TSTMG ∼ Suites 1Suites arithmétiques Definition 1
Une suite

(u_n)

est dite

arithmétique

si chaque terme s'obtient en

ajoutant

au précédent un même nombre appelé

raison

(noté généralement

r

), c'est-à-dire si :

u_{n+1}

=

u_n+r

Exemple 1 Pour la suite arithmétique

(u_n)

de premier terme

u_0=12

et de raison

5

, on a :

u_1

=

17

u_2

=

22

u_3

=

27

u_4

=

32

\dots

Property 1
Si

(u_n)

est une suite arithmétique de 1^er terme

u_0

(resp.

u_1

) et de raison

r

alors, pour tout entier

n

u_n

=

u_0+nr

respectivement

u_n=u_1+(n-1)r

Exemple 2 Pour la suite

(u_n)

de premier terme

u_0=12

et de raison

5

, on a, pour tout entier

n

u_n

=

12+5n

Ainsi, par exemple,

u_7

=

12+5\times7

=

47

Property 2
Soient

u_{p-1}

u_p

u_{p+1}

trois termes

consécutifs

d'une suite arithmétique

(u_n)

. On a :

\dfrac{u_{p-1}+u_{p+1}}{2}

=

u_p

Exercice 1 Soit

(v_n)

une suite tele que

v_{10}

=

18

v_{11}=156

v_{12}=298

. La suite

(v_n)

est-elle arithmétique ?

Correction

\dfrac{v_{10}+v_{12}}{2}

=

\dfrac{18+298}{2}

=

\dfrac{316}{2}

=

158

\neq

v_{11}

La suite

(v_n)

n'est pas arithmétique.

Remark 1 La moyenne

arithmétique

de deux nombres réels

a

b

est le nombre

\dfrac{a+b}{2}

Ainsi, si on considère trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, le terme du milieu est

la moyenne arithmétique

des deux termes qui l'encadrent. Property 3
La

somme

S

de termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par :

S

=

\text{nombre de termes}\times\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}

Remark 2 À l'aide de cette formule on a :

1+2+3+\cdots+n

=

n\times\dfrac{1+n}{2}

=

\dfrac{n(n+1)}{2}

En effet, on additionne les

n

premiers termes de la suites arithmétiques de premier terme

1

et de raison

1

Exercice 2 Soit

(u_n)

la suite arithmétique représentant les entiers impairs positifs.

Déterminer le premier terme et la raison de cette suite.
Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la valeur de la somme $1+3+5+\cdots+99$ .

Correction

On a : $u_0$ $=$
$1$
et la raison vaut
$2$ .
Pour tout entier $n$ ,
$u_n$

$=$

$1+2n$ .

$1+3+5+\cdots+99$	$=$	$u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{49}$
	$=$	$50\times\dfrac{u_0+u_{49}}{2}$
	$=$	$50\times\dfrac{1+99}{2}$
	$=$	$2\,500$ .

2 1

2Suites géométriques Definition 2
Une suite

(u_n)

est dite

géométrique

si chaque terme s'obtient en

multipliant

le précédent par un même nombre appelé

raison

(noté généralement

q

), c'est-à-dire si :

u_{n+1}

=

q\times u_n

Exemple 3 Pour la suite géométrique

(u_n)

de premier terme

u_0=3

et de raison

2

, on a :

u_1

=

6

u_2

=

12

u_3

=

24

u_4

=

48

\dots

Property 4
Si

(u_n)

est une suite géométrique de 1^er terme

u_0

(resp.

u_1

) et de raison

q

alors, pour tout entier

n

u_n

=

u_0\times q^n

respectivement

u_n=u_1\times q^{n-1}

Exemple 4 Pour la suite

(u_n)

de premier terme

u_0=3

et de raison

2

, on a, pour tout entier

n

u_n

=

3\times2^n

Ainsi, par exemple,

u_7

=

3\times2^7

=

384

Property 5
Soient

u_{p-1}

u_p

u_{p+1}

trois termes

consécutifs

d'une suite géométrique

(u_n)

. On a :

u_{p-1}\times u_{p+1}

=

u_p^2

Exercice 3 Soit

(v_n)

une suite tele que

v_{5}

=

4

v_{6}=28

v_{7}=186

. La suite

(v_n)

est-elle géométrique ?

Correction

v_{5}\times v_{7}

=

4\times186

=

744

\neq

v_{6}^2

=

784

La suite

(v_n)

n'est pas géométrique.

Remark 3 La

moyenne

géométrique

de deux nombres réels

a

b

est le nombre

\sqrt{a\times b}

Ainsi, si on considère trois termes

consécutifs

d'une suite géométrique, le terme du milieu est la

moyenne géométrique

des deux termes qui l'encadrent. Property 6
La

somme

S

de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison

q

, est donnée par :

Si $q\neq1$ ,
$S$

$=$

$\text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ .

si $q=1$ :
$S$

$=$

$\text{premier terme}\times\text{nombre de termes}$ .

Exercice 4 La légende rapporte que l’inventeur du jeu d’échecs demanda comme récompense à l’empereur de Chine de placer un grain de blé sur la première case d’un échiquier puis de doubler en passant d’une case à l’autre et ce jusqu’à la 64^e et dernière case.

Combien faudra-t-il de grains, en tout pour satisfaire sa demande ?
Calculer, au milliard de tonnes près, le poids total de blé nécessaire sachant qu’il faut à peu près 15 grains de blé pour faire un gramme.

Correction

On est en présence de la suite géométrique de premier terme $u_1$ $=$
$1$
et de raison $q$ $=$
$2$ .

On a :
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{64}u_k}$

$=$

$u_1\times\dfrac{1-q^{64}}{1-q}$

$=$

$1\times\dfrac{1-2^{64}}{1-2}$

$=$

$2^{64}-1$

$\approx$

$1,844\, 674\, 407 \times 10^{19}$

grains.
Le poids total nécessaire est de :
$\dfrac{2^{64} - 1}{15}$

$\approx$

$1,229\, 782\, 938 \times 10^{18}$

grammes
soit à peu près
$1\, 230$

milliards
de tonnes c’est-à-dire plus de
$1\,622$ années
de production mondiale actuelle.

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