TSTMG ∼ Fonction inverse Exercice 1 Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.
  1. f(x)=2x−4f(x)=2x-4.
  2. f1(x)=6−3xf_1(x)=6-3x.
  3. g(x)=3xg(x)=\dfrac{3}{x}.
  4. g1(x)=−5xg_1(x)=-\dfrac{5}{x}.
  5. h(t)=t2−16+1th(t)=t^2-16+\dfrac{1}{t}.
  6. h1(t)=3t2−1−4th_1(t)=3t^2-1-\dfrac{4}{t}.
  7. i(x)=2x3−2x2+5−2xi(x)=2x^3-2x^2+5-\dfrac{2}{x}.
  8. i1(x)=−5x3−7x2+51+20xi_1(x)=-5x^3-7x^2+51+\dfrac{20}{x}.
  9. j(t)=13t3−14t2−45t+1993j(t)=\dfrac{1}{3}t^3-\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{4}{5t}+1\,993.
  10. j1(t)=16t3+12t2−87t+13j_1(t)=\dfrac{1}{6}t^3+\dfrac{1}{2}t^2-\dfrac{8}{7t}+13.
  11. k(x)=(2x−5)x2+34xk(x)=(2x-5)x^2+\dfrac{3}{4x}.
  12. k2(x)=(2x−5)2−314xk_2(x)=(2x-5)^2-\dfrac{31}{4x}.
  13. m(x)=52x+(3x−7)(4x2+1)−5x3m(x)=\dfrac{5}{2x}+(3x-7)(4x^2+1)-5x^3.
  14. m1(x)=−38x+(3−7x)(4x+1)−13x3m_1(x)=-\dfrac{3}{8x}+(3-7x)(4x+1)-\dfrac{1}{3}x^3.
Exercice 2 Soit ff, gg, hh et ii quatre fonctions telles que : Les quatre courbes ci-dessous représentent chacune le graphe d'une de ces fonctions. Déterminer quel graphique correspond à quelle fonction.
00.511.522.533.544.5−0.51234−1−2−3−4
Graphique n°1
00.511.522.533.544.5−0.51234−1−2−3−4
Graphique n°2
00.511.522.533.544.5−0.51234−1−2−3−4
Graphique n°3
00.511.522.533.544.5−0.51234−1−2−3−4
Graphique n°4 Exercice 3 Résoudre les équations et inéquations suivantes.
  1. 2x+3=5x+14\dfrac{2}{x}+3=\dfrac{5}{x}+14
  2. 3x+1=0\dfrac{3}{x+1}=0
  3. 2x+1x−3=0\dfrac{2x+1}{x-3}=0
  4. 1x+3=x+39\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{x+3}{9}
  5. 1−4xx+7>0\dfrac{1-4x}{x+7} > 0
  6. 18x+6≤14x−5\dfrac{1}{8x+6} \leq \dfrac{1}{4x-5}
Exercice 4 Soit ff la fonction définie sur [0;50][0\,;50] par f(x)=−x2+10x+7f(x)=-x^2+10x+7.
  1. Donner l'expression de f′(x)f'(x).
  2. Résoudre l'équation f′(x)=0f'(x)=0.
  3. Compléter le tableau de variations de ff sur [0;50][0\,;50] donné ci-dessous :
    4. xx 00 5050 f′(x)f'(x) f(x)f(x)
    xx005050
    f′(x)f'(x)
    f(x)f(x)
  4. Donner alors la valeur maximale de ff sur [0;50][0\,;50].
Exercice 5 Soit ff la fonction définie pour tout réel xx par f(x)f(x) == 0,1x2−0,2x−1,50,1x^2-0,2x-1,5.
  1. Montrer que f(x)=0,1(x−5)(x+3)f(x)=0,1(x-5)(x+3).
  2. Calculer f′(x)f'(x).
  3. En déduire les variations de ff sur R\mathbb{R}.
Exercice 6 Soit gg la fonction définie sur [1;20][1\,;20] par g(x)=13x3−6x2+20x+5g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-6x^2+20x+5.
  1. Déterminer pour tout x∈[1;20]x\in[1\,;20] l'expression de g′(x)g'(x).
  2. Justifier que g′(x)=(x−2)(x−10)g'(x)=(x-2)(x-10).
  3. En déduire le tableau de variations de gg sur [1;20][1\,;20].
Exercice 7 Soit hh la fonction définie sur [1;10][1\,;10] par h(t)=4t+9th(t)=4t+\dfrac{9}{t}.
  1. Déterminer pour tout t∈[1;10]t\in[1\,;10] l'expression de h′(t)h'(t).
  2. Justifier que h′(t)=(2t−3)(2t+3)t2h'(t)=\dfrac{(2t-3)(2t+3)}{t^2}.
  3. En déduire le tableau de variations de hh sur [1;10][1\,;10].
Exercice 8 Une entreprise qui fabrique des microcontrôleurs estime que pour une production de xx milliers de pièces son bénéfice est de b(x)=0,2x−50x+2b(x)=0,2x-\dfrac{50}{x}+2 centaines de dollars. On estime que l'ensemble des usines de l'entreprise permet une production comprise entre 10001\,000 et 2000020\,000 pièces.
  1. Déterminer l'intervalle II auquel appartient xx.
  2. La fonction bb est-elle croissante sur II ?
  3. Combien de solution(s) semble posséder l'équation b(x)=0b(x)=0 sur II ?
  4. Que représente pour la fonction bb le résultat afficher par l'algorithme suivant ?
    Exécuter
    



    5. 













