--> TS ∼ Limites 1Exercice 24 p 183 Déterminer les limites demandées.
  1. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}$
    2. Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}1$, on a $x-1\rightarrow0^+$.
    En effet, si $x$ se rapproche de $1$ en étant plus grand que $1$ alors $x-1$ se rapproche de $0$ en étant plus grand que $0$, donc en étant positif.
    Ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}=+\infty$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}$
    3. Lorsque $x\overset{<}{\rightarrow}1$, on a $x-1\rightarrow0^-$.
    En effet, si $x$ se rapproche de $1$ en étant plus petit que $1$ alors $x-1$ se rapproche de $0$ en étant plus petit que $0$, donc en étant négatif.
    Ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}1}\dfrac{1}{x-1}}=-\infty$.     Pour voir l'illustration graphique : On peut voir ces deux limites sur le graphique ci-dessous.
    La branche gauche de la courbe descend très bas, et la branche droite monte très haut, toutes deux autour de la droite d'équation $x=1$ (qui est d'ailleurs asymptote verticale à la courbe).
  3. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}$
    4. Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}3$, on a $3-x\rightarrow0^-$.
    En effet, si $x$ se rapproche de $3$ en étant plus grand que $3$ alors $3-x$ se rapproche de $0$ en étant plus petit que $0$, donc en étant négatif.
    Ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{1}{3-x}}=-\infty$, et en appliquant la règle des signes des limites :

    $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}=+\infty$.
  4. $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}$
    5. Lorsque $x\overset{<}{\rightarrow}3$, on a $3-x\rightarrow0^+$.
    En effet, si $x$ se rapproche de $3$ en étant plus petit que $3$ alors $3-x$ se rapproche de $0$ en étant plus grand que $0$, donc en étant positif.
    Ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{1}{3-x}}=+\infty$, et en appliquant la règle des signes des limites :

    $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-2}{3-x}}=-\infty$.     Pour voir l'illustration graphique : On peut voir ces deux limites sur le graphique ci-dessous.
    La branche gauche de la courbe descend très bas, et la branche droite monte très haut, toutes deux autour de la droite d'équation $x=3$ (qui est d'ailleurs asymptote verticale à la courbe).
1Exercice 26 p 183 Déterminer les limites demandées.
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}}$
    2. Lorsque $x\rightarrow0$, on a $x^2\rightarrow0^+$ (un carré étant toujours positif), ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}}=+\infty$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-1)^2}}$
    3. Lorsque $x\rightarrow1$, on a $x-1\rightarrow0$ et $(x-1)^2\rightarrow0^+$ (un carré étant toujours positif), ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-1)^2}}=+\infty$.
  3. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{-3}{(x-2)^2}}$
    4. Lorsque $x\rightarrow2$, on a $x-2\rightarrow0$ et $(x-2)^2\rightarrow0^+$ (un carré étant toujours positif), ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{(x-2)^2}}=+\infty$ et d'après la règle des signes des limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{-3}{(x-2)^2}}=-\infty$.
  4. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\sqrt{0}}}$
    5. Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}0$, on a $\sqrt{x}\rightarrow0^+$, ainsi : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=+\infty$.
1Exercice 27 p 183 Étudier la limite de la fonction $f$ en $a$ :
  1. $f(x)=\dfrac{4}{(x-1)^2}\,\,$ en $a=1$.
    2. Lorsque $x\rightarrow1$, on a $(x-1)^2 \rightarrow 0^+$ (un carré étant toujours positif), ainsi $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{4}{(x-1)^2}=+\infty}$.
  2. $f(x)=\dfrac{2}{x-4}\,\,$ en $a=4$.
    3. Lorsque $x\rightarrow4$ on a $x-4\rightarrow0$. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le $0$ est positif ou négatif.
    $\bullet$ Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}4$ on a $x-4\rightarrow0^+$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}2}\dfrac{2}{x-4}=+\infty}$.
    $\bullet$ Lorsque $x\overset{<}{\rightarrow}4$ on a $x-4\rightarrow0^-$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}2}\dfrac{2}{x-4}=-\infty}$.
  3. $f(x)=\dfrac{-3}{6-2x}\,\,$ en $a=3$.
    4. Lorsque $x\rightarrow3$ on a $6-2x\rightarrow0$. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le $0$ est positif ou négatif.
    $\bullet$ Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}3$ on a $6-2x\rightarrow0^-$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}3}\dfrac{-3}{6-2x}=+\infty}$ en appliquant la règle des signes.
    $\bullet$ Lorsque $x\overset{<}{\rightarrow}3$ on a $6-2x\rightarrow0^+$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}3}\dfrac{-3}{6-2x}=-\infty}$ en appliquant la règle des signes.
1Exercice 30 p 184 Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{4x+3}{2x+1}$ pour $x\neq-\dfrac{1}{2}$ admet une asymptote verticale. On observe tout d'abord le graphique :
On remarque qu'il devrait y avoir une asymptote verticale d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$.
On cherche à déterminer pour cela $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\frac{1}{2}}f(x)}$.
Or, lorsque $x\rightarrow-\dfrac{1}{2}$ on a $4x+3\rightarrow1$ et $2x+1\rightarrow0$. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le $0$ est positif ou négatif.
$\bullet$ Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}-\dfrac{1}{2}$ on a $2x+1\rightarrow0^+$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{4x+3}{2x+1}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2x+1}}$ $=$ $+\infty$ en appliquant la règle des signes.
$\bullet$ Lorsque $x\overset{<}{\rightarrow}-\dfrac{1}{2}$ on a $2x+1\rightarrow0^-$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{4x+3}{2x+1}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2x+1}}$ $=$ $-\infty$ en appliquant la règle des signes.
Ainsi, la droite d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$ est bien asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$. 1Exercice 31 p 184 Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x-1}{4x+3}$ pour $x\neq-\dfrac{3}{4}$ admet deux asymptotes. On observe tout d'abord le graphique :
On remarque qu'il devrait y avoir une asymptote verticale d'équation $x=-\dfrac{3}{4}$ et une asymptote horizontale.
On cherche à déterminer pour cela $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{4}}f(x)}$ ainsi que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$.
Lorsque $x\rightarrow-\dfrac{3}{4}$ on a $2x-1\rightarrow1$ et $4x+3\rightarrow0$. Mais ici on va devoir séparer en deux le calcul car on ne sait pas si le $0$ est positif ou négatif.
$\bullet$ Lorsque $x\overset{>}{\rightarrow}-\dfrac{3}{4}$ on a $4x+3\rightarrow0^+$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{2x-1}{4x+3}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{1}{4x+3}}$ $=$ $+\infty$ en appliquant la règle des signes.
$\bullet$ Lorsque $x\overset{<}{\rightarrow}-\dfrac{3}{4}$ on a $4x+3\rightarrow0^-$, donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{2x-1}{4x+3}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-\frac{3}{4}}\dfrac{1}{4x+3}}$ $=$ $-\infty$ en appliquant la règle des signes.
Ainsi, la droite d'équation $x=-\dfrac{3}{4}$ est bien asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x-1}{4x+3}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{4x}}$ $=$ $\dfrac{2}{4}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x-1}{4x+3}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x}{4x}}$ $=$ $\dfrac{2}{4}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

Ainsi la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$ est asymptote horizontale à la courbe de la fonction $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.