TSTMG ∼ Suites Suites arithmétiques
Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison (noté généralement $r$), c'est-à-dire si :
$u_{n+1}$ $=$ $u_n+r$. Pour la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=12$ et de raison $5$, on a :
$u_1$ $=$ $17$, $u_2$ $=$ $22$, $u_3$ $=$ $27$, $u_4$ $=$ $32$, $\dots$
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de 1^er terme $u_0$ (resp. $u_1$) et de raison $r$ alors, pour tout entier $n$ :
$u_n$ $=$ $u_0+nr$ 3 respectivement $u_n=u_1+(n-1)r$. Pour la suite $(u_n)$ de premier terme $u_0=12$ et de raison $5$, on a, pour tout entier $n$ : $u_n$ $=$ $12+5n$.
Ainsi, par exemple, $u_7$ $=$ $12+5\times7$ $=$ $47$.
Soient $u_{p-1}$, $u_p$ et $u_{p+1}$ trois termes consécutifs d'une suite arithmétique $(u_n)$. On a :
$\dfrac{u_{p-1}+u_{p+1}}{2}$ $=$ $u_p$. Soit $(v_n)$ une suite tele que $v_{10}$ $=$ $18$, $v_{11}=156$ et $v_{12}=298$. La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ? $\dfrac{v_{10}+v_{12}}{2}$ $=$ $\dfrac{18+298}{2}$ $=$ $\dfrac{316}{2}$ $=$ $158$ $\neq$ $v_{11}$.
La suite $(v_n)$ n'est pas arithmétique. La moyenne arithmétique de deux nombres réels $a$ et $b$ est le nombre $\dfrac{a+b}{2}$.
Ainsi, si on considère trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux termes qui l'encadrent.
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par :
$S$ $=$ $\text{nombre de termes}\times\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$. À l'aide de cette formule on a : $1+2+3+\cdots+n$ $=$ $n\times\dfrac{1+n}{2}$ $=$ $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
En effet, on additionne les $n$ premiers termes de la suites arithmétiques de premier terme $1$ et de raison $1$. Soit $(u_n)$ la suite arithmétique représentant les entiers impairs positifs.

Déterminer le premier terme et la raison de cette suite.
Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la valeur de la somme $1+3+5+\cdots+99$.

On a : $u_0$ $=$ $1$ et la raison vaut $2$.
Pour tout entier $n$, $u_n$ $=$ $1+2n$.

$1+3+5+\cdots+99$	$=$	$u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{49}$
	$=$	$50\times\dfrac{u_0+u_{49}}{2}$
	$=$	$50\times\dfrac{1+99}{2}$
	$=$	$2\,500$.

Suites géométriques
Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison (noté généralement $q$), c'est-à-dire si :
$u_{n+1}$ $=$ $q\times u_n$. Pour la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$, on a :
$u_1$ $=$ $6$, $u_2$ $=$ $12$, $u_3$ $=$ $24$, $u_4$ $=$ $48$, $\dots$
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de 1^er terme $u_0$ (resp. $u_1$) et de raison $q$ alors, pour tout entier $n$ :
$u_n$ $=$ $u_0\times q^n$ 3 respectivement $u_n=u_1\times q^{n-1}$. Pour la suite $(u_n)$ de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$, on a, pour tout entier $n$ : $u_n$ $=$ $3\times2^n$.
Ainsi, par exemple, $u_7$ $=$ $3\times2^7$ $=$ $384$.
Soient $u_{p-1}$, $u_p$ et $u_{p+1}$ trois termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_n)$. On a :
$u_{p-1}\times u_{p+1}$ $=$ $u_p^2$. Soit $(v_n)$ une suite tele que $v_{5}$ $=$ $4$, $v_{6}=28$ et $v_{7}=186$. La suite $(v_n)$ est-elle géométrique ? $v_{5}\times v_{7}$ $=$ $4\times186$ $=$ $744$ $\neq$ $v_{6}^2$ $=$ $784$.
La suite $(v_n)$ n'est pas géométrique. La moyenne géométrique de deux nombres réels $a$ et $b$ est le nombre $\sqrt{a\times b}$.
Ainsi, si on considère trois termes consécutifs d'une suite géométrique, le terme du milieu est la moyenne géométrique des deux termes qui l'encadrent.
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$, est donnée par :

Si $q\neq1$, $S$ $=$ $\text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$.

si $q=1$ : $S$ $=$ $\text{premier terme}\times\text{nombre de termes}$.

La légende rapporte que l’inventeur du jeu d’échecs demanda comme récompense à l’empereur de Chine de placer un grain de blé sur la première case d’un échiquier puis de doubler en passant d’une case à l’autre et ce jusqu’à la 64^e et dernière case.

Combien faudra-t-il de grains, en tout pour satisfaire sa demande ?
Calculer, au milliard de tonnes près, le poids total de blé nécessaire sachant qu’il faut à peu près 15 grains de blé pour faire un gramme.

On est en présence de la suite géométrique de premier terme $u_1$ $=$ $1$ et de raison $q$ $=$ $2$.
On a : $\displaystyle{\sum_{k=1}^{64}u_k}$ $=$ $u_1\times\dfrac{1-q^{64}}{1-q}$ $=$ $1\times\dfrac{1-2^{64}}{1-2}$ $=$ $2^{64}-1$ $\approx$ $1,844\, 674\, 407 \times 10^{19}$ grains.
Le poids total nécessaire est de : $\dfrac{2^{64} - 1}{15}$ $\approx$ $1,229\, 782\, 938 \times 10^{18}$ grammes soit à peu près $1\, 230$ milliards de tonnes c’est-à-dire plus de $1\,622$ années de production mondiale actuelle.