--> TS ∼ Limites  Exercice 24 p 183 Déterminer les limites demandées.
  1. lim⁡x→>11x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}
    2. Correction
    Lorsque x→>1x\overset{>}{\rightarrow}1, on a x−1→0+x-1\rightarrow0^+.
    En effet, si xx se rapproche de 11 en étant plus grand que 11 alors x−1x-1 se rapproche de 00 en étant plus grand que 00, donc en étant positif.
    Ainsi : lim⁡x→>11x−1=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}=+\infty.
    ✕
  2. lim⁡x→<11x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}
    3. Correction
    Lorsque x→<1x\overset{<}{\rightarrow}1, on a x−1→0−x-1\rightarrow0^-.
    En effet, si xx se rapproche de 11 en étant plus petit que 11 alors x−1x-1 se rapproche de 00 en étant plus petit que 00, donc en étant négatif.
    Ainsi : lim⁡x→<11x−1=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}=-\infty.
    ✕
    Pour voir l'illustration graphique :
    Correction
    On peut voir ces deux limites sur le graphique ci-dessous.
    La branche gauche de la courbe descend très bas, et la branche droite monte très haut, toutes deux autour de la droite d'équation x=1x=1 (qui est d'ailleurs asymptote verticale à la courbe).
    12345−1−2−3−4−52468−2−4−6−8
    ✕
  3. lim⁡x→>3−23−x\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}
    4. Correction
    Lorsque x→>3x\overset{>}{\rightarrow}3, on a 3−x→0−3-x\rightarrow0^-.
    En effet, si xx se rapproche de 33 en étant plus grand que 33 alors 3−x3-x se rapproche de 00 en étant plus petit que 00, donc en étant négatif.
    Ainsi : lim⁡x→>313−x=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{1}{3-x}}=-\infty, et en appliquant la règle des signes des limites :

    lim⁡x→>3−23−x=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}=+\infty.
    ✕
  4. lim⁡x→<3−23−x\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}
    5. Correction
    Lorsque x→<3x\overset{<}{\rightarrow}3, on a 3−x→0+3-x\rightarrow0^+.
    En effet, si xx se rapproche de 33 en étant plus petit que 33 alors 3−x3-x se rapproche de 00 en étant plus grand que 00, donc en étant positif.
    Ainsi : lim⁡x→<313−x=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{1}{3-x}}=+\infty, et en appliquant la règle des signes des limites :

