--> TS ∼ Nombres complexes Nom - Prénom : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ : $$z^2-8z+64=0.$$
Le discriminant de cette équation vaut : $\Delta=(-8)^2-4\times64$ $=$ $-192$ $=$-$8^2\times3$.
Ainsi l'équation $(E)$ possède deux solutions complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{8-8\text{i}\sqrt{3}}{2}$ $=$ $4-4\text{i}\sqrt{3}$,
$z_2 = 4+4\text{i}\sqrt{3}$. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left( O; \vec{u} ;\vec{v} \right)$.
2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=4+4\text{i}\sqrt{3}$, $b=4-4\text{i}\sqrt{3}$ et $c=8\text{i}$.
   1. Calculer le module et un argument du nombre $a$.
   $|a|=\sqrt{4^2+4^2\times 3}$ $=$ $\sqrt{4\times4^2}$ $=$ $8$.
   En notant $\alpha$ un argument de $a$ on a :
   $\cos(\alpha)=\dfrac{4}{8}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ et $\sin(\alpha)=\dfrac{4\sqrt{3}}{8}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   Ainsi : $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ $[2\pi]$.
   2. Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
   D'après la question précédente : $a=8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   De plus, $b$ est le conjugué de $a$, c'est-à-dire $b=\overline{a}$, donc : $b=8\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   3. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle de centre $O$ dont on déterminera le rayon.
   On a : $|a|=|b|=|c|=8$. Ainsi : $OA=OB=OC=8$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc sur le cercle de centre $O$ et de rayon $8$.
   4. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $\left( O; \vec{u} ;\vec{v} \right)$.
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question $\textbf{2.d}$ complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
3. On considère les points $A'$, $B'$ et $C'$ d'affixes respectives $a'=a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, $b'=b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $c'=c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Montrer que $b'=8$.
   $b'=b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ $=$ $8\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ $=$ $8\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)}$ $=$ $8\text{e}^{0}$ $=$ $8$.
   2. Calculer le module et un argument du nombre $a'$.
   $|a'|=|a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}|$ $=$ $|a|\times|\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}|$ $=$ $8\times1$ $=$ $8$.
   $\text{arg}(a')=\text{arg}\left(a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)$ $=$ $\text{arg}(a)+ \text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)$ $=$ $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}$ $=$ $\dfrac{2\pi}{3}$ $[2\pi]$.
   Pour la suite on admet que $a'=-4+4\text{i}\sqrt{3}$ et $c'=-4\sqrt{3}+4\text{i}$.
4. 1. On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs $R$, $S$ et $T$ des segments $[A'B]$, $[B'C]$ et $[C'A]$.
      Calculer $r$ et $s$. On admet que $t=2-2\sqrt{3}+\text{i}(2+2\sqrt{3})$.
   $r=\dfrac{a'+b}{2}$ $=$ $\dfrac{-4+4\text{i}\sqrt{3}+4-4\text{i}\sqrt{3}}{2}$ $=$ $0$.
   $s=\dfrac{b'+c}{2}$ $=$ $\dfrac{8+8\text{i}}{2}$ $=$ $4+4\text{i}$.
   2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle $RST$ ? Justifier ce résultat.
   On peut conjecturer que le triangle $RST$ est équilatéral.
   On a : $RS$ $=$ $OS$ $=$ $|s|$ $=$ $|4+4\text{i}|$ $=$ $\sqrt{4^2+4^2}$ $=$ $\sqrt{32}$ $=$ $4\sqrt{2}$.
   De plus : $RT$ $=$ $OT$ $=$ $|t|$ $=$ $\sqrt{(2-2\sqrt{3})^2+(2+2\sqrt{3})^2}$ $=$ $\sqrt{4-4\sqrt{3}+12+4+4\sqrt{3}+12}$ $=$ $\sqrt{32}$ $=$ $4\sqrt{2}$.
   Et : $ST=|t-s|$ $=$ $|2-2\sqrt{3}+\text{i}(2+2\sqrt{3})-4-4\text{i}|$ $=$ $|-2-2\sqrt{3}+\text{i}(-2+2\sqrt{3})|$ $=$ $\sqrt{(-2-2\sqrt{3})^2+(-2+2\sqrt{3})^2}$ $=$ $\sqrt{32}$ $=$ $4\sqrt{2}$.
   Le triangle $RST$ est équilatéral.