TSTMG ∼ Séries statistiques à deux variables Le thermostat intérieur d’une maison, chauffée au gaz, a été programmé pour obtenir une température constante. La consommation journalière $C$ en gaz (en kWh), en fonction de l’écart de température $t$ (en °C) entre cette température et la température extérieure, est donnée dans le tableau suivant :
Écart de température $t$ (°C) $15$ $16,5$ $17$ $18$ $19$ $19,5$ $20$ $20,5$ $21$ $22$
Consommation de gaz $C$ (kWh) $250$ $255$ $268$ $285$ $292$ $304$ $311$ $319$ $320$ $338$
  1. Construire dans un repère le nuage de points associé à cette série statistique.
  2. Donner les coordonnées du point moyen $G$ de cette série.
  3. Peut-on envisager un ajustement affine ?
  4. Déterminer une équation de la droite d’ajustement $d$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
    Les coefficients seront arrondis au millième.
  5. Pour la suite, on prendra, comme droite d’ajustement, la droite d’équation : $$C=13,29t+43,75.$$
    1. Tracer cette droite dans le repère.
    2. Le point moyen $G$ appartient-il à $d$ ?
    3. Donner, à l’aide de cet ajustement, une estimation, à $10^{-2}$ près, de la consommation de gaz pour un écart de température avec l’extérieur de $14$ °C.
    4. Grâce à ce modèle, estimer, à $10^{-2}$ près, l’écart de température avec l’extérieur pour une consommation journalière de $356$ kWh.
L'évolution du prix des médicaments en France, en prenant pour indice la base $100$ en 2013, est donnée ci-dessous :
Année 2013 2014 2015 2016 2017
Rang de l'année $n$ $0$
Indice $i$ $100$ $96,3$ $92,4$ $89,3$ $86,9$
  1. Représenter dans le repère ci-dessous le nuage de points associés à la série statistique $(n\,;i)$.
  2. À l'aide d'une calculatrice donner un ajustement affine de cette série par la méthode des moindres carrées.
    Les coefficients seront arrondis au millième.
  3. Selon cet ajustement, quel est l'indice de prix en 2012 et en 2019 ?
  4. Quelle est alors l'évolution des prix, exprimée en pourcentage, entre ces deux indices ?
On a relevé aux États-Unis d'Amérique, entre 2007 et 2010, le nombre d'Iphones vendus ainsi que le nombre de décés par chute dans les escaliers.
Année 2007 2008 2009 2010
$X$ : nombre de ventes d'Iphone (en millions) $1$ $10$ $21$ $39$
$Y$ : nombre de décès par chute dans les escaliers $1920$ $1940$ $1965$ $1995$
  1. Construire le nuage de points associé à la série $(X\,;Y)$.
  2. Un ajustement affine est-il envisageable ? Si oui déterminer l'équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés.
  3. À partir de cette situation que peut-on dire du lien entre corrélations et causalité ?
On a relevé, sur route sèche, les distances de freinage $d_F$ (en m) d'un véhicule en fonction de sa vitesse $v$ (en km/h) :
$v$ $30$ $50$ $70$ $110$ $130$ $120$
$d_F$ $5$ $13$ $25$ $60$ $72$ $93$
  1. Représenter le nuage statistique et expliquer pourquoi un ajustement affine n’est pas envisageable ici.
  2. Comme la forme du nuage de points semble être parabolique, on étudie plutôt le nuage de points associé à $V = v^2$.
    Compléter le tableau ci-dessous :
    $V$ $900$
    $d_F$ $5$ $13$ $25$ $60$ $72$ $93$
  3. Représenter le nuage de points associé à la série $(V\, ; d_F )$.
    Peut-on envisager un ajustement affine ?
  4. Donner à $10^{-4}$ près, une équation de la droite d’ajustement de $d_F$ en $V$ par la méthode des moindres carrées, puis une relation entre $d_F$ et $v$.
  5. En déduire une estimation de la distance de freinage, au mètre près, d’un véhicule roulant à $150$ km/h.
Le tableau suivant représente les quantités demandée $Y$ d'une matière première (exprimée en centaines de tonnes) en fonction du prix au kg $X$ (exprimé en euros).
$X$ : prix au kg en euros $10$ $11,5$ $12$ $13$ $13,7$ $15$ $16,5$ $18,8$ $20$
$Y$ : demande en centaines de tonnes $4,7$ $4,1$ $4$ $3,7$ $3,5$ $3,2$ $2,9$ $2,6$ $2,4$
    1. Construire le graphique associé à la série $(x_i\,;y_i)$ avec 1 cm pour 1 euro en abscisses et 2 cm pour 100 tonnes en ordonnées.
    2. Donner l’équation de la droite $d$ de régression de $y$ en $x$ à $0,01$ près grâce à la calculatrice.
      Tracer $d$ dans le repère.
    3. Déterminer la quantité demandée de matière première pour un prix de $24,5$ euros.
    2. On procède au changement de variable : $z$ $= $ $\dfrac{100}{y}$
    1. Dresser le tableau de série $(x_i \,;z_i)$ en arrondissant au dixième.
    2. Déterminer la droite de régression de $z$ en fonction de $x$ à l’unité près.
    3. En déduire la formule de la fonction $f$ qui au prix $x$ associe la quantité demandée $y=f(x)$.
      Montrer alors que $f(24,5) = 23$.
    4. Pour un prix de $24,5$ euros, on sait que la demande est de $210$ tonnes.Quel ajustement est le plus judicieux ? Justifier.