Montrons par récurrence que pour tout $n\geq n_0$, $|z_n|>2^{n-n_0+1}$.
Initialisation
Pour $n=n_0$ : $|z_n| = |z_{n_0}| > 2$ par hypothèse. Par ailleurs : $2^{n-n_0+1} = 2^{n_0-n_0+1} = 2$.
On a donc bien : $|z_n|>2^{n-n_0+1}$ pour $n=n_0$. La propriété est initialisée.
Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n\geq n_0$ on a : $|z_n|>2^{n-n_0+1}$.
Montrons alors que : $|z_{n+1}|>2^{n-n_0+2}$.
Remarquons tout d'abord que puisque $|c|\leq 2$, on a alors $-|c|\geq-2$.
Par ailleurs, par définition on a :
$$\begin{array}{rcll}
|z_{n+1}| & = & |z_n^2+c| & \
& \geq & |z_n^2| - |c| & \quad\text{ d'après }\mathscr{P_2} \
& \geq & |z_n|^2 - |c| & \quad\text{ d'après }\mathscr{P_1} \
& > & \left(2^{n-n_0+1}\right)^2-|c| & \quad\text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\
& > & 2^{2(n-n_0+1)} - |c| & \
& > &2^{2n-2n_0+2} - |c| & \
& > & 2^{2n-2n_0+2} - 2 & \quad\text{ d'après la dernière remarque}\
\end{array}$$
Nous souhaitons alors que $2^{2n-2n_0+2} - 2 > 2^{n-n_0+2}$ pour pouvoir conclure.
Étudions alors $2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2}$ dans le but de montrer que $2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2}>0$.
On a :
$$\begin{array}{rcll}
2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2} & = & 2^{2n-2n_0+2} - 2^{n-n_0+2} - 2 \
& = & 2^{n-n_0+2}\left( 2^{n-n_0}-1\right)-2 \
\end{array}$$
Or puisque $n>n_0$, on a $n-n_0>0$, c'est-à-dire $n-n_0\geq1$, et donc $2^{n-n_0}\geq2$. Ainsi :
$$\begin{array}{rcll}
2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2} & \geq & 2^{n-n_0+2}\times(2-1) - 2 \
& \geq & 2^{n-n_0+2} - 2. \
\end{array}$$
La suite $\left( 2^{n-n_0+2}\right)$ est strictement croissante, donc pour tout $n\geq n_0$, on a :
$2^{n-n_0+2} - 2$ $\geq$ $2^{n_0-n_0+2} - 2$ $\geq$ $2^2-2$ $>$ $0$.
Ainsi nous avons que $2^{2n-2n_0+2} - 2 - 2^{n-n_0+2}>0$ et donc $2^{2n-2n_0+2} - 2 > 2^{n-n_0+2}$.
Et puisque $|z_{n+1}|$ $\geq$ $2^{2n-2n_0+2} - 2$, on a alors :
$|z_{n+1}| >2^{n-n_0+2} $.
La propriété est bien héréditaire.
Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout $n\geq n_0$, $|z_n|>2^{n-n_0+1}$.
Or, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}2^{n-n_0+1} = +\infty}$.
Ainsi, puisque $|z_n|>2^{n-n_0+1}$, par comparaison de limites on a : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}|z_n| = +\infty}$.
La suite $(|z_n|)$ diverge vers $+\infty$ et elle n'est pas bornée.