--> TS ∼ Nombres complexes Nom - Prénom : \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots
  1. Résoudre dans l'ensemble C\mathbb{C} des nombres complexes l'équation (E)(E) d'inconnue zz : z28z+64=0.z^2-8z+64=0.
  2. Correction
    Le discriminant de cette équation vaut : Δ=(8)24×64\Delta=(-8)^2-4\times64 == 192-192 ==-82×38^2\times3.
    Ainsi l'équation (E)(E) possède deux solutions complexes conjuguées :
    z1=88i32z_1=\dfrac{8-8\text{i}\sqrt{3}}{2} == 44i34-4\text{i}\sqrt{3},
    z2=4+4i3z_2 = 4+4\text{i}\sqrt{3}.
    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O;u;v)\left( O; \vec{u} ;\vec{v} \right).
  3. On considère les points AA, BB et CC d'affixes respectives a=4+4i3a=4+4\text{i}\sqrt{3}, b=44i3b=4-4\text{i}\sqrt{3} et c=8ic=8\text{i}.
    1. Calculer le module et un argument du nombre aa.
    2. Correction
      a=42+42×3|a|=\sqrt{4^2+4^2\times 3} == 4×42\sqrt{4\times4^2} == 88.
      En notant α\alpha un argument de aa on a :
      cos(α)=48\cos(\alpha)=\dfrac{4}{8} == 12\dfrac{1}{2} et sin(α)=438\sin(\alpha)=\dfrac{4\sqrt{3}}{8} == 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
      Ainsi : α=π3\alpha=\dfrac{\pi}{3} [2π][2\pi].
    3. Donner la forme exponentielle des nombres aa et bb.
    4. Correction
      D'après la question précédente : a=8eiπ3a=8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.
      De plus, bb est le conjugué de aa, c'est-à-dire b=ab=\overline{a}, donc : b=8eiπ3b=8\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}.
    5. Montrer que les points AA, BB et CC sont sur un même cercle de centre OO dont on déterminera le rayon.
    6. Correction
      On a : a=b=c=8|a|=|b|=|c|=8. Ainsi : OA=OB=OC=8OA=OB=OC=8. Les points AA, BB et CC sont donc sur le cercle de centre OO et de rayon 88.
    7. Placer les points AA, BB et CC dans le repère (O;u;v)\left( O; \vec{u} ;\vec{v} \right).
  4. Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d\textbf{2.d} complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
  5. On considère les points AA', BB' et CC' d'affixes respectives a=aeiπ3a'=a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b=beiπ3b'=b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} et c=ceiπ3c'=c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.
    1. Montrer que b=8b'=8.
    2. Correction
      b=beiπ3b'=b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} == 8eiπ3eiπ38\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} == 8ei(π3+π3)8\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)} == 8e08\text{e}^{0} == 88.
    3. Calculer le module et un argument du nombre aa'.
    4. Correction
      a=aeiπ3|a'|=|a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}| == a×eiπ3|a|\times|\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}| == 8×18\times1 == 88.
      arg(a)=arg(aeiπ3)\text{arg}(a')=\text{arg}\left(a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) == arg(a)+arg(eiπ3)\text{arg}(a)+ \text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) == π3+π3\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3} == 2π3\dfrac{2\pi}{3} [2π][2\pi].
    Pour la suite on admet que a=4+4i3a'=-4+4\text{i}\sqrt{3} et c=43+4ic'=-4\sqrt{3}+4\text{i}.
    1. On note rr, ss et tt les affixes des milieux respectifs RR, SS et TT des segments [AB][A'B], [BC][B'C] et [CA][C'A].
      Calculer rr et ss. On admet que t=223+i(2+23)t=2-2\sqrt{3}+\text{i}(2+2\sqrt{3}).
    2. Correction
      r=a+b2r=\dfrac{a'+b}{2} == 4+4i3+44i32\dfrac{-4+4\text{i}\sqrt{3}+4-4\text{i}\sqrt{3}}{2} == 00.
      s=b+c2s=\dfrac{b'+c}{2} == 8+8i2\dfrac{8+8\text{i}}{2} == 4+4i4+4\text{i}.
    3. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RSTRST ? Justifier ce résultat.
    4. Correction
      On peut conjecturer que le triangle RSTRST est équilatéral.
      On a : RSRS == OSOS == s|s| == 4+4i|4+4\text{i}| == 42+42\sqrt{4^2+4^2} == 32\sqrt{32} == 424\sqrt{2}.
      De plus : RTRT == OTOT == t|t| == (223)2+(2+23)2\sqrt{(2-2\sqrt{3})^2+(2+2\sqrt{3})^2} == 443+12+4+43+12\sqrt{4-4\sqrt{3}+12+4+4\sqrt{3}+12} == 32\sqrt{32} == 424\sqrt{2}.
      Et : ST=tsST=|t-s| == 223+i(2+23)44i|2-2\sqrt{3}+\text{i}(2+2\sqrt{3})-4-4\text{i}| == 223+i(2+23)|-2-2\sqrt{3}+\text{i}(-2+2\sqrt{3})| == (223)2+(2+23)2\sqrt{(-2-2\sqrt{3})^2+(-2+2\sqrt{3})^2} == 32\sqrt{32} == 424\sqrt{2}.
      Le triangle RSTRST est équilatéral.