--> TS ∼ Évaluation limites / Probabilités Déterminer les limites demandées.

1. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}$
On a $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}x-1 = 0^{+}}$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}=+\infty$.
2. $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}$
On a $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}3-x}= 0^{+}$ donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}} = -\infty$, appliquant la règle des signes des limites.
3. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-1)^2}}$
On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}(x-1)^2=0^+}$ donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-1)^2}}=+\infty$.
4. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-3x^2}{(x-2)^2}}$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-3x^2}{(x-2)^2}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-3x^2}{x^2-4x+4}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-3x^2}{x^2}}$ $=$ $-3$. On s'intéresse à la clientèle d'un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que:

• 70 % des clients achètent leur billet sur internet;
• parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
• parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants :

• $A$ : "Le client choisit une visite avec un audioguide ";
• $B$ : "Le client achète son billet sur internet avant sa visite".

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$.
D'après la formule des probabilités totales :
$P(A)=P(B\cap A)+P(\overline{B}\cap A)$ $=$ $0,7\times0,35+0,3\times0,55$ $=$ $0,41$.
3. On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
   Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.
   D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse.
On s'intéresse ici à la probabilité qu'un client ait acheté son billet sur internet sachant qu'il effectue sa visite avec un audioguide.
$P_A(B)=\dfrac{P(B \cap A)}{P(A)}$ $=$ $\dfrac{0,7\times0,35}{0,41}$ $\simeq$ $0,598$.
Le directeur proposera donc la location d'audioguide sur le site internet du musée.
4. On observe un échantillon de 50 visiteurs. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de visiteurs ayant choisi une visite avec audioguide dans cet échantillon. On estime que le nombre de visteurs est suffisamment important pour que la situation s'apparente à un tirage avec remise.
   1. Quelle loi de probabilité suit la variable $X$ ?
   Le fait de regarder si un client effectue sa visite à l'aide d'un audioguide ou non est une épreuve de Bernoulli. On la répète 50 fois de manière indépendante (tirage avec remise). Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètre $50$ et $0,41$.
   2. Déterminer $E(X)$ l'espérance de $X$.
   $E(X) = 50\times0,41$ $=$ $20,5$.
   3. Déterminer $P(X\geq 25)$.
   $P(X\geq 25) = 1 - P(X < 25)$ $=$ $1-P(X \leq 24)$ $\simeq$ $0,125$.