TSTMG ∼ Variables aléatoires discrètes finies - Loi binomiale Introduction Compléter le tableau suivant :
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1331
14......1
1...............
11
121
1331
14641
15101051

On complète les cases vides en additionnant le nombre de la case juste au dessus avec celui-ci de celle qui est juste à gauche de cette dernière.
Le 6 est par exemple obtenu en additionnant les deux 3 qui sont juste au-dessus. Ce tableau s'appelle « le triangle de Pascal ».
Variable aléatoire discrète finie
Soit $\Omega$ un univers associé à une expérience aléatoire.
• Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. On dit que $X$ est discrète et finie si elle prend un nombre fini de valeurs $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$.
• La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète finie $X$ est la fonction qui à chaque $x_i$ associe le nombre $p_i$ $=$ $P(X=x_i)$.
On peut résumer cela dans un tableau :
$x_i$ $x_1$ $x_2$ $\dots$ $x_n$
$P(X=x_i)$ $p_1$ $p_2$ $\dots$ $p_n$
On a de plus : $\displaystyle{\sum_{i=1}^n p_i}$ $=$ $1$. Un jeu d’argent consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Si on obtient la face 6, on gagne 10 euros, si on obtient la face 1, on perd 5 euros, et pour les autres faces on perd 2 euros. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain après un lancer du dé.
L’expérience aléatoire est le lancer du dé.
On a : $\Omega$ $=$ $\{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\}$. Comme le dé est équilibré, il y a équiprobabilité et donc :
$P(\{1\})$ $=$ $P(\{2\})$ $=$ $P(\{3\})$ $=$ $P(\{4\})$ $=$ $P(\{5\})$ $=$ $P(\{6\})$ $=$ $\dfrac{1}{6}$.
La variable aléatoire $X$ prend comme valeurs : $-5$, $-2$ et $10$.
$P(X=-5)$ $=$ $P(\{1\})$ $=$ $\dfrac{1}{6}$ ; $P(X=-2)$ $=$ $P(\{2,\, 3,\, 4,\, 5 \})$ $=$ $\dfrac{4}{6}$ et $P(X=10)$ $=$ $P(\{6\})$ $=$ $\dfrac{1}{6}$.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X peut être résumée dans un tableau :
Gain $x_i$ $-5$ $2$ $10$
$P(X=x_i)$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{4}{6}$ $\dfrac{1}{6}$
On vérifie que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n p_i}$ $=$ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}$ $=$ $1$. Soit $k$ un entier naturel. L’évènement $\{X \leq k\}$ correspond à la réunion de tous les évènements élémentaires $\{X = i \}$ avec $i \leq k$.

Dans l’exemple précédent, on a : $P(X \leq 0)$ $=$ $P(X = - 5) + P(X = - 2)$ $=$ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}$ $=$ $\dfrac{5}{6}$.

De même, on peut définir les évènements : $\{X < k\}$, $\{X \geq k\}$ et $\{X > k \}$.

On a, par exemple : $P(X > k)$ $=$ $1 - P(X \leq k)$ car $\{X \leq k \}$ est l’évènement contraire de $\{X > k\}$.

Soit $X$ une variable aléatoire prenant $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$.
L’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $\text{E}(X)$, est la moyenne arithmétique des valeurs $x_i$ pondérées par leur probabilité $P(X = x_i )$ :
$\text{E}( X )$ $=$ $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i P( X = x_i )}.$ En reprenant le jeu d’argent précédent, nous avons : $\text{E}(X)$ $=$ $-5\times\dfrac{1}{6}-2\times\dfrac{4}{6}+10\times\dfrac{1}{6}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$.

Il n'est pas intéressant de jouer à ce jeu, car en moyenne, on perd $50$ centimes d'euro par partie. Voici un algorithme Python permettant de déterminer l'espérance d'une variable aléatoire discrète finie.
def esp(X,P): n = len(X) e = 0.0 for i in range(0,n): e = e +X[i]*P[i] return e X = [-5,-2,10] P = [1.0/6, 4.0/6, 1.0/6] print esp(X,P)
Loi binomiale -- Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, avec $p\in [0\, ; 1]$, est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles, l’une appelée « succès », qui a pour probabilité $p$, et l’autre appelée « échec », qui a pour probabilité $1 - p$. On possède une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir pile est de $0,8$. Le fait de lancer cette pièce de monnaie et de regarder si on obtient pile ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,8$. -- Coefficient binomial
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $k$ compris entre $0$ et $n$. On considère une épreuve de Bernoulli que l’on répète $n$ fois et on représente la situation par un arbre.
Le coefficient binomial $n \choose k$ est défini comme le nombre de chemins dans l’arbre conduisant à $k$ succès. On lance trois fois la pièce de monnaie précédente et on s’intéresse à la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de piles obtenus. On modélise la situation par l’arbre pondéré ci-dessous :
$P$ $F$ $P$ $F$ $P$ $F$ $P$     $X=3$ $F$     $X=2$ $P$     $X=2$ $F$     $X=1$ $P$     $X=2$ $F$     $X=1$ $P$     $X=1$ $F$     $X=0$ $0,8$ $0,3$ $0,8$ $0,2$ $0,8$ $0,3$ $0,8$ $0,2$ $0,8$ $0,2$ $0,8$ $0,2$ $0,8$ $0,2$
• Un seul chemin mène à aucun succès et donc : $3 \choose 0$ $=$ $1$.

