TSTMG ∼ Suites Activité préparatoire Un couple de parents, dont les enfants ont respectivement $6$ et $9$ ans, vient de gagner une grosse somme d'argent. Il décide de leur donner à leurs $18$ ans la somme de $20\,000$ €.

Première méthode
Les parents décident de mettre des versements constants chaque année dans un coffre fort de leur maison. Combien doivent-ils donner à chaque anniversaire à chacun de leurs enfants pour atteindre le montant voulu ?

Deuxième méthode
Les parents effectuent un versement identique chaque année sur un compte en banque au taux de $1,5$ % (intérêts composés). Combien doivent-ils donner chaque année à chacun de leurs enfants pour atteindre le montant voulu ?

Troisième méthode
Les parents effectuent un seul versement, pour chaque enfant, sur un compte en banque au taux de $1,5$ % (intérêts composés). Quel doit-être le montant du placement pour atteindre $20\,000$ € ?

Conclusion : Quelle est la meilleure méthode pour les parents ? Exercices du chapitre Compléter le tableau suivant pour déterminer les premiers termes des suites arithmétiques $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$u_n$ $5$ $8$
$v_n$ $35$ $27$
$w_n$ $17$ $31$
Compléter le tableau suivant pour déterminer les premiers termes des suites géométriques $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ dont les raisons sont positives.
Les résultats seront, si nécessaires, arrondis à $10^{-1}$
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$u_n$ $100$ $90$
$v_n$ $8$ $32$
$w_n$ $3$ $9$
  1. Soit $(a_n)$ une suite arithmétique telle que $a_{10}=125$ et $a_{50}=605$. Déterminer la valeur de la raison $r$ de cette suite, puis calculer $a_{100}$.
  2. Soit ($b_n)$ une suite géométrique de raison positive telle que $b_0=5$ et $b_2=0,312\,5$. Déterminer $b_{5}$.
  1. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_{27}=14$ et $a_{38}=11$. Déterminer la valeur de la raison $r$ de cette suite, puis calculer $u_{50}$.
  2. Soit ($v_n)$ une suite géométrique de raison positive telle que $v_1=10$ et $v_2=8$. Déterminer $v_{10}$.
Soit $(c_n)$ la suite arithmétique de premier terme $c_0=500$ et de raison $10$.
  1. Donner la valeur de $c_1$, $c_2$ et $c_{20}$.
  2. Donner, pour tout entier $n$, l'expression de $c_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer le premier entier $n$ tel que $c_n > 1\,000$.
  4. Que permet de faire l'algorithme ci-dessous : def seuil(a): n = 0 c = 500 while c <= a: c = c+10 n = n+1 return n print(seuil(10000))
  5. Quelle modification faut-il apporter à l'algorithme précédent pour qu'il permette de répondre à la question 3 ?
  6. Soit $s_{50} = c_0+c_1+c_2+\dots+c_{50}$.
    1. Donner l'écriture de $s_{50}$ à l'aide du symbole $\displaystyle{\sum}$.
    2. Déterminer la valeur de $s_{50}$.
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=500$ et de raison $1,1$.
  1. Donner la valeur de $u_1$, $u_2$ et $u_{3}$.
  2. Donner, pour tout entier $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer le premier entier $n$ tel que $u_n > 1\,000$.
  4. Que permet de faire l'algorithme ci-dessous : def seuil(a): n = 0 u = 500 while u <= a: u = u*1.1 n = n+1 return n print(seuil(10000))
  5. Quelle modification faut-il apporter à l'algorithme précédent pour qu'il permette de répondre à la question 3 ?
  6. Soit $s_{31} = u_0+u_1+u_2+\dots+u_{31}$.
    1. Donner l'écriture de $s_{31}$ à l'aide du symbole $\displaystyle{\sum}$.
    2. Déterminer la valeur de $s_{31}$.
Cet exercice est un QCM. Chacune des questions possède exactement une proposition exacte qu'il faut déterminer.
  1. Soit $(z_n)$ la suite géométrique de premier terme $z_0=1$ et de raison $2$.
    □ $z_6 = 64$.

    □ $z_{n+1} = 2^{n}$.

    □ $z_{10} = 20$.
  2. La suite $(a_n)$ telle que $a_{10} = 100$, $a_{11} = 120$ et $a_{12} = 150$ est :
    □ arithmétique.

    □ géométrique.

    □ ni arithmétique, ni géométrique.
  3. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=n^2-1$.
    □ $u_{8} = 65$.

