi normale

\mathcal{N}(\mu;\sigma ^2)

on ne pourra résoudre l'équation

P(X < \gamma)=k

qu'à l'aide de la calculatrice :

la fonction FracNormale( $k$ , $\mu$ , $\sigma$ ) sur Texas,
la fonction InvNormCD( $k$ , $\mu$ , $\sigma$ ) sur Casio.

5.4Intervalles et écarts-types Property 9
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale

\mathcal{N}(0;1)

alors pour tout réel

\alpha

\in

]0;1[

, il existe un unique réel positif

u_{\alpha}

tel que

P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha})

=

1-\alpha

0,0

-u_α

+u_α

P( X < -u_α ) = α/2

P( X > u_α ) = α/2

P(u_α ≤ X ≤ u_α ) = 1 - α

Preuve
Remarquons tout d'abord que pour tout réel positif

t

P( -t\leq X \leq t )=1-\alpha

\Longleftrightarrow

P( X\leq t) = 1-\alpha+\dfrac{\alpha}{2}

\Longleftrightarrow

P( X\leq t) = 1 -\dfrac{\alpha}{2}

On cherche donc à prouver qu'il existe une unique solution

t

à l'équation

P( X\leq t) = 1 -\dfrac{\alpha}{2}

. Nous allons pour cela utiliser le théorème

de la bijection.

On définit la fonction

f

sur

\mathbb{R}

par

f(t)=P( X\leq t)

. On cherche donc à prouver l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation

f(t)=1 -\dfrac{\alpha}{2}

Pour calculer une probabilité associée à une variable aléatoire continue nous utilisons une intégrale, ainsi la fonction

f

est bien

continue

sur

\mathbb{R}

De plus, si

t

t'

sont deux réels tels que

t < t'

, alors

P(X\leq t) < P(X\leq t')

car nous calculons une aire de plus en plus loin sous la courbe. Ainsi,

f(t) < f(t')

dès que

t < t'

, la fonction

f

est

strictement croissante

sur

\mathbb{R}

Nous avons que :

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow-\infty}f(t)}

=

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow-\infty}P(X\leq t)}

=

0

, et

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}f(t)}

=

\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}P(X\leq t)}

=

1

\alpha\in]0;1[

, donc

1 -\dfrac{\alpha}{2}

\in

]0;1[

, nous pouvons alors appliquer le théorème de la bijection et affirmer que l'équation

f(t)=1 -\dfrac{\alpha}{2}

admet

une unique solution

sur

\mathbb{R}

, que nous notons

u_{\alpha}

Exemple 4 À l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurs suivantes :

$u_{0,05}$

$\simeq$

$1,96$ ,
$u_{0,01}$

$\simeq$

$2,58$ .

Remark 10 Ces valeurs sont à connaître par coeur, on retiendra donc que, si

X

suit

\mathcal{N}(0;1)

alors :

$P(-1,96 \leq X \leq 1,96)$

$\simeq$

$0,95$ ,
$P(-2,58 \leq X \leq 2,58)$

$\simeq$

$0,99$ .

Property 10
Si

X

suit la loi

\mathcal{N}(\mu;\sigma ^2)

, on a les approximations suivantes :

$P(X\in [\mu-\sigma;\mu+\sigma])$

$\simeq$

$0,68$ ,
$P(X\in [\mu-2\sigma;\mu+2\sigma])$

$\simeq$

$0,95$ ,
$P(X\in [\mu-3\sigma;\mu+3\sigma])$

$\simeq$

$0,997$ .

0,0

μ = 1.00

σ = 1.00

nb sigma = 1.00

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

P( μ-1σ ≤ X ≤ μ+1σ) = 0.6826894921514159

Dans le graphique précédent nous remarquons, quelles que soient les valeurs de

\mu

\sigma

que les probabilités restent identiques.