On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ des nombres réels.
On a alors :

$|z|$	$=$	$\left|\dfrac{1}{z}\right|$
$|z|$	$=$	$\dfrac{1}{|z|}$
$|z|\times|z|$	$=$	$1$
$|z|^2$	$=$	$1$
$x^2+y^2$	$=$	$1$.

Par ailleurs :

$|z|$	$=$	$|1-z|$
$|z|^2$	$=$	$|1-z|^2$
$x^2+y^2$	$=$	$|1-(x+iy)|^2$
$1$	$=$	$|1-x-iy|^2$	D'après ce qui précède $x^2+y^2=1$.
$1$	$=$	$(1-x)^2+y^2$
$1$	$=$	$1-2x+x^2+y^2$
$1$	$=$	$1-2x+1$
$x$	$=$	$\dfrac{1}{2}$.

Or, $x^2+y^2=1$ donc $y^2=1-x^2$, et puisque $x=\dfrac{1}{2}$, on a alors :

$y^2=1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^2$ ssi $y^2=\dfrac{3}{4}$ ssi $y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ou $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Les nombres complexes cherchés sont donc :

$z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ et $z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$. Remark 1 Les nombres cherchés $z$, vérifient $|z|=1$, ce qui graphiquement représente le cherche de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère du plan complexe.
On a aussi que $|1-z|=1$, ce qui est équivalent à $|z-1|=1$, ce qui correspond au cercle de centre le point d'affixe $1$ et de rayon $1$. Les solutions cherchées sont les affixes des points d'intersection de ces deux cercles.
On peut même remarquer que ces deux points sont situés sur le cercle trignométrique pour des mesures d'angles de $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.

Remark 2 Le symbole $\iff$ veut dire "si et seulement si", et cela est très important dans cet exercice. Il faudra faire bien attention à chaque étape de calcul que l'on a bien une "équivalence".
Par exemple : "Si $x\geq 1$ alors $x^2 \geq 1$" est une proposition vraie.
Par contre "Si $x^2 \geq 1$ alors $x\geq 1$" est une proposition fausse (par exemple pour $x=-2$ on a bien $x^2=4\geq 1$ alors que $x<1$).
Ainsi l'affirmation "$x\leq 1$ $\iff$ $x^2\leq1$" est fausse.
Nous allons donc dans cet exercice, dans un premier temps, supposer que $|z|=1$ et montrer que $\dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R$.
C'est-à-dire que l'on montre : $|z|=1$ $\Rightarrow$ $\dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R$.

On montrera ensuite que : $\dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R$ $\Rightarrow$ $|z|=1$.

On devra donc faire deux raisonnements pour chacun des implications.

Étape 1. On démontre : $|z|=1$ $\Rightarrow$ $\dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R$.

On pose $z=x+iy$ et puisque $|z|=1$, on a $\sqrt{x^2+y^2}=1$, c'est-à-dire : $x^2+y^2=1$.
On a alors :

$\dfrac{1+z}{1-z}$	$=$	$\dfrac{1+x+iy}{1-(x+iy)}$
	$=$	$\dfrac{1+x+iy}{1-x-iy}$
	$=$	$\dfrac{1+x+iy}{1-x-iy}\times\dfrac{1-x+iy}{1-x+iy}$
	$=$	$\dfrac{1-x+iy+x-x^2+ixy+iy-ixy+i^2y}{(1-x)^2+y^2}$
	$=$	$\dfrac{1+2iy-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}$
	$=$	$\dfrac{1+2iy-1}{(1-x)^2+y^2}$	puisque $x^2+y^2=1$
	$=$	$\dfrac{2iy}{(1-x)^2+y^2}$
	$=$	$i\times\dfrac{2y}{(1-x)^2+y^2}$.

Ainsi, nous avons bien $\dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R$.


Étape 2. On démontre : $\dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R$ $\Rightarrow$ $|z|=1$.

Il existe donc un réel $k$ tel que : $\dfrac{1+z}{1-z}=ki$.
On a alors :

$\dfrac{1+z}{1-z}$	$=$	$ki$
$1+z$	$=$	$ki(1-z)$
$1+z$	$=$	$ki-kiz$
$z+kiz$	$=$	$ki-1$
$z(1+ki)$	$=$	$ki-1$
$z$	$=$	$\dfrac{-1+ki}{1+ki}$.

Il nous reste à calculer le module de $z$.

$| z |$ $=$ $\left| \dfrac{-1+ki}{1+ki} \right|$ $=$ $\dfrac{|-1+ki|}{|1+ki|}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{(-1)^2+k^2}}{\sqrt{1^2+k^2}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{1^2+k^2}}{\sqrt{1^2+k^2}}$ $=$ $1$.

Conclusion.
Nous avons bien démontré grâce aux deux étapes de raisonnement que : $|z|=1\iff \dfrac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R.$