--> TS ∼ DST n°1
  1. Écrire sous la forme $a+b\sqrt{c}$, avec $a$ et $b$ $\in\mathbb{Q}$ et $c\in\mathbb{N}$, le nombre $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$.
    2. $A$ $=$ $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
    $=$ $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\times\dfrac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
    $=$ $\dfrac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}{2^2-\sqrt{2}^2}$
    $=$ $\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}$
    $=$ $\dfrac{4}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
    $=$ $2+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$.
  2. Résoudre le système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{rcl}4x+3y & = & 5 \\x-2y & = & -7\\ \end{array}\right.$
    3. $\left\{\begin{array}{rcll}4x+3y & = & 5 & (1) \\x-2y & = & -7 & (2)\\ \end{array}\right.$

    $\left\{\begin{array}{rcll}11y & = & 33 & (1)-4\times(2) \\11x & = & -11 & 2\times(1)+3\times(2)\\ \end{array}\right.$

    $\left\{\begin{array}{rcll}y & = & 3 & \\x & = & -1 & \\ \end{array}\right.$

    Ainsi le système admet une unique solution, le coupe $(-1;3)$.
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0=50$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+3$.
  1. Déterminer la valeur de $u_1$ et $u_2$.
    2. $u_1=0,95u_0+3$ $=$ $0,95\times50+3$ $=$ $50,5$.
    $u_2=0,95u_1+3$ $=$ $0,95\times50,5+3$ $=$ $50,975$.
  2. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par : $v_n=60-u_n$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,95$.
      2. Pour tout entier $n$ :
      $v_{n+1}$ $=$ $60-u_{n+1}$
      $=$ $60-(0,95u_n+3)$
      $=$ $60-0,95u_n+3$
      $=$ $57-0.95u_n$
      $=$ $0,95\left(\dfrac{57}{0,95}-u_n\right)$
      $=$ $0,95(60-u_n)$
      $=$ $0,95v_n$.

      Ainsi, $v_{n+1}=0,95v_n$, la suite $(v_n)$ est bien géométrique de raison $0,95$.
    2. Déterminer la valeur de $v_0$ et en déduire l'expression de $v_n$ en fnction de $n$.
      3. $v_0=60-u_0$ $=$ $60-50$ $=$ $10$.

      De plus, pour tout entier $n$ :
      $v_n=v_0\times(0,95)^n$ donc $v_n=10\times(0,95)^n$.
    3. Montrer que pour tout entier $n$ : $u_n=60-10\times(0,95)^n$.
      4. Pour tout entier $n$ :
      $v_n=60-u_n$ donc $u_n=60-v_n$, et :
      $u_n=60-10\times(0,95)^n$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-\dfrac{5}{3x-1}$. On $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère orthonormée.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
    2. La fonction $f$ est définie pour toute valeur de $x$ qui n'annule pas son dénominateur.
    Or, $3x-1=0$ si et seulement $3x=1$ si et seulement si $x=\dfrac{1}{3}$.
    L'ensemble de définition de $f$ est donc $\mathbb{R}\backslash\{\frac{1}{3}\}$.
    On peut le noter également : $\left]-\infty;\frac{1}{3}\right[\cup\left]\frac{1}{3};+\infty\right[$.
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
    3. Pour obtenir les variations de $f$ il nous faut connaître le signe de $f'$.
    La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{-5}{V}$ avec $V(x)=3x-1$ et $V'(x)=3$.
    Ainsi,
    $f'(x)=-\dfrac{-5\times V'(x)}{V^2(x)}$ $=$ $\dfrac{15}{(3x-1)^2}$.
    Un carré étant toujours positif, $f'(x)$ est donc positif.

    $x$ $-\infty$ $\dfrac{1}{3}$ $+\infty$ $f'(x)$ $+$ interdit $+$ interdit $f(x)$ croissante interdit croissante interdit
  3. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
    4. L'équation cherchée est :
    $y=f'(0)(x-0)+f(0)$

    $y=\dfrac{15}{(3\times0-1)^2}x+\dfrac{-5}{3\times0-1}$

    $y=15x+5$.
Dans un repère du plan on considère la droite $d_1$ d'équation cartésienne : $2x-y=3$.
Soit $A(-1;3)$ un point de ce repère.
  1. Le point $A$ appartient-il à $d_1$ ?
    2. Pour cela regardons si les coordonnées de $A$ vérifie l'équation de $d_1$.
    Or, $2x_A-y_A=2\times(-1)-3$ $=$ $-5$ $\neq$ $3$.
    Ainsi le point $A$ n'appartient pas à $d_1$.
  2. Déterminer l'équation de la droite $d_2$ orthogonale à $d_1$ passant par $A$.
    3. Le vecteur $\vec{u}_1\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $d_1$.
    Ainsi, le vecteur $\vec{u}_2\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d_1$ (car orthogonal à $\vec{u}_1$) et est donc un vecteur normal à $d_2$.
    Une équation cartésienne de $d_2$ est alors de la forme :
    $1x+2y=c$, ave $c\in\mathbb{R}$.
    La droite $d_2$ passant par $A$, les coordonnées de ce point vérifient l'équation cherchée :
    $x_A+2y_A=c$, c'est-à-dire $c=5$.
    Une équation de $d_2$ est donc : $x+2y=5$.