Exercice 9

La consommation d’essence CC d’une voiture, aux 100100 km, s’exprime en fonction de sa vitesse vv par : C(v)=0,05v+80vC(v)=0,05v+\dfrac{80}{v}, où CC est en litres et vv en km/h.




On suppose que la vitesse vv de la voiture est comprise entre 2020 km/h et 130130 km/h.


    

  1. 
Calculer la dérivée C′(v)C'(v).

    2. 

  2. 
Résoudre l’inéquation C′(v)>0C'(v) > 0.

    3. 

  3. 
En déduire le tableau de variations de la fonction CC.

    4. 

  4. 
Pour quelle vitesse vv la consommation est-elle minimale ? Quelle est alors cette consommation minimale ?

    5. 








Exercice 10

Partie A





Chaque semaine, une entreprise de détergent liquide estime que le coût de production (en euros) peut être modélisé par une fonction CC donnée par C(x)=x2+60x+121C(x)=x^2+60x+121 où xx est le volume de détergent produit (en m3), avec x∈[1;30]x\in[1\,;30].




Soit ff la fonction représentant le coût moyen de production par m3 de détergent produit.




    

  1. 
Montrer que pour tout x∈[1;30]x\in[1\,;30], f(x)=x+60+121xf(x)=x+60+\dfrac{121}{x}.

    2. 


  2. 

      

    1. 
Calculer f′(x)f'(x).

      2. 


    2. 
Montrer que pour tout x∈[1;30]x\in[1\,;30] : f′(x)=(x−11)(x+11)x2f'(x)=\dfrac{(x-11)(x+11)}{x^2}.

      3. 


    

    3. 


  3. 
Le dresser le tableau de variations de ff sur [1;30][1\,;30].

    4. 


  4. 
Quel est le coût moyen de production minimal ? Pour quelle quantité de détergent est-il obtenu ?

    5. 






Partie B




Le détergent est vendu à 110110 €/m3 et on suppose que toute la production est vendue. Le bénéfice est donné par la fonction BB.


    

  1. 
Montrer que pour tout x∈[1;30]x\in[1\,;30] : B(x)=−x2+50x−121\, B(x)=-x^2+50x-121.

    2. 


  2. 
Étudier les variations de BB sur [1;30][1\,;30].

    3. 


  3. 
Quel est le bénéfice maximal ? Pour quelle quantité de détergent est-il obtenu ?

    4. 










Exercice 11


Une chaîne de production fabrique des pièces de sécurité pour le transport maritime. Le coût total de production, en euros, de xx boîtes fabriquées est donné par la fonction CT(x)=x3−90x2+2700x+8836C_T(x)=x^3-90x^2+2\,700x+8\,836.



    

  1. 
Déterminer les coûts fixes.

    2. 


  2. 
Quel est le coût total pour une production de 1010 pièces ?

    3. 


  3. 
On appelle coût marginal la variation du coût de production pour une unité supplémentaire produite. On le note Cm(x)C_m(x).



      

    1. 
Justifier que Cm(x)=CT(x+1)−CT(x)C_m(x)=C_T(x+1)-C_T(x).

      2. 


    2. 
On admet que (x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1.


      

Donner alors l'expression de Cm(x)C_m(x) en fonction de xx.

      3. 


    3. 
Les économistes estiment que Cm(x)≈CT′(x)C_m(x) \approx C'_T(x). Cette approximation est-elle justifiée ici ?

      4. 


    


    4. 


  4. 
On estime dans cette question que Cm(x)=CT′(x)C_m(x) = C'_T(x).


    


Le coût moyen, que l'on note CM(x)C_M(x) est le coût de production d'une pièce.


      

    1. 
Justifier que pour x>0x>0, CM(x)=x2−90x+2700+8336xC_M(x)=x^2-90x+2\,700+\dfrac{8\,336}{x}.

      2. 


    2. 
Déterminer, pour tout x>0x>0, l'expression de CM′(x)C'_M(x).

      3. 


    3. 
Montrer que, pour tout x>0x>0, CM′(x)=2x3−90x−8336x2C'_M(x)=\dfrac{2x^3-90x-8\,336}{x^2}.

      4. 


    4. 
Développer (x−47)(2x2+4x+188)(x-47)(2x^2+4x+188).

      5. 


    5. 
En déduire que CM′(x)=(x−47)(2x2+4x+188)x2C'_M(x)=\dfrac{(x-47)(2x^2+4x+188)}{x^2}.

      6. 


    6. 
Déterminer les variations de CM(x)C_M(x) sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[.

      7. 


    7. 
Dans le repère ci-dessous on a tracé les courbes de CMC_M et CmC_m. Identifier chacune d'elle puis expliquer ce que représente en terme de coût l'intersection de ces deux courbes.







      0102030405060708050010001500200025003000350040004500
      C1\mathscr{C}_1
      C2\mathscr{C}_2
      





      8. 



    



    5.