• Trois chemins mènent à un seul succès et donc : $3 \choose 1$ $=$ $3$.

• Trois chemins mènent à deux succès et donc : $3 \choose 2$ $=$ $3$.

• Un seul chemin mène à trois succès et donc : $3 \choose 3$ $=$ $1$.

On peut ainsi déterminer la loi de probabilité de $X$. En effet :

• $P(X=0)$ $=$ ${3 \choose 0}\times0,8^0\times0,2^3$ $=$ $0,008$.

• $P(X=1)$ $=$ ${3 \choose 1}\times0,8^1\times0,2^2$ $=$ $0,096$.

• $P(X=2)$ $=$ ${3 \choose 2}\times0,8^2\times0,2^1$ $=$ $0,384$.

• $P(X=3)$ $=$ ${3 \choose 3}\times0,8^3\times0,2^0$ $=$ $0,512$.

Résultats que l'on peut résumer dans le tableau ci-dessous :
$X$ (nb de piles) $0$ $1$ $2$ $3$
Probabilité $0,008$ $0,096$ $0,384$ $0,512$
On a de plus : $\text{E}(X)$ $=$ $0\times0,008+1\times0,096+2\times0,384+3\times0,512$ $=$ $2,4$.

Résultat qui peut se traduire en disant, qu'en moyenne en lançant trois fois cette pièce de monnaie on obtient $2,4$ piles, ou encore, en lançant 30 fois cette pièce on obtient en moyenne 24 piles. Les coefficients binomiaux peuvent s’obtenir à l’aide du triangle de Pascal. Dans la première colonne, tous les coefficients binomiaux valent 1.
Chacun des termes d’une ligne est obtenue en additionnant le terme de la ligne immédiatement au-dessus avec celui juste à gauche de ce dernier.
$k$
$n$
 $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$0$ $1$
$1$ $1$ $1$
$2$ $1$ $2$ $1$
$3$ $1$ $3$ $3$ $1$
$4$ $1$ $4$ $6$ $4$ $1$
$5$ $1$ $5$ $10$ $10$ $5$ $1$
Cliquer sur une case Ici, par exemple, le $6$ dans l’encadrement est obtenu en faisant $3 + 3$ dans la ligne précédente.

Pour avoir $4 \choose 3$ , on lit le coefficient situé ligne n°4 et colonne n°3.

On trouve $4 \choose 3$ $=$ $4$. On a aussi $5 \choose 2$ $=$ $5 \choose 3$ $=$ $10$.
-- Loi binomiale
Soient $n$ un entier naturel non nul et $p$ un nombre réel de l’intervalle $[0\, ; 1]$.
On répète $n$ expériences de Bernoulli, identiques et indépendantes.
La loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi les $n$ expériences, s’appelle loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On la note $\mathcal{B}(n\,; p)$. Dans l’exemple précédent de la pièce de monnaie truquée lancée trois fois, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $0,8$. On note $X\sim \mathcal{B}(3\, ; 0,8)$.
Soient $n$ un entier naturel non nul et $p \in [0\, ; 1]$.
Si $X$ est la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, pour tout entier naturel $k \leq n$, on a :
$P(X=k)$ $=$ $\displaystyle{{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}$. On lance $5$ fois de suite la pièce de monnaie truquée précédente (la probabilité d’obtenir pile étant de $0,8$).
La variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de piles suit la loi binomiale de paramètres $5$ et $0,8$ et :
$P(Y=3)$ $=$ $\displaystyle{{5 \choose 3}\times0,8^3\times0,2^2}$ $=$ $10\times0,8^3\times0,2^2$ $=$ $0,204\, 8$. Le calcul précédent peut se faire également à la calculatrice. -- Espérance
Soient $n$ un entier naturel non nul et $p \in [0\, ; 1]$. Si la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\, ; p)$, alors l’espérance de $X$ vérifie :

$\text{E}(X)$ $=$ $np$. La variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\, ; 0,8)$ a pour espérance : $\text{E}(X)$ $=$ $3\times0,8$ $=$ $2,4$.