Montrons par récurrence que pour tout
n≥n0,
∣zn∣>2n−n0+1.
Initialisation
Pour
n=n0 :
∣zn∣=∣zn0∣>2 par hypothèse. Par ailleurs :
2n−n0+1=2n0−n0+1=2.
On a donc bien :
∣zn∣>2n−n0+1 pour
n=n0. La propriété est initialisée.
Hérédité
Supposons que pour un certain entier
n≥n0 on a :
∣zn∣>2n−n0+1.
Montrons alors que :
∣zn+1∣>2n−n0+2.
Remarquons tout d'abord que puisque
∣c∣≤2, on a alors
−∣c∣≥−2.
Par ailleurs, par définition on a :
$$\begin{array}{rcll}
|z_{n+1}| & = & |z_n^2+c| & \
& \geq & |z_n^2| - |c| & \quad\text{ d'après }\mathscr{P_2} \
& \geq & |z_n|^2 - |c| & \quad\text{ d'après }\mathscr{P_1} \
& > & \left(2^{n-n_0+1}\right)^2-|c| & \quad\text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\
& > & 2^{2(n-n_0+1)} - |c| & \
& > &2^{2n-2n_0+2} - |c| & \
& > & 2^{2n-2n_0+2} - 2 & \quad\text{ d'après la dernière remarque}\
\end{array}$$
Nous souhaitons alors que
22n−2n0+2−2>2n−n0+2 pour pouvoir conclure.
Étudions alors
22n−2n0+2−2−2n−n0+2 dans le but de montrer que
22n−2n0+2−2−2n−n0+2>0.
On a :
$$\begin{array}{rcll}
2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2} & = & 2^{2n-2n_0+2} - 2^{n-n_0+2} - 2 \
& = & 2^{n-n_0+2}\left( 2^{n-n_0}-1\right)-2 \
\end{array}$$
Or puisque
n>n0, on a
n−n0>0, c'est-à-dire
n−n0≥1, et donc
2n−n0≥2. Ainsi :
$$\begin{array}{rcll}
2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2} & \geq & 2^{n-n_0+2}\times(2-1) - 2 \
& \geq & 2^{n-n_0+2} - 2. \
\end{array}$$
La suite
(2n−n0+2) est strictement croissante, donc pour tout
n≥n0, on a :
2n−n0+2−2 ≥ 2n0−n0+2−2 ≥ 22−2 > 0.
Ainsi nous avons que
22n−2n0+2−2−2n−n0+2>0 et donc
22n−2n0+2−2>2n−n0+2.
Et puisque
∣zn+1∣ ≥ 22n−2n0+2−2, on a alors :
∣zn+1∣>2n−n0+2.
La propriété est bien héréditaire.
Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout
n≥n0,
∣zn∣>2n−n0+1.
Or,
n→+∞lim2n−n0+1=+∞.
Ainsi, puisque
∣zn∣>2n−n0+1, par comparaison de limites on a :
n→+∞lim∣zn∣=+∞.
La suite
(∣zn∣) diverge vers
+∞ et elle n'est pas bornée.