TSTMG ∼ Fonction inverse Rappels
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel $x$ non nul, associe le réel $\dfrac{1}{x}$. L'ensemble de définition de la fonction inverse est $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$, que l'on note également $\mathbb{R}^*$.
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est composée de deux branches.
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
Pour tout $x\neq0$, notons $f(x)=\dfrac{1}{x}$ :
$f(-x)$ $=$ $\dfrac{1}{-x}$ $=$ $-\dfrac{1}{x}$ $=$ $-f(x)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et est décroissante sur $]0;+\infty[$. Son tableau de variation est donc :
$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$ interdit $\dfrac{1}{x}$ décroissante interdit décroissante interdit

Soit $a>0$. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :
• Pour $x > 0$, si $x\leq 3$ alors $\dfrac{1}{x}$ $\geq$ $3$.

• Pour $x > 0$, si $\dfrac{1}{x+2} < 5$ 3 alors 3 $x+2$ $>$ $\dfrac{1}{5}$ 3 c'est-à-dire 3 $x+2$ $>$ $0,2$ 3 et 3 $x>-1,8$.

• $\dfrac{2}{x^2+1} > 10 $ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{x^2+1}{2} <10$ $\Longleftrightarrow$ $x^2+1 < 20$ $\Longleftrightarrow$ $x^2 < 19$ $\Longleftrightarrow$ $x$ $\in$ $]-\sqrt{19}\,;\sqrt{19}[$.
Limites aux bornes de l'ensemble de définition
$x$
$\dfrac{1}{x}$
Saisir une valeur pour $x$ et valdier pour visualiser son inverse $\dfrac{1}{x}$
-- Limites de la fonction inverse en l'infini
• Soit $x$ un nombre réel positif. On peut rendre $\dfrac{1}{x}$ aussi proche que l'on veut de $0$ si l'on choisit $x$ suffisamment grand.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $0$.

• Soit $x$ un nombre réel négatif. On peut rendre $\dfrac{1}{x}$ aussi proche que l'on veut de $0$ si l'on choisit $x$ suffisamment petit.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $0$.


Pour tout nombre réel $a$, on a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{a}{x}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{a}{x}}$ $=$ $0$. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8\,000}{x}}$ $=$ $0$.
-- Limites de la fonction inverse en $0$
• Soit $x$ un nombre réel positif. On peut rendre $\dfrac{1}{x}$ aussi grand que l'on veut si l'on choisit $x$ suffisamment proche de $0$.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $+\infty$.

• Soit $x$ un nombre réel négatif. On peut rendre $\dfrac{1}{x}$ aussi petit que l'on veut si l'on choisit $x$ suffisamment proche de $0$.
On note alors : $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $-\infty$.
Pour tout nombre réel $a>0$, on a : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\dfrac{a}{x}}$ $=$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\dfrac{a}{x}}$ $=$ $-\infty$.

Pour tout nombre réel $a<0$, on a : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\dfrac{a}{x}}$ $=$ $-\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\dfrac{a}{x}}$ $=$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\dfrac{-4}{3x}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\dfrac{-\frac{4}{3}}{x}}$ $=$ $-\infty$.
-- Asymptote
• En $-\infty$ et $+\infty$, l'hyperbole représentant la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses.
On dit que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à l'hyperbole en $-\infty$ et $+\infty$.

• Lorsque $x$ se rapproche de $0$, l'hyperbole représentant la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées.
On dit que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à l'hyperbole.
Dérivée de la fonction inverse
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ et on a :
$f'(x)$ $=$ $-\dfrac{1}{x^2}$. Pour tout $x\neq0$, $x^2 > 0$, donc $\dfrac{1}{x^2}>0$ et $\left( \dfrac{1}{x} \right)'$ $=$ $-\dfrac{1}{x^2}$ $<$ $0$.
Ainsi, la fonction inverse est bien strictement décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.

Tableau de variations complet de la fonction inverse
$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$ $\left( \dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}$ $-$ interdit $-$ $0$ interdit $+\infty$ $\dfrac{1}{x}$ décroissante interdit décroissante $-\infty$ interdit $0$

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{a}{bx}$.
On a : $f'(x)$ $=$ $-\dfrac{a}{bx^2}$. Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=-5x^3+3x^2-x+7+\dfrac{2}{3x}$. Pour tout $x > 0$ : $f'(x)$ $=$ $-15x^2$ $+$ $6x$ $-$ $1$ $-\dfrac{2}{3x^2}$.