TSTMG ∼ Logarithme décimal 1Introduction La fonction exponentielle de base 1010,
x↦10xx\mapsto 10^x
est strictement
croissante
sur R\mathbb{R}.
123−1−2−3−4510152025303540455055
y = 10x
1.00
10x = 1 ⇔ x ≈ 0
Ainsi, si bb est un réel strictement positif, l’équation 10x=b10^x = b admet
une unique solution
sur R\mathbb{R}.
2Définitions Definition 1
Pour tout nombre réel strictement positif bb, il existe
un unique
nombre réel xx tel que
10x10^x
==
bb.

Ce nombre est appelé
logarithme décimal
de bb et on le note
log⁡(b)\log(b).
 Remark 1 • Soit b>0b>0, on a :
10log⁡(b)10^{\log(b)}
==
bb.

•
10010^0
==
11,
ainsi
log⁡(1)\log(1)
==
00.

•
10110^1
==
1010,
ainsi
log⁡(10)\log(10)
==
11.

•
log⁡(100)\log(100)
==
log⁡(102)\log\left( 10^2 \right)
==
22;
log⁡(1000)\log(1\,000)
==
33;
log⁡(10000)\log(10\,000)
==
44.
1 0
Definition 2
La fonction logarithme décimal est la fonction qui, à tout nombre réel xx
strictement positif,
associe son
logarithme décimal,
c’est-à-dire la fonction :
x↦log⁡(x)x \mapsto \log(x).
 Property 1
La fonction logarithme décimal est
strictement croissante
sur
]0;+∞[]0\, ; +\infty [.

C’est-à-dire, pour tout réel aa et bb strictement positifs, on a :
a<ba < b
⟺\Longleftrightarrow
log⁡(a)<log⁡(b)\log( a ) < \log( b ).
123456789100.511.5−0.5−1−1.5−2
y=y = log(x)(x)
Remark 2 L'axe des ordonnées est
asymptote verticale
à la courbe représentative de la fonction log⁡\log. Property 2
Soient aa et bb deux réels strictement positifs, et nn un entier naturel.
•
log⁡(ab)\log(ab)
==
log⁡(a)+log⁡(b)\log(a)+\log(b)
 •
log⁡(1b)\log\left( \dfrac{1}{b} \right)
==
−log⁡(b)-\log(b)
 •
log⁡(ab)\log\left( \dfrac{a}{b} \right)
==
log⁡(a)−log⁡(b)\log(a)-\log(b)
 •
log⁡(an)\log\left( a^n \right)
==
nlog⁡(a)n\log(a)
Exemple 1 •
log⁡(6)\log(6)
==
log⁡(2×3)\log(2\times3)
==
log⁡(2)+log⁡(3)\log(2)+\log(3).


•
log⁡(13)\log\left( \dfrac{1}{3} \right)
==
−log⁡(3)-\log(3).


•
log⁡(49)\log(49)
==
log⁡(72)\log\left( 7^2 \right)
==
2log⁡(7)2\log(7).


•
log⁡(0,001)\log(0,001)
==
log⁡(10−3)\log\left( 10^{-3} \right)
==
−3log⁡(10)-3\log(10)
==
−3-3.
1 0