Initialisation
Pour $n=0$ : $u_0=0$, donc on a bien : $0\leq u_0\leq 2$.
Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n$ : $0\leq u_n \leq 2$.
Montrons alors que : $0\leq u_{n+1} \leq 2$.

D'après l'hypothèse de récurrence :

$0$	$\leq$	$u_n$	$\leq$	$2$
$2$	$\leq$	$u_n+2$	$\leq$	$4$	En ajoutant $2$ à chacun des membres de l'encadrement
$\sqrt{2}$	$\leq$	$\sqrt{u_n+2}$	$\leq$	$\sqrt{4}$	En appliquant la fonction racine carrée qui est croissante sur $[0;+\infty[$
$\sqrt{2}$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$2$
$0$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$2$	Car un nombre plus grand que $\sqrt{2}$ est plus grand que $0$.

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$, $\,\,0\leq u_n \leq 2$.

On détermine tout d'abord le module de chacun de ces nombres à partir de leur forme algébrique.

$|z_1|$ $=$ $\sqrt{\left(-\dfrac{4}{7}\right)^2+\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{7} \right)^2}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{16}{49}+\dfrac{12}{49}}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{28}{49}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{28}}{7}$ $=$ $\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ $\simeq$ $0,756$.

$|z_2|$ $=$ $\sqrt{(-4)^2+0^2}$ $=$ $4$.

$|z_3|$ $=$ $\sqrt{\left( -\dfrac{8}{13} \right)^2+\left( \dfrac{144}{13} \right)^2}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{64}{169}+\dfrac{20\,736}{169}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{20\,800}}{13}$ $=$ $\dfrac{40\sqrt{13}}{13}$ $\simeq$ $11,094$.

Ainsi, c'est le nombre $z_3$ qui possède le plus grand module.

$z^2+z=-7$ $\Leftrightarrow$ $z^2+z+7=0$

Le discriminant de cette équation vaut : $\Delta = 1^2-4\times7$ $=$ $-27$.

Ainsi, elle possède deux solutions complexes conjuguées :

$z_1=\dfrac{-1-i\sqrt{27}}{2}$ $=$ $\dfrac{-1-3\sqrt{3}}{2}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$.

$z_2 = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$

$4z^2+2z-5=0$

Le discriminant de cette équation vaut : $\Delta =4+4\times4\times5$ $=$ $84$.

Ainsi, elle possède deux solutions réelles :

$z_1 = \dfrac{-2-\sqrt{84}}{8}$ $=$ $\dfrac{-2-2\sqrt{21}}{8}$ $=$ $\dfrac{-1-\sqrt{21}}{4}$

$z_2 = \dfrac{-1+\sqrt{21}}{4}$.

$(9-2i)z^2$	$=$	$(2+4i)z$
$(9-2i)z^2-(2+4i)z$	$=$	$0$
$z( (9-2i)z-(2+4i) )$	$=$	$0$

D'après la règle du produit nul :

$z=0$	ou	$(9-2i)z-(2+4i)$	$=$	$0$
		$(9-2i)z$	$=$	$2+4i$
		$z$	$=$	$\dfrac{2+4i}{9-2i}$
		$z$	$=$	$\dfrac{2+4i}{9-2i}\times\dfrac{9+2i}{9+2i}$
		$z$	$=$	$\dfrac{10+40i}{81+4}$
		$z$	$=$	$\dfrac{10}{85}+\dfrac{40}{85}i$
		$z$	$=$	$\dfrac{2}{17}+\dfrac{8}{17}i$

L'équation admet donc deux solutions : $0$ et $\dfrac{2}{17}+\dfrac{8}{17}i$.

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}n^2=+\infty$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}2+n^2=+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\dfrac{3}{2+n^2}=0$.

Ainsi : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}u_n=0$.

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}v_n$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\dfrac{4n^2+1}{2n^2+n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\dfrac{4n^2}{2n^2}$ $=$ $2$.

Pour tout entier $n$ :

$-1$	$\leq$	$\cos(n)$	$\leq$	$1$
$-\dfrac{1}{n+1}$	$\leq$	$\dfrac{\cos(n)}{n+1}$	$\leq$	$\dfrac{1}{n+1}$	car $n+1>0$
$-\dfrac{1}{n+1}$	$\leq$	$w_n$	$\leq$	$\dfrac{1}{n+1}$

Or, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}-\dfrac{1}{n+1}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\dfrac{1}{n+1}$ $=$ $0$.

Ainsi, d'après le théorème d'encadrement des limites : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}w_n$ $=$ $0$.