    lim⁡x→<3−23−x=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}=-\infty.
    ✕
    Pour voir l'illustration graphique :
    Correction
    On peut voir ces deux limites sur le graphique ci-dessous.
    La branche gauche de la courbe descend très bas, et la branche droite monte très haut, toutes deux autour de la droite d'équation x=3x=3 (qui est d'ailleurs asymptote verticale à la courbe).
    12345678−1−22468−2−4−6−8
    ✕
 Exercice 26 p 183 Déterminer les limites demandées.
  1. lim⁡x→01x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}}
    2. Correction
    Lorsque x→0x\rightarrow0, on a x2→0+x^2\rightarrow0^+ (un carré étant toujours positif), ainsi : lim⁡x→01x2=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}}=+\infty.
    12345−1−2−3−4−52468−2−4−6−8
    ✕
  2. lim⁡x→11(x−1)2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-1)^2}}
    3. Correction
    Lorsque x→1x\rightarrow1, on a x−1→0x-1\rightarrow0 et (x−1)2→0+(x-1)^2\rightarrow0^+ (un carré étant toujours positif), ainsi : lim⁡x→11(x−1)2=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-1)^2}}=+\infty.
    12345−1−2−3−4−52468−2−4−6−8
    ✕
  3. lim⁡x→2−3(x−2)2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{-3}{(x-2)^2}}
    4. Correction
    Lorsque x→2x\rightarrow2, on a x−2→0x-2\rightarrow0 et (x−2)2→0+(x-2)^2\rightarrow0^+ (un carré étant toujours positif), ainsi : lim⁡x→11(x−2)2=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-2)^2}}=+\infty et d'après la règle des signes des limites : lim⁡x→2−3(x−2)2=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{-3}{(x-2)^2}}=-\infty.
    1234567−1−2−324−2−4−6−8−10−12−14
    ✕
  4. lim⁡x→>010\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\sqrt{0}}}
    5. Correction
    Lorsque x→>0x\overset{>}{\rightarrow}0, on a x→0+\sqrt{x}\rightarrow0^+, ainsi : lim⁡x→>01x=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=+\infty.
    2468−22468−2−4
    ✕
 Exercice 27 p 183 Étudier la limite de la fonction ff en aa :
  1. f(x)=4(x−1)2f(x)=\dfrac{4}{(x-1)^2}\,\, en a=1a=1.
    2. Correction
    Lorsque x→1x\rightarrow1, on a (x−1)2→0+(x-1)^2 \rightarrow 0^+ (un carré étant toujours positif), ainsi lim⁡x→14(x−1)2=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{4}{(x-1)^2}=+\infty}.
    2468−22468−2−4
    ✕
  2. f(x)=2x−4f(x)=\dfrac{2}{x-4}\,\, en a=4a=4.
    3. Correction
    Lorsque x→4x\rightarrow4 on a x−4→0x-4\rightarrow0. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le 00 est positif ou négatif.
    ∙\bullet Lorsque x→>4x\overset{>}{\rightarrow}4 on a x−4→0+x-4\rightarrow0^+, donc lim⁡x→>22x−4=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}2}\dfrac{2}{x-4}=+\infty}.
    ∙\bullet Lorsque x→<4x\overset{<}{\rightarrow}4 on a x−4→0−x-4\rightarrow0^-, donc lim⁡x→<22x−4=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}2}\dfrac{2}{x-4}=-\infty}.
    2468−22468−2−4−6−8
    ✕
  3. f(x)=−36−2xf(x)=\dfrac{-3}{6-2x}\,\, en a=3a=3.
    4. Correction
    Lorsque x→3x\rightarrow3 on a 6−2x→06-2x\rightarrow0. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le 00 est positif ou négatif.
    ∙\bullet Lorsque x→>3x\overset{>}{\rightarrow}3 on a 6−2x→0−6-2x\rightarrow0^-, donc lim⁡x→>3−36−2x=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{-3}{6-2x}=+\infty} en appliquant la règle des signes.
    ∙\bullet Lorsque x→<3x\overset{<}{\rightarrow}3 on a 6−2x→0+6-2x\rightarrow0^+, donc lim⁡x→<3−36−2x=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-3}{6-2x}=-\infty} en appliquant la règle des signes.
    2468−22468−2−4−6−8
    ✕
 Exercice 30 p 184 Montrer que la courbe représentative de la fonction ff définie par f(x)=4x+32x+1f(x)=\dfrac{4x+3}{2x+1} pour x≠−12x\neq-\dfrac{1}{2} admet une asymptote verticale.
Correction
On observe tout d'abord le graphique :
2468−22468−2−4−6−8
On remarque qu'il devrait y avoir une asymptote verticale d'équation x=−12x=-\dfrac{1}{2}.
On cherche à déterminer pour cela lim⁡x→−12f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\frac{1}{2}}f(x)}.
Or, lorsque x→−12x\rightarrow-\dfrac{1}{2} on a 4x+3→14x+3\rightarrow1 et 2x+1→02x+1\rightarrow0. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le 00 est positif ou négatif.
∙\bullet Lorsque x→>−12x\overset{>}{\rightarrow}-\dfrac{1}{2} on a 2x+1→0+2x+1\rightarrow0^+, donc lim⁡x→>−124x+32x+1\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{4x+3}{2x+1}} == lim⁡x→>−1212x+1\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2x+1}} == +∞+\infty en appliquant la règle des signes.
∙\bullet Lorsque x→<−12x\overset{<}{\rightarrow}-\dfrac{1}{2} on a 2x+1→0−2x+1\rightarrow0^-, donc lim⁡x→<−124x+32x+1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{4x+3}{2x+1}} == lim⁡x→<−1212x+1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2x+1}} == −∞-\infty en appliquant la règle des signes.
Ainsi, la droite d'équation x=−12x=-\dfrac{1}{2} est bien asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.
✕
 Exercice 31 p 184 Montrer que la courbe représentative de la fonction ff définie par f(x)=2x−14x+3f(x)=\dfrac{2x-1}{4x+3} pour x≠−34x\neq-\dfrac{3}{4} admet deux asymptotes.
Correction
On observe tout d'abord le graphique :
24−2−4−62468−2−4−6−8
On remarque qu'il devrait y avoir une asymptote verticale d'équation x=−34x=-\dfrac{3}{4} et une asymptote horizontale.
On cherche à déterminer pour cela lim⁡x→−34f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{4}}f(x)} ainsi que lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)} et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}.
Lorsque x→−34x\rightarrow-\dfrac{3}{4} on a 2x−1→12x-1\rightarrow1 et 4x+3→04x+3\rightarrow0. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le 00 est positif ou négatif.
∙\bullet Lorsque x→>−34x\overset{>}{\rightarrow}-\dfrac{3}{4} on a 4x+3→0+4x+3\rightarrow0^+, donc lim⁡x→>−342x−14x+3\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{2x-1}{4x+3}} == lim⁡x→>−3414x+3\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{1}{4x+3}} == +∞+\infty en appliquant la règle des signes.
∙\bullet Lorsque x→<−34x\overset{<}{\rightarrow}-\dfrac{3}{4} on a 4x+3→0−4x+3\rightarrow0^-, donc lim⁡x→<−342x−14x+3\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{2x-1}{4x+3}} == lim⁡x→<−3414x+3\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{1}{4x+3}} == −∞-\infty en appliquant la règle des signes.
Ainsi, la droite d'équation x=−34x=-\dfrac{3}{4} est bien asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.

lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)} == lim⁡x→−∞2x−14x+3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x-1}{4x+3}} == lim⁡x→−∞2x4x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{4x}} == 24\dfrac{2}{4} == 12\dfrac{1}{2}.

lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)} == lim⁡x→+∞2x−14x+3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x-1}{4x+3}} == lim⁡x→+∞2x4x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x}{4x}} == 24\dfrac{2}{4} == 12\dfrac{1}{2}.

Ainsi la droite d'équation y=12y=\dfrac{1}{2} est asymptote horizontale à la courbe de la fonction ff en −∞-\infty et +∞+\infty.
✕