    □ $u_{11} = 120$.

    □ $u_{n+1} = n^2$.
  4. Soit $s = 1+2+3+\dots+200$.
    □ $s=200\times200$.

    □ $s=\dfrac{199\times200}{2}$.

    □ $s=\dfrac{200\times201}{2}$.
  5. L'algorithme ci-dessous permet de calculer la valeur d'un des termes d'une suite $(u_n)$. u = 50 for i in range(0,30): u = u*0.95 Après exécution, la valeur de u représente :
    □ $u_{30} = 50+0,95\times30$.

    □ $u_{30} = 50\times0,95^{30}$.

    □ $u_{31} = 50\times0,95^{30}$.
Une personne emprunte $50\,000$ € à un taux annuel de $2$ %. Elle compte rembourser ce prêt en $10$ ans.
Chaque annuité (ce que la personne rembourse chaque année) est calculée selon la formule : $a=\dfrac{E\times t}{1-(1+t)^{-n}}$, où
$E$ est le montant emprunté, $t$ est le taux annuel du prêt et $n$ le nombre d'annuités.
  1. Quel est le montant de l'annuité ? À quel versement mensuel correspondra-t-elle ?
  2. Pour l'année numéro $n$, on note $D_n$ la dette, $I_n$ les intérêts et $A_n = a - I_n$ l'amortissement.
    Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
    $n$ $D_n$ $A_n$ $I_n$ $a$
    $1$ $50\,000$ $4\,566,33$ $1\,000$ $5\,566,33$
    $2$ $45\,433,67$
    $3$
    $4$
    $5$
    $6$
    $7$
    $8$
    $9$
    $10$
  3. Quel est le total des intérêts versés ?
  4. Vérifier à l'aide des valeurs du tableau que la suite des amortissements $(A_n)$ est géométrique. On donnera sa raison.
Un bassin contient $400$ litres d'eau. Tous les jours il perd $10$ % de son volume. On ajoute chaque matin 50 litres d'eau pour compenser la perte.
On note $u_n$ le volume d'eau que contient ce bassin le jour numéro $n$. On a donc $u_0 = 400$.
  1. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
  2. Justifier que pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,9u_n+50$.
  3. Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine le volume du bassin après $n$ journées. def volume(n): u = 400 for i in range(0,n): u = return u
  4. En utilisant cet algorithme conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
    Déterminer ensuite le premier jour où le volume du bassin dépassera $495$ litres.
  5. On considère dans cette question la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n=u_n-500$.
    1. Calculer $v_0$.
    2. Montrer que pour tout entier $n$, $u_n=v_n+500$.
    3. Montrer que pour tout entier $n$, $v_{n+1}=0,9u_n-450$.
    4. En déduire que $v_{n+1}=0,9v_n$. Que peut-on en conclure pour la suite $(v_n)$ ?
    5. Donner alors l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    6. Montrer que pour tout entier $n$, $u_n=500-100\times(0,9)^n$.
    7. Le volume du bassin pourra-t-il dépasser $500$ litres ?
Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite $(a_n)$ où $a_n$ désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année $(2010 + n)$. En $2010$, la forêt possède $50\,000$ arbres.
Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année $5$ % des arbres existants et de replanter $3\,000$ arbres.
  1. Donner la valeur de $a_0$ et $a_1$.
  2. Justifier que pour tout entier $n$, $a_{n+1}=0,95a_n+3$.
  3. En s'inspirant de l'exercice précédent écrire un algorithme permettant de déterminer le nombre d'arbres que possède la forêt au cours de l'année de rang $n$.
  4. En utilisant cet algorithme conjecturer le sens de variation de la suite $(a_n)$.
    Déterminer ensuite la première année où le nombre d'arbres dépassera $55\,000$ unités.
  5. On considère dans cette question la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $b_n=60-a_n$.
    1. Calculer $b_0$.
    2. Montrer que pour tout entier $n$, $a_n=60-b_n$.
    3. Montrer que pour tout entier $n$, $b_{n+1} = 57-0,95a_n$.
    4. En déduire que $b_{n+1}=0,95b_n$. Que peut-on en conclure pour la suite $(b_n)$ ?
    5. Donner alors l'expression de $b_n$ en fonction de $n$.
    6. Montrer que pour tout entier $n$, $a_n=60-10\times(0,95)^n$.
    7. Le nombre d'arbres de cette forêt pourra-t-il dépasser $60\,000$ ?