TSTMG ∼ Fonction inverse Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.
  1. $f(x)=2x-4$.
  2. $f_1(x)=6-3x$.
  3. $g(x)=\dfrac{3}{x}$.
  4. $g_1(x)=-\dfrac{5}{x}$.
  5. $h(t)=t^2-16+\dfrac{1}{t}$.
  6. $h_1(t)=3t^2-1-\dfrac{4}{t}$.
  7. $i(x)=2x^3-2x^2+5-\dfrac{2}{x}$.
  8. $i_1(x)=-5x^3-7x^2+51+\dfrac{20}{x}$.
  9. $j(t)=\dfrac{1}{3}t^3-\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{4}{5t}+1\,993$.
  10. $j_1(t)=\dfrac{1}{6}t^3+\dfrac{1}{2}t^2-\dfrac{8}{7t}+13$.
  11. $k(x)=(2x-5)x^2+\dfrac{3}{4x}$.
  12. $k_2(x)=(2x-5)^2-\dfrac{31}{4x}$.
  13. $m(x)=\dfrac{5}{2x}+(3x-7)(4x^2+1)-5x^3$.
  14. $m_1(x)=-\dfrac{3}{8x}+(3-7x)(4x+1)-\dfrac{1}{3}x^3$.
Soit $f$, $g$, $h$ et $i$ quatre fonctions telles que : Les quatre courbes ci-dessous représentent chacune le graphe d'une de ces fonctions. Déterminer quel graphique correspond à quelle fonction.
Graphique n°1
Graphique n°2
Graphique n°3
Graphique n°4 Résoudre les équations et inéquations suivantes.
  1. $\dfrac{2}{x}+3=\dfrac{5}{x}+14$
  2. $\dfrac{3}{x+1}=0$
  3. $\dfrac{2x+1}{x-3}=0$
  4. $\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{x+3}{9}$
  5. $\dfrac{1-4x}{x+7} > 0$
  6. $\dfrac{1}{8x+6} \leq \dfrac{1}{4x-5}$
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;50]$ par $f(x)=-x^2+10x+7$.
  1. Donner l'expression de $f'(x)$.
  2. Résoudre l'équation $f'(x)=0$.
  3. Compléter le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;50]$ donné ci-dessous :
    4. $x$ $0$ $50$ $f'(x)$ $f(x)$
  4. Donner alors la valeur maximale de $f$ sur $[0\,;50]$.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)$ $=$ $0,1x^2-0,2x-1,5$.
  1. Montrer que $f(x)=0,1(x-5)(x+3)$.
  2. Calculer $f'(x)$.
  3. En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Soit $g$ la fonction définie sur $[1\,;20]$ par $g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-6x^2+20x+5$.
  1. Déterminer pour tout $x\in[1\,;20]$ l'expression de $g'(x)$.
  2. Justifier que $g'(x)=(x-2)(x-10)$.
  3. En déduire le tableau de variations de $g$ sur $[1\,;20]$.
Soit $h$ la fonction définie sur $[1\,;10]$ par $h(t)=4t+\dfrac{9}{t}$.
  1. Déterminer pour tout $t\in[1\,;10]$ l'expression de $h'(t)$.
  2. Justifier que $h'(t)=\dfrac{(2t-3)(2t+3)}{t^2}$.
  3. En déduire le tableau de variations de $h$ sur $[1\,;10]$.
Une entreprise qui fabrique des microcontrôleurs estime que pour une production de $x$ milliers de pièces son bénéfice est de $b(x)=0,2x-\dfrac{50}{x}+2$ centaines de dollars. On estime que l'ensemble des usines de l'entreprise permet une production comprise entre $1\,000$ et $20\,000$ pièces.
  1. Déterminer l'intervalle $I$ auquel appartient $x$.
  2. La fonction $b$ est-elle croissante sur $I$ ?
  3. Combien de solution(s) semble posséder l'équation $b(x)=0$ sur $I$ ?
  4. Que représente pour la fonction $b$ le résultat afficher par l'algorithme suivant ? def b(x): return 0.2*x-50/x+2 x0 = 1 while b(x0) < 0: x0 = x0+0.001 print(x0)
La consommation d’essence $C$ d’une voiture, aux $100$ km, s’exprime en fonction de sa vitesse $v$ par : $C(v)=0,05v+\dfrac{80}{v}$, où $C$ est en litres et $v$ en km/h.
On suppose que la vitesse $v$ de la voiture est comprise entre $20$ km/h et $130$ km/h.
  1. Calculer la dérivée $C'(v)$.
  2. Résoudre l’inéquation $C'(v) > 0$.
  3. En déduire le tableau de variations de la fonction $C$.
  4. Pour quelle vitesse $v$ la consommation est-elle minimale ? Quelle est alors cette consommation minimale ?
Partie A
Chaque semaine, une entreprise de détergent liquide estime que le coût de production (en euros) peut être modélisé par une fonction $C$ donnée par $C(x)=x^2+60x+121$ où $x$ est le volume de détergent produit (en m3), avec $x\in[1\,;30]$.
Soit $f$ la fonction représentant le coût moyen de production par m3 de détergent produit.
  1. Montrer que pour tout $x\in[1\,;30]$, $f(x)=x+60+\dfrac{121}{x}$.
    1. Calculer $f'(x)$.
    2. Montrer que pour tout $x\in[1\,;30]$ : $f'(x)=\dfrac{(x-11)(x+11)}{x^2}$.
  3. Le dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1\,;30]$.
  4. Quel est le coût moyen de production minimal ? Pour quelle quantité de détergent est-il obtenu ?
Partie B
Le détergent est vendu à $110$ €/m3 et on suppose que toute la production est vendue. Le bénéfice est donné par la fonction $B$.
  1. Montrer que pour tout $x\in[1\,;30]$ : $\, B(x)=-x^2+50x-121$.
  2. Étudier les variations de $B$ sur $[1\,;30]$.
  3. Quel est le bénéfice maximal ? Pour quelle quantité de détergent est-il obtenu ?
Une chaîne de production fabrique des pièces de sécurité pour le transport maritime. Le coût total de production, en euros, de $x$ boîtes fabriquées est donné par la fonction $C_T(x)=x^3-90x^2+2\,700x+8\,836$.
  1. Déterminer les coûts fixes.
  2. Quel est le coût total pour une production de $10$ pièces ?
  3. On appelle coût marginal la variation du coût de production pour une unité supplémentaire produite. On le note $C_m(x)$.
    1. Justifier que $C_m(x)=C_T(x+1)-C_T(x)$.
    2. On admet que $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$.
      Donner alors l'expression de $C_m(x)$ en fonction de $x$.
    3. Les économistes estiment que $C_m(x) \approx C'_T(x)$. Cette approximation est-elle justifiée ici ?
  4. On estime dans cette question que $C_m(x) = C'_T(x)$.
    Le coût moyen, que l'on note $C_M(x)$ est le coût de production d'une pièce.
    1. Justifier que pour $x>0$, $C_M(x)=x^2-90x+2\,700+\dfrac{8\,336}{x}$.
    2. Déterminer, pour tout $x>0$, l'expression de $C'_M(x)$.
    3. Montrer que, pour tout $x>0$, $C'_M(x)=\dfrac{2x^3-90x-8\,336}{x^2}$.
    4. Développer $(x-47)(2x^2+4x+188)$.
    5. En déduire que $C'_M(x)=\dfrac{(x-47)(2x^2+4x+188)}{x^2}$.
    6. Déterminer les variations de $C_M(x)$ sur $]0\,;+\infty[$.
    7. Dans le repère ci-dessous on a tracé les courbes de $C_M$ et $C_m$. Identifier chacune d'elle puis expliquer ce que représente en terme de coût l'intersection de ces deux